TCA2 - Experiencia 3

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTIN Facultad de Ingeniería de Producción y Servicios Escuela Profesional De Ingeniería Electrónica

Teoría de Control Automático 2 Experiencia 3: Análisis de la l a Respuesta Transitoria de Sistemas Continuos

Docente

: Ing. Málaga

Alumno

: Dueñas Guardia Victor 

CUI

: 20061345

Arequipa 2010

Teoría de Control Automático 2 

Experiencia: 1. Obtener la respuesta a un escalón unitario para el sistema mostrado en el diagrama de bloques siguiente:

 () =

 () =

6.3223( + 1.4235) 

=

6.3223  + 17.7169 + 12.6097 

1 1  =  ( + 1)( 1)(  + 5) 5)  + 6  + 5

Diagrama de Bloques del Sistema Llevando el diagrama a la forma:

Donde () = 1

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Teoría de Control Automático 2 >> numg=[6.3223 17.7169 12.6097]; >> deng=[1 0]; >> numh=[1]; >> denh=[1 6 5 0]; >> g=tf(numg,deng) Transfer function: 6.322 s^2 + 17.72 s + 12.61 --------------------------s >> h=tf(numh,denh) Transfer function: 1 ----------------s^3 + 6 s^2 + 5 s >> i=series(g,h) Transfer function: 6.322 s^2 + 17.72 s + 12.61 --------------------------s^4 + 6 s^3 + 5 s^2 >> sys=feedback(i,1) Transfer function: 6.322 s^2 + 17.72 s + 12.61 ----------------------------------------s^4 + 6 s^3 + 11.32 s^2 + 17.72 s + 12.61 >> step(sys)

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Página 3

Teoría de Control Automático 2

Step Response 1.8 1.6 1.4 1.2     e       d      u       t      i      l      p       m      A

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

Time (sec)

Respuesta a un Escalón Unitario al Sistema en Lazo Cerrado

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Página 4

Teoría de Control Automático 2 2. Presente la gráfica de la respuesta transitoria usando grids, nombres adecuados en los ejes y el titulo correspondiente. >> grid on >> title('Respuesta del Sistema a un Escalón Unitario') >> xlabel('Tiempo de Respuesta') >> ylabel('Y(s)')

Respuesta del Sistema a un Escalón Unitario 1.8 1.6 1.4 1.2

     )       s         (      Y

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

5

10

15

Tiempo de Respuesta (sec)

Respuesta a un Escalón Unitario al Sistema en Lazo Cerrado

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Teoría de Control Automático 2 3. Considere el sistema que se muestra en la figura, con J=1 y b=1. Obtenga las respuestas del sistema a una entrada de referencia y a una entrada de perturbación de tipo escalón unitario. (Debe usar teorema de superposición)

() =

() =

10.4(  + 4.5192 + 15.385)  1 (  + )

=

10.4  + 47 + 25.8

;   = 1   = 1 → () =

 1  + 

Diagrama de Bloques del Sistema >> numh=1; >> denh=[1 1 0]; >> numg=[10.4 47 25.8]; >> deng=[1 0]; >> h=tf(numh,denh) Transfer function: 1 ------s^2 + s >> g=tf(numg,deng) Transfer function: 10.4 s^2 + 47 s + 25.8 ---------------------s

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Teoría de Control Automático 2 Para poder trabajar el sistema usaremos el teorema de superposición, primero hacemos que () = 0  y calculamos su respuesta a un escalón unitario, luego () = 0  y también calculamos su respuesta, luego sumamos ambas respuestas dándonos el valor final.

Diagrama de Bloques del Sistema con () = 0 >> sys1=feedback(h,g) Transfer function: s ---------------------------s^3 + 11.4 s^2 + 47 s + 25.8 >> step(sys1)

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Teoría de Control Automático 2

Step Response 0.02 0.018 0.016 0.014 0.012     e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (sec)

Respuesta a un Escalón Unitario al sys1

Diagrama de Bloques del Sistema con () = 0 >> sys2=series(g,h) Transfer function: 10.4 s^2 + 47 s + 25.8 ---------------------s^3 + s^2 >> step(sys2)

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Teoría de Control Automático 2

7

3

Step Response

x 10

2.5

2     e       d      u       t      i      l      p       m      A

1.5

1

0.5

0

0

500

1000

1500

Time (sec)

Respuesta a un Escalón Unitario al sys2

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys1+sys2) 7

3

Step Response

x 10

2.5

2     e       d      u        t      i      l     p       m      A

1.5

1

0.5

0

0

500

1000

1500

Time (sec)

Respuesta del Sistema a un Escalón Unitario 4. Dado un sistema de control con la función de transferencia:

() =

() ()

 =

  + .  + 

Escriba un programa que permita graficar la respuesta a un impulso unitario. Use las funciones step e impulse. Compare los resultados y saque sus conclusiones. >> num1=[1]; >> den1=[1 0.2 1]; >> sys1=tf(num1,den1) Transfer function: 1 --------------s^2 + 0.2 s + 1 >> num2=[1 0]; >> den2=[1];

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Teoría de Control Automático 2 >> sys2=tf(num2,den2) Transfer function: s >> sys=sys1*sys2 Transfer function: s --------------s^2 + 0.2 s + 1 >> step(sys)

Step Response 1 0.8 0.6 0.4     e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario

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Teoría de Control Automático 2 >> impulse(sys1)

Impulse Response 1 0.8 0.6 0.4     e       d      u        t      i      l     p       m      A

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario Las dos respuestas del sistema a un Impulso Unitario son las mismas usando distintos tipos de  funciones, esto se debe a que cuando las condiciones iniciales son cero, la respuesta impulso unitario de ()  es igual a la respuesta escalón unitario de  ().

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Teoría de Control Automático 2 5. Dado el sistema con función de transferencia:

() =

()



 = ()  +  +  Escriba que   =   y escriba un programa que permita mostrar en una misma gráfica la respuesta al impulso unitario cuando  = . , ., . ,  . . Identifique cada una de las curvas en la gráfica obtenida. >> num=[1]; >> den1=[1 0.2 1]; >> den2=[1 0.6 1]; >> den3=[1 1 1]; >> den4=[1 1.4 1]; >> den5=[1 2 1]; >> impulse(num,den1,10) >> gtext('0.1') >> hold on >> impulse(num,den2) >> gtext('0.3') >> impulse(num,den3) >> gtext('0.5') >> impulse(num,den4) >> gtext('0.7') >> impulse(num,den5) >> gtext('1.0') >> grid on

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Teoría de Control Automático 2

Impulse Response 1

0.1

0.8

0.3 0.6

0.5 0.7 1.0

0.4     e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Time (sec)

Respuesta al sistema de un impulso unitario con distintos valores de 

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Teoría de Control Automático 2 6. En la figura siguiente se muestra tres diagramas de bloques. El sistema I es un servo posicional. El sistema II es un servo posicional que utiliza una acción de control proporcional derivativo. El sistema III es un servo posicional que utiliza realimentación de velocidad o realimentación tacométrica. Grafique las respuestas a un escalón unitario, a un impulso unitario y a una rampa. Explique los resultados obtenidos y dé una interpretación práctica real.

Sistema I

Sistema II

Sistema III

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Teoría de Control Automático 2 Llevaremos todos los sistemas a la forma:

En los sistemas I y II () = 0 >> numim=[1 0]; >> denim=[1]; >> numra=[1]; >> denra=[1 0]; >> impul=tf(numim,denim) Transfer function: s >> ramp=tf(numra,denra) Transfer function: 1 s

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Teoría de Control Automático 2 Sistema I:

>> den1=[1]; >> num1=[5]; >> den1=[1]; >> num2=[1]; >> den2=[5 1 0]; >> sys1=feedback(series(tf(num1,den1),tf(num2,den2)),1) Transfer function: 5 ------------5 s^2 + s + 5 >> step(sys1) >> title('Respuesta del Sistema a un Escalon Unitario') >> grid on

Respuesta del Sistema a un Escalon Unitario 1.8 1.6 1.4 1.2     e       d      u       t      i      l      p       m      A

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

Respuesta del sistema a un escalón unitario

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys1*ramp) >> title('Respuesta del Sistema a una Rampa') >> grid on

Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario 1 0.8 0.6 0.4     e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0

10

20

30

40

50

60

Time (sec)

Respuesta del sistema a un Impulso Unitario Como vemos el sistema se estabiliza a partir de los aproximadamente 50 segundos y tiene una amplitud máxima de 0.82, por lo tanto es un sistema confiable de usar aunque su tiempo de régimen transitorio es muy grande.

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys1*ramp,25) >> title('Respuesta del Sistema a una Rampa') >> grid on

Respuesta del Sistema a una Rampa 25

20

15     e       d      u        t      i      l     p       m      A

10

5

0

0

5

10

15

20

25

Time (sec)

Respuesta del sistema a una Rampa Para una entrada de Rampa el sistema nunca llega a la estabilidad, por lo tanto este sistema con una entrada de este tipo es inservible. Sistema II:

>> num1=[4 5]; >> den1=[1]; >> num2=[1]; >> den2=[5 1 0]; >> sys2=feedback(series(tf(num1,den1),tf(num2,den2)),1) Transfer function: 4s+5 --------------5 s^2 + 5 s + 5

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys2) >> title('Respuesta del Sistema a un Escalon Unitario') >> grid on

Respuesta del Sistema a un Escalon Unitario 1.4

1.2

1

    e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Respuesta del sistema a un escalón unitario Como podemos ver en la gráfica el régimen transitorio dura tan solo 8 segundos y una amplitud máxima de 1.24 aproximadamente, este sistema es robusto a respuesta de un escalón unitario.

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys2*impul) >> title('Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario') >> grid on

Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario 1.2

1

0.8

    e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.6

0.4

0.2

0

-0.2

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Respuesta del sistema a un Impulso Unitario  A una respuesta de impulso unitario este sistema también se comporta de manera adecuada ya que tiene un tiempo transitorio de 6 segundos y puede ser aplicado esperando buenas expectativas.

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys2*ramp,6) >> title('Respuesta del Sistema a una Rampa') >> grid on

Respuesta del Sistema a una Rampa 6

5

4     e       d      u       t      i      l      p       m      A

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

6

Time (sec)

Respuesta del sistema a una Rampa  A una entrada de rampa este sistema nunca alcanza la estabilidad, inservible para su aplicación práctica con este tipo de entrada. Sistema III:

>> num1=[5]; >> den1=[1]; >> num2=[1]; >> den2=[5 1 0]; >> num3=[0.8 1]; >> den3=[1]; >> sys3=feedback(series(tf(num1,den1),tf(num2,den2)),tf(num3,den3)) Transfer function: 5 --------------5 s^2 + 5 s + 5

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys3) >> title('Respuesta del Sistema a un Escalon Unitario') >> grid on

Respuesta del Sistema a un Escalon Unitario 1.4

1.2

1

    e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Respuesta del sistema a un escalón unitario Para este sistema a una entrada de escalón unitario el sistema responde adecuada y rápidamente, tan solo 6 segundos de tiempo transitorio, este sistema es adecuado para su implementación física.

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Teoría de Control Automático 2 >> step(sys3*impul) >> title('Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario') >> grid on

Respuesta del Sistema a un Impulso Unitario 0.6

0.5

0.4

    e       d      u       t      i      l      p       m      A

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

0

2

4

6

8

10

12

Time (sec)

Respuesta del sistema a un Impulso Unitario Este sistema a una entrada de impulso unitario también se comporta adecuadamente y logra la estabilidad aproximadamente a los 10 segundos, es bueno para su implementación fisica,  pero habría que mejorarlo.

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Teoría de Control Automático 2

>> step(sys3*ramp,5) >> title('Respuesta del Sistema a una Rampa') >> grid on

Respuesta del Sistema a una Rampa 4.5 4 3.5 3     e       d      u       t      i       l     p       m      A

2.5 2 1.5 1 0.5 0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Time (sec)

Respuesta del sistema a una Rampa Este sistema a una respuesta de rampa nunca llega a la estabilidad, este sistema también resulta inservible para este tipo de entrada.

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Teoría de Control Automático 2 

Cuestionario: 1. Consulte con la ayuda de MATLAB y especifique la sintaxis de cada instrucción usada en esta práctica. Syntax impulse impulse(sys) impulse(sys,t) Impulso puede ser aplicado tanto a idmodels y establece iddata, así como a cualquier mezcla. Para una m idmodel tiempo discreto, el impulso y la respuesta y, cuando sea necesario, su desviación estándar estimada ASD, se calculan utilizando SIM. Cuando se invoca con argumentos de salida, y, ASD, y el vector de tiempo t se devuelven. Cuando el impulso se llama sin argumentos de salida, una parcela de la respuesta al impulso se muestra. Si sd se le da un valor mayor que cero, una región de confianza alrededor de cero se dibuja. Corresponde a la confianza de sd desviaciones estándar. En las parcelas, el impulso es inversamente proporcional a escala con el intervalo de muestreo de modo que tenga la misma energía, independientemente del intervalo de muestreo. Syntax step(m) step(data) step(m,'sd',sd,Time) step(data,'sd',sd,'PW',na,Time) step(m1,m2,...,dat1, ...,mN,Time,'sd',sd) step(m1,'PlotStyle1',m2,'PlotStyle2',...,dat1,'PlotStylek',...,mN, 'PlotStyleN',Time,'sd',sd) [y,t,ysd] = step(m) mod = step(data) Para una m idmodel tiempo discreto, y la respuesta de paso y, cuando sea necesario, su desviación estándar estimada ASD, se calculan utilizando SIM. Cuando se invoca con argumentos de salida, y, ASD, y el vector de tiempo t se devuelven. Cuando el paso se llama sin argumentos de salida, una parcela de la respuesta al escalón se muestra. Si sd se le da un valor mayor que cero, una región de confianza alrededor de la respuesta se señala. Corresponde a la confianza de sd desviaciones estándar. Si la lista de argumentos de entrada contiene "llenar", esta región se traza en una zona llena.

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Teoría de Control Automático 2 2. Explique la razón de las variaciones que se hacen a la función de transferencia para hallar la respuesta al impulso y a la rampa usando la misma función. Las dos respuestas del sistema a un Impulso Unitario son las mismas usando distintos tipos de funciones, esto se debe a que cuando las condiciones iniciales son cero, la respuesta impulso unitario de ()  es igual a la respuesta escalón unitario de  (). 3. Interprete y ejemplifique cada una de las señales de entrada usadas (escalón, impulso y rampa). La “función” de impulso unitario (o la función delta de Dirac) es una señal que tiene una altura infinita y un ancho casi inexistente. Sin embargo, por la manera que es definida, al ser integrada da un valor de uno.

Una entrada escalón puede describirse como un cambio en la entrada desde cero a un valor  finito en el tiempo t = 0. Esta función es discontinua en el origen; sin embargo no se necesita definirla en este punto ya que no es necesario en la teoría de la señal. La función de Escalón unitario es una señal muy útil para probar y definir otras señales. Por ejemplo, usando varias de estas señales movidas en el tiempo y multiplicadas por otras señales, se puede obtener alguna porción de la señal por la que fue multiplicada y eliminar el resto.

La función Rampa está relacionada con la función descrita anteriormente. La función Escalón unitario va desde cero a uno instantáneamente, pero esta función es la que mejor

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Teoría de Control Automático 2 se parece a una función en la vida real, donde se necesita un tiempo para que la señal vaya incrementándose desde cero a su valor ajustado, en este caso uno.

4. ¿Por qué? Y ¿En qué caso específico son usadas estas señales para determinar la respuesta transitoria de un sistema de control? Las señales de prueba son usadas para realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales de los sistemas de control, dado que son funciones del tiempo muy simples, por ejemplo si las entradas de un sistema cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena opción de prueba, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas, una función escalón es la más adecuada y si un sistema está sujeto a entradas de choque una función impulso sería lo mejor.

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Teoría de Control Automático 2 

Conclusiones y Observaciones: -

-

El MATLAB es una herramienta útil para el análisis de sistemas de control a distintos tipos de entrada, en esta práctica se utilizó tres tipos de entrada (Escalón unitario, Impulso y Rampa). Los resultados gráficos que se lograron resultaron muy útiles para la interpretación de los distintos sistemas de control para distintos tipos de entrada. Dado un sistema con función de transferencia se pudieron evaluar los distintos tipos valores de   y ver como varia las gráficas. El teorema de superposición se aplicó para un sistema de dos entradas, con resultados exitosos. Se utilizaron funciones de experiencias anteriores y se lograron resultados esperados.

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