TD 3 (Ex & Sol)

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès Faculté des Sciences de l'Ingénieur Département d'Electrotechnique

Enoncés TD n° 3 Réduction des blocs fonctionnels

ETL 405 - ETL 412 ETL 423 - ETL 433

Exercice n°1 Déterminez les fonctions de transfert par simplifications successives des blocs fonctionnels, puis en utilisant la règle de Mason.

G1 a)

E(p) +

G2

+

S(p)

G2

S(p)

+

–

G3

+ –

G4

G1 b)

+

E(p) +

+

–

H1

+ –

H2 G4 +

E(p) +

c)

G1

+

–

G2

S(p)

+

G3

–

H2 H1 H1 + d)

E(p) +

G1 –

+

+

–

G2

+

S(p)

G3

–

H2 H3 G4 + E(p) e)

+

–

+

G1

+

–

G2

G3

+

S(p)

–

H1

H2 H3

Enoncés TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 1

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

Exercice n°2 Soit le système suivant à 2 entrées. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p) :

G2 – E(p) +

–

+

G1

+

–

G3

+

+

S(p)

G4 –

G6 +

+

G5

W(p)

G7

Enoncés TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 2

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

Université Djillali Liabès de Sidi Bel-Abbès Faculté des Sciences de l'Ingénieur Département d'Electrotechnique

Solutions TD n° 3 Réduction des blocs fonctionnels

ETL 405 - ETL 412 ETL 423 - ETL 433

Exercice n°1 Simplification de schémas fonctionnels, et calcul des fonctions de transfert correspondantes : 1.a)

G1 +

E(p) +

G2

– ¾

G3 G4

1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels : E +

¾

+

– +

S(p)

G1 + G2 –

S

G1 + G2 1 + (G1 + G2 )(G3 − G4 )

E

⇒

S

G3 − G4

2ème méthode : Par application de la règle de Mason :

E(p)

G1 G2

1 −1

1

S(p)

G3 −G4

•

Trouver les chaines directes et leurs gains ( M j

avec j = entier représentant le nombre de

chaines directes du système) : Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus

M1 = G1 M 2 = G2

d’une fois. •

•

Trouver les boucles et leurs gains : Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus d’une fois.

Boucle 1 = −G1G3

Boucle 3 = −G2G3

Boucle 2 = G1G4

Boucle 4 = G2G4

Trouver les Δ j : Δ j = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors Δ j = 1. Si nous éliminons le chemin

Δ1 = 1 . Si nous éliminons le chemin

Δ2 = 1 . •

M1 = G1 du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors : M 2 = G2 du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :

Trouver Δ (fonction caractéristique) :

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 3

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

Δ = 1 −(∑ gains de boucles ) +(∑ produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas ) −(∑ produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas ) +..... Δ = 1 − (−G1G3 + G1G4 − G2G3 + G2G4 ) + () − () + ().... ⇒ Δ = 1 + G1G3 − G1G4 + G2G3 − G2G4 = 1 + (G1 + G2 )(G3 − G4 ) •

La solution est alors :

∑ M j Δj S (p ) G1 + G2 j = = 1 + (G1 + G2 )(G3 − G4 ) E (p ) Δ

G1

1.b)

+

E(p) +

–

+ + –

¾

S(p)

G2 H1 H2

1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :

G1 +

E +

+

S

G2 – + –

H1 H2

G1 +

E +

+

G2

S

–

H1 − H 2

E

1 + G1

G2 1 + G2 (H1 − H 2 )

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

S

⇒

E

G2 (1 + G1 )

S

1 + G2 (H1 − H 2 )

TD3 - 4

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

¾

2

ème

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

méthode : Par application de la règle de Mason :

G1 E(p)

1

1

1 −1

•

Trouver les chaines directes et leurs gains ( M j

G2

1

S(p)

H1 −H 2 avec j = entier représentant le nombre de

chaines directes du système) : Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus

M1 = G1G2 M 2 = G2

d’une fois. •

Trouver les boucles et leurs gains : Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus d’une fois.

Boucle 1 = −G2H 1 Boucle 2 = G2H 2 •

Trouver les

Δj :

Δ j = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors Δ j = 1. Si nous éliminons le chemin

Δ1 = 1 . Si nous éliminons le chemin

Δ2 = 1 . •

M1 = G1G2 du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors : M 2 = G2 du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :

Trouver Δ (fonction caractéristique) :

Δ = 1 −(∑ gains de boucles ) +(∑ produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas ) −(∑ produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas ) +..... Δ = 1 − (−G2H 1 + G2H 2 ) +()

⇒

−()

Δ = 1 + G2H 1 − G2H 2 = 1 + G2 (H 1 − H 2 )

+().... •

La solution est alors :

∑ M j Δj

S (p ) j = E (p ) Δ

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

=

G2 (1 + G1 ) G1G2 + G2 = 1 + G2 (H1 − H 2 ) 1 + G2 (H 1 − H 2 )

TD3 - 5

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

1.c)

G4 + E(p)

G1

+

+

–

G2

S(p)

+

G3

–

H2 H1 ¾

1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :

G4

G3 +

E +

G1

+

–

G2

–

+

G3 H2

G1

H1 G4

G3 +

E +

+

–

+

G1G2G3 –

H2

S

G1

H1

E +

G1G2G3 –

E

S

H H1 + 2 G 1 G1G2G3 ⎛ H ⎞ 1 + G1G2G3 ⎜⎜H1 + 2 ⎟⎟⎟ ⎜⎝ G1 ⎠⎟

E

G 1 + 4G 3

G 1+ 4 G3

G1G2 (G3 + G4 ) 1 + G1G2G3H1 + G2G3H 2

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

S

S

TD3 - 6

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

¾

2

ème

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

méthode : Par application de la règle de Mason :

G1

1

E(p)

G2

G4

1

G3

1

S(p)

−H 2 −H1 •

Trouver les chaines directes et leurs gains ( M j

avec j = entier représentant le nombre de

chaines directes du système) : Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus

M1 = G1G2G3 M 2 = G1G2G4

d’une fois. •

Trouver les boucles et leurs gains : Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus d’une fois.

Boucle 1 = −G1G2G3H1 Boucle 2 = −G2G3H 2 •

Trouver les

Δj :

Δ j = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors Δ j = 1. Si nous éliminons le chemin Alors :

Δ1 = 1 .

Si nous éliminons le chemin Alors : •

Δ2 = 1 .

M1 = G1G2G3 du système, il ne reste plus de boucle complète. M 2 = G1G2G4 du système, il ne reste plus de boucle complète.

Trouver Δ (fonction caractéristique) :

Δ = 1 −(∑ gains de boucles ) +(∑ produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas ) −(∑ produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas ) +..... Δ = 1 − (−G1G2G3H 1 − G2G3H 2 ) +()

⇒

−()

Δ = 1 + G1G2G3H1 + G2G3H 2

+().... •

La solution est alors :

∑ M j Δj

S (p ) j = E (p ) Δ

=

G1G2G3 + G1G2G4 1 + G1G2G3H 1 + G2G3H 2

G1G2 (G3 + G4 ) S (p ) = E (p) 1 + G1G2G3H 1 + G2G3H 2

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 7

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

1.d)

Asservissement – Régulation

H1 + E(p)

G1

+

+

–

+

–

G2

+

G3

S(p)

–

H2 H3

¾

1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :

H1

G2 +

E

G1

+

+

–

+

–

+

G2

G3

S

–

H2 H3

E +

G1 –

+

G2 1 + G2H 2

–

1+

H1 G2

G3

S

H3

E +

G3 (G2 + H 1 ) (1 + G2H 2 ) + (G2 + H1 )G3H 3

G1 –

G1G3 (G2 + H 1 )

E +

E

–

S

S

(1 + G2H 2 ) + (G2 + H1 )G3H 3

G1G3 (G2 + H 1 ) 1 + G2H 2 + G2G3H 3 + G3H 1H 3 + G1G2G3 + G1G3H1

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

S

TD3 - 8

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

¾

2

ème

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

méthode : Par application de la règle de Mason :

H1 1

E(p)

G1

G2

1

−H 2

G3

1

S(p)

−H 3

−1

Trouver les chaines directes et leurs gains ( M j

•

1

avec j = entier représentant le nombre de

chaines directes du système) : Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus d’une fois.

M1 = G1G2G3 M 2 = G1H 1G3 •

•

Trouver les boucles et leurs gains : Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus d’une fois.

Boucle 1 = −G2H 2

Boucle 3 = −G1G2G3

Boucle 2 = −G2G3H 3

Boucle 4 = −G1H1G3

Boucle 5 = −H1G3H 3

Trouver les Δ j : Δ j = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors Δ j = 1. Si nous éliminons le chemin Alors :

Δ1 = 1 .

Si nous éliminons le chemin Alors : •

Δ2 = 1 .

M1 = G1G2G3 du système, il ne reste plus de boucle complète. M 2 = G1H1G3 du système, il ne reste plus de boucle complète.

Trouver Δ (fonction caractéristique) :

Δ = 1 −(∑ gains de boucles ) +(∑ produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas ) −(∑ produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas ) +..... Δ = 1 − (−G2H 1 − G2G3H 3 − G1G2G3 − G1H1G3 − H1G3H 3 ) + () − () + ()....

⇒

Δ = 1 + G2H1 + G2G3H 3 + G1G2G3 + G1H1G3 + H1G3H 3

∑ M j Δj

•

La solution est alors :

S (p ) j = E (p ) Δ

G1G3 (G2 + H 1 ) S (p ) = E (p) 1 + G2H 2 + G2G3H 3 + G3H1H 3 + G1G2G3 + G1G3H 1 Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 9

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

1.e)

G4 + E(p) +

+

–

G1

G2

+

–

+

G3

S(p)

–

H1

H2 H3

¾

1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels : Difficile à simplifier à cause des inversions "nœud-comparateur".

¾

2ème méthode : Par application de la règle de Mason :

G4 E(p)

1

G1

1

G2

−H1

G3

1

S(p)

−H 2

−H 3 •

Trouver les chaines directes et leurs gains ( M j

avec j = entier représentant le nombre de

chaines directes du système) : Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le même point plus d’une fois.

M1 = G1G2G3 M 2 = G4 •

•

Trouver les boucles et leurs gains : Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus d’une fois.

Boucle 1 = −G1G2H1

Boucle 3 = −G1G2G3H 3

Boucle 2 = −G2G3H 2

Boucle 4 = −G4 H 3

Trouver les Δ j : Δ j = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors Δ j = 1. Si nous éliminons le chemin Alors :

Δ1 = 1 .

Si nous éliminons le chemin

Δ2 = 1 . •

Boucle 5 = G4 H 2G2H 1

M1 = G1G2G3 du système, il ne reste plus de boucle complète.

M 2 = G4 du système, il ne reste plus de boucle complète. Alors :

Trouver Δ (fonction caractéristique) :

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 10

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

Δ = 1 −(∑ gains de boucles ) +(∑ produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas ) −(∑ produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas ) +..... Δ = 1 − (−G1G2H1 − G2G3H 2 − G1G2G3H 3 − G4H 3 + G4H 2G2H 1 ) +() −() +()....

⇒

Δ = 1 + G1G2H1 + G2G3H 2 + G1G2G3H 3 + G4H 3 − G4H 2G2H1

∑ M j Δj

•

S (p ) j = E (p ) Δ

La solution est alors :

S (p ) G1G2G3 + G4 = E (p) 1 + G1G2H 1 + G2G3H 2 + G1G2G3H 3 + G4H 3 − G4H 2G2H 1 Exercice n°2 Soit le système suivant à 2 entrées. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p).

G2 – E(p) +

–

+

G1

+

–

G3

+

+

S(p)

G4 –

G6 +

+

G5

W(p)

G7

Il s'agit en fait de trouver 2 fonctions de transfert : la première,

GSE (p) , entre l'entrée E et la sortie S. La

seconde,GSW (p) , entre l'entrée W et la sortie S. Puisque le système est supposé linéaire, lorsque nous calculonsGSE (p) , nous pouvons considérer que l'entrée W = 0. De même, lorsque nous calculonsGSW (p) , nous pouvons considérer que l'entrée E = 0. Une fois les 2 fonctions de transfert calculées, la sortie S(p) due aux 2 entrées E(p) et W(p) est donnée par : S(p) =GSE (p) . E(p) + GSW (p) . W(p)

GSE (p) etGSW (p) peuvent être obtenues par manipulation des blocs fonctionnels, ces manipulations ne sont pas simples. De plus, les manipulations utilisées pour le calcul de GSE (p) ne sont, généralement, pas utilisées pour calculer GSW (p) . Il est donc requis 2 séries séparées de manipulations. Bien que

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 11

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

¾

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

1ère méthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels : Difficile à simplifier à cause des inversions "nœud-comparateur".

¾

2ème méthode : Par application de la règle de Mason :

−G2 E(p)

1

1

G1

1

G3

1

−G6

G4

−1

S(p)

G5

W(p)

G7

−1

™ Déterminons Δ (fonction caractéristique). Cette fonction est indépendante des entrées et des sorties considérées :

Δ = 1 −(∑ gains de boucles ) +(∑ produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas ) −(∑ produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas ) +..... Pour cela : • Nous commençons par calculer les boucles et leurs gains : Les boucles sont des chemins fermés qui peuvent être empruntés sans croiser le même point plus d’une fois.

Boucle 1 = −G1G6

Boucle 3 = G3G4G7

Boucle 2 = −G4G5

Boucle 4 = −G1G3G4

Boucle 5 = G2G4

• Les boucles 2 à 5 sont des boucles qui se touchent car elles passent toutes par G4. • Les boucles 1 et 2 ne se touchent pas. Les boucles 1 et 5 non plus. • Nous pouvons alors définir la fonction caractéristique Δ :

Δ = 1 − (−G1G6 − G4G5 + G3G4G7 − G1G3G4 + G2G4 ) + ⎡⎣(−G1G6 )(−G4G5 ) + (−G1G6 )(G2G4 )⎤⎦ −() +().... Δ = 1 + G1G6 + G4G5 − G3G4G7 + G1G3G4 − G2G4 + G1G4G5G6 − G1G2G4G6 Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 12

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

™ Calculons maintenant les chaines directes et leurs gains. Les chaines directes sont les chemins parcourus d'une entrée vers une sortie. Elles dépendent donc de l'entrée considérée : ( M Ei avec i = entier représentant le nombre de chaines directes du système entre l'entrée E et la sortie S). ( MWj avec j = entier représentant le nombre de chaines directes du système entre l'entrée W et la sortie S).

™ Trouvons les

De E(p) vers S(p) :

M E 1 = G1G3G4 M E 2 = −G2G4

De W(p) vers S(p) :

MW 1 = −G4

ΔEi :

ΔEi = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine i). Si aucune restante alors ΔEi = 1. Si nous éliminons le chemin Alors :

ΔE 1 = 1 .

M E 1 = G1G3G4 du système, il ne reste plus de boucle complète.

M E 2 = −G2G4 du système, il reste la boucle n°1 = −G1G6 complète. ΔE 2 = 1 − (−G1G6 ) = 1 + G1G6 .

Si nous éliminons le chemin Alors :

∑ M Ei ΔEi

™

GSE (p) est alors égale à :

GSE (p) =

S (p ) GSE (p) = = i E (p )

Δ

G1G3G4 − G2G4 (1 + G1G6 ) 1 + G1G6 + G4G5 − G3G4G7 + G1G3G4 − G2G4 + G1G4G5G6 − G1G2G4G6

™ Trouvons les ΔWj : ΔWj = 1 – (les boucles restant après élimination de la chaine j). Si aucune restante alors ΔWj = 1.

MW 1 = −G4 du système, , il reste la boucle n°1 = −G1G6 complète. ΔW 1 = 1 − (−G1G6 ) = 1 + G1G6 .

Si nous éliminons le chemin Alors :

∑ MWj ΔWj

™

GSW (p) est alors égale à :

GSW (p) =

S (p ) j GSW (p) = = W (p )

Δ

−G4 (1 + G1G6 ) 1 + G1G6 + G4G5 − G3G4G7 + G1G3G4 − G2G4 + G1G4G5G6 − G1G2G4G6

™ Finalement : S(p) =GSE (p).E (p) + GSW (p).W (p)

S(p) =

⎡G1G3G4 − G2G4 (1 + G1G6 )⎤ E (p) − ⎡G4 (1 + G1G6 )⎤ W (p) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 + G1G6 + G4G5 − G3G4G7 + G1G3G4 − G2G4 + G1G4G5G6 − G1G2G4G6

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 13

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

2007 / 2008

Asservissement – Régulation

Règles de transformation des schémas fonctionnels N

Schéma fonctionnel original A–B

A

+ –

1.

+ B

Schéma fonctionnel équivalent

A–B+C

+

A

+ C

C 2.

A

–

G1

+ –

C

B

A–B

A–B+C

A–B+C

+ +

3.

+

A

A +

A–B+C

A+C

+

– B

B A.G1

A.G1.G2

G2

A

+

A.G2

G2

C

A.G1.G2

G1

4. A

G1

A

G1

G2

A

G

A

A.G1.G2

G2

A.G1

A.G2

A.G1.G2

A.G1+A.G2

G1+G2

+

A.G

+

G1.G2

A.G1+A.G2 A

+

5.

6.

A.G1

A.G – B

–

B

A–

A

+

G

A.G – B B

– B G

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

B G

1 G

TD3 - 14

Prof. FELLAH Mohammed-Karim

A 7.

2007 / 2008

+

A

A.G – B.G

A–B

Asservissement – Régulation

A.G

G

G

–

+ B

B

– B.G

G

A

A.G

A

A.G – B.G

A.G

G

G

8. A.G

A

A

A.G

G

A.G

G

A.G

G

9. A

A

1 G

A.G

B A 10.

A–B

+

A

–

G1

G2

A 12.

A.G1

A.G2

A.(G1+G2)

–

A

G2

+ –

A.G2

A.G1

A.(G1+G2)

+

B

B 1 G2

B

A.G2

A G2

+

G1

–

A

G1 1 + G1.G2

B

A

G1 1 − G1.G2

B

+ G2

G1

+ +

G1

+

G2

G1

–

A

A–B

+

+

A 14.

A

A–B

G1

A 13.

+

B

+

11.

A–B

–

B

G2

Solutions TD n° 3 : Réduction des blocs fonctionnels

TD3 - 15