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Optimizaci´on y Programaci´on Lineal Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM 3 de junio de 2014

Problemas Resueltos 1. El granjero Jones debe determinar cu´ antos acres de ma´ız y trigo debe plantar este a˜ no. Un acre sembrado de trigo produce 25 bushels de trigo y requiere de 10 horas de labor a la semana. Un acre sembrado de ma´ız produce 10 bushels de ma´ız y requiere 4 horas de labor a la semana. Todo el trigo producido puede ser vendido a 4 d´ olares el bushel y todo el ma´ız producido puede ser vendido a 3 d´olares el bushel. Se tienen disponibles 7 acres de terreno y 40 horas de labor. El gobierno impone la condici´on de que se produzcan al menos 30 bushel de ma´ız. Sea x1 el n´ umero de acres de trigo a ser plantados y x2 el n´ umero de acres de ma´ız a ser plantados. Usando tales variables de decisi´on, formule un modelo de programaci´ on lineal(PL) donde el granjero Jones pueda maximizar la ganancia de las ventas de trigo y ma´ız sembrado. Modelo Variables de Decisi´ on: x1 : Cantidad de acres de terreno sembrados con trigo x2 : Cantidad de acres de terreno sembrados con ma´ız Funci´ on Objetivo: Maximizar la ganancia total de ventas de los productos sembrados: olares ) · ( 25 bushel ) · (x ) + ( 3 d´olares ) · ( 10 bushel ) · (x ) Ventas = ( 4 d´ 1 2 acre acre bushel bushel = 100 x1 + 30 x2 d´olares Restricciones: R1: Por recursos de terreno: Total plantado = x1 + x2 ≤ 7 acres horas ) x +( 4 horas ) x ≤ 40 horas R2: Por recursos de manor de obra: Total de horas de labor = ( 10acre 1 2 acre 10 bushels R3: Por condiciones de producci´ on impuestas: Producci´on de ma´ız = ( acre ) · x2 ≥ 30 bushels Naturales: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0 2. Respecto al problema anterior, ¿x1 = 2, x2 = 3 est´ a en la regi´ on factible? S´ı, todas las restricciones se cumplen. ¿x1 = 4, x2 = 3 est´ a en la regi´ on factible? No, falla la restricci´ on de horas de labor. ¿x1 = 2, x2 = −1 est´ a en la regi´ on factible? No, no se cumplen las restricciones naturales. ¿x1 = 3, x2 = 2 est´ a en la regi´ on factible? No, no se cumple la restricci´ on impuesta por el gobierno en la producci´ on de ma´ız. 3. Respecto al problema inicial, reformule el modelo usando ahora

x1 = n´ umero de bushels de ma´ız a producir y x2 = n´ umero de bushels de trigo a producir. Modelo Funci´ on Objetivo: Maximizar la ganancia de ventas de los productos sembrados: Ventas = ( 3 d´olares ) · x1 + ( 4 d´olares ) · x2 1 bushel 1 bushel = 3 x1 + 4 x2 d´olares Restricciones: Condiciones de producci´ on: Bushels de ma´ız producido = x1 ≥ 30 bushels     1 acre 1 acre Recursos de terreno: Total sembrado= · x1 + · x2 ≤ 7 acres 10 bushels 25 bushels       10 horas 1 acre 1 acre · x + · x2 ≤ 40 horas Horas de labor : Total horas= 41horas 1 acre 1 acre 10 bushels 25 bushels Naturales: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0 4. FeedCo produce dos tipos de alimento para ganado. Ambos productos est´an hechos completamente de trigo y de alfalfa. El alimento 1 debe contener por lo menos 80 % de trigo y el alimento 2 por lo menos 60 % de alfalfa. El alimento 1 se vende a 1.50 d´olares la libra y el alimento 2 a 1.30 d´olares la libra. FeedCO puede comprar hasta 1,000 libras de trigo a 50 centavos la libra y hasta 800 libras a 40 centavos la libra. Suponiendo que todo producto producido se puede vender, formule un PL para maximizar las ganancias de FeedCo. Modelo Variables de decisi´ on: x11 = Libras de trigo usadas para producir el alimento 1 x12 = Libras de trigo usadas para producir el alimento 2 x21 = Libras de alfalfa usadas para producir el alimento 1 x22 = Libras de alfalfa usadas para producir el alimento 2 As´ı x11 + x12 total de trigo usado x21 + x22 total de alfalfa usada x11 + x21 total de producto 1 producido x12 + x22 total de producto 2 producido Funci´ on objetivo: Maximizar la ganancia: Ganancia = Ventas − Gastos z = (1.5 (x11 + x21 ) + 1.3(x12 + x22 )) − (0.5(x11 + x12 ) + 0.4(x21 + x22 ) Restricciones: Libras de trigo que se pueden comprar: x11 + x12 ≤ 1000 Libras de alfalfa que se pueden comprar: x21 + x22 ≤ 800 Porcentaje de trigo en el alimento 1: x11 ≥ 0.80 (x11 + x21 ) 2

Porcentaje de alfalfa en el alimento 2: x22 ≥ 0.60 (x12 + x22 ) Naturales: x11 , x12 , x21 , x22 ≥ 0 5. Hay 3 f´abricas a la orilla del r´ıo Momiss. Cada una de ellas emite 2 tipos de contaminante en el r´ıo. Si la basura es procesada en cada f´ abrica es posible reducir el contaminante vertido al r´ıo. Cuesta 15 d´ olares procesar una tonelada de basura de la f´abrica 1 y reduce en 0.1 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.45 toneladas. Cuesta 10 d´olares procesar una tonelada de basura de la f´ abrica 2 y reduce en 0.2 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.25 toneladas. Cuesta 20 d´olares procesar una tonelada de basura de la f´abrica 2 y reduce en 0.4 toneladas en el contaminante 1 y en el contaminante 2 en 0.3 toneladas. El Estado quiere reducir la contaminaci´on vertida al r´ıo en al menos 30 toneladas del contaminante 1 y en al menos 40 toneladas en el contaminante 2. Formule un modelo de programaci´ on lineal que minimice el costo de reducir la contaminaci´on. Argumente sobre el cumplimiento de las suposiciones de que exige el modelo lineal. Tome como variables de decisi´ on las cantidades (en toneladas) de la basura a ser procesada por cada f´abrica. Modelo Variables de Decisi´ on: Xi : El n´ umero de toneladas de basura procesada por la f´abrica i (i = 1, 2, 3). Datos: Ci : El costo en d´ olares de procesar una tonelada de basura en la f´abrica i (i = 1, 2, 3). i=1 15

Ci

i=2 10

i=3 20

j: El tipo de contaminante a disminuir (j = 1, 2). fij : La cantidad en toneladas de contaminante j que se elimina al procesar una tonelada de basura en la f´abrica i. fij j=1 j=2

i=1 0.10 0.45

i=2 0.20 0.25

i=3 0.40 0.30

Mj : La cantidad en toneladas en que se impone reducir el contaminate j en el r´ıo Momiss por las tres f´abricas. j=1 30

Mj

j=2 40

Funci´ on Objetivo: Minimizar el costo total de procesar Xi toneladas de basura en la f´ abrica i. Costo =

3 X

Ci · Xi

i=1

Restricciones: Reducir cada tipo de contaminante en la cantidad total reducida no es menor que la meta Para cada j = 1, 2 :

3 X i=1

3

fij · Xi ≥ Mj

Naturales: Xi ≥ 0 para i = 1, 2, 3. 6. Sup´ongase que en el ejemplo de la oficina de correos, que cada emplado de tiempo completo trabaja 8 horas. De esta manera, el requerimiento de 17 trabajadores el lunes puede verse como una necesidad de 8 · 17 = 136 horas. La oficina de correos quiere cumplir con sus necesidades laborables diarias empleando personal de tiempo completo y de tiempo parcial. Durante una semana, un trabajador de tiempo completo labora 5 d´ıas consecutivos y uno de tiempo parcial trabaja 4 horas durante 5 d´ıas consecutivos. Un empleado de tiempo completo cuesta 15 d´olares la hora mientras que un empleado de tiempo parcial cuesta 10 d´olares la hora. Los requirimientos sindicales limitan el trabajo de tiempo parcial al 25 % de las necesidades laborales semanales. Formule un PL para minimizar los costos laborales semanales de la oficina de correos. Modelo Variables de Decisi´ on: xi = n´ umero de trabajadores de planta que inicia su semana en el d´ıa i yi = n´ umero de trabajadores de tiempo parcial que inicia su semana el d´ıa i. X = total de trabajadores de tiempo completo Y = total de trabajadores de tiempo parcial Datos: C1 = Costo de hora laboral de un empleado de tiempo completo. C2 = Costo de hora laboral de un empleado de tiempo parcial. Hi = N´ umero de horas hombre requeridas en el d´ıa i. Funci´ on Objetivo: Min z = 40 C1 X + 20 C2 Y Restricciones: P P X = 7i=1 , Y = 7i=1 yi . Horas requeridas d´ıa 1: 8 (X − (x2 + x3 )) + 4 (Y − (y2 + y3 )) ≤ H1 Horas requeridas d´ıa 2: 8 (X − (x3 + x4 )) + 4 (Y − (y3 + y4 )) ≤ H2 Horas requeridas d´ıa 3: 8 (X − (x4 + x5 )) + 4 (Y − (y4 + y5 )) ≤ H3 Horas requeridas d´ıa 4: 8 (X − (x5 + x6 )) + 4 (Y − (y5 + y6 )) ≤ H4 Horas requeridas d´ıa 5: 8 (X − (x6 + x7 )) + 4 (Y − (y6 + y7 )) ≤ H5 Horas requeridas d´ıa 6: 8 (X − (x7 + x1 )) + 4 (Y − (y7 + y1 )) ≤ H6 Horas requeridas d´ıa 7: 8 (X − (x1 + x2 )) + 4 (Y − (y1 + y2 )) ≤ H7 Relaci´on tiempo parcial/completo: 400 Y ≤ 25 (8 X + 4 Y ) Naturales xi , y, X, Y ≥ 0. 7. Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Est´a considerando producir dos tipos de dulces: Slugger Candy y Easy Out Candy, que se componen u ´nicamente de az´ ucar, chocolate y nueces. Actualmente tiene en bodega 100 Onzas de az´ ucar, 20 onzas de nueces y 30 onzas de chocolate. La mezcla para producir Slugger tiene que contener al menos 10 % de nueces y por la menos 10 % de chocolate, mientras que para producir Easy Out debe contener al menos 20 % de nueces. Cada onza de Easy Out se vende en 25 centavos de d´ olar mientras que una de Slugger se vende en 20 centavos. Formule un PL que permita maximizar los ingresos por venta. Modelo Variables de Decisi´ on: 4

xij = n´ umero de onzas del ingrediente i usada en el producto j. Xj = total de onzas producidas del producto j. Datos: N = n´ umero de productos a producir. M = n´ umero de ingredientes usados. Gj = ganancia en el producto j, j = 1, . . . , N . Pi = n´ umero de onzas del ingrediente i disponibles i = 1, . . . , M . Q11 = 10 % del producto 1 (Slugger) debe ser del ingrediente 1 (nuez) al menos. Q21 = 10 % del producto 1 (Slugger) debe ser del ingrediente 2 (chocolate) al menos. Q12 = 20 % del producto 2 (Easy Out) debe ser del ingrediente 1 (nuez) al menos. Funci´ on Objetivo: Max z =

N X

Gj Xj

j=1

Restricciones: P Producci´ on: para todo j = 1, . . . , N , Xj = M i=1 xij . PN Recursos: para todo i = 1, . . . , M , j=1 xij ≤ Pi . Calidad: • Nueces en Slugger: x11 ≥ Q11 · X1 • Chocolate en Sluger: x21 ≥ Q21 · X1 • Nueces en Easy-Out: x12 ≥ Q12 · X2 Naturales: xij , Xj ≥ 0. 8. La cervecer´ıa Bloomington produce cerveza del tipo I y cerveza del tipo II. La cerveza del tipo I se vende a 5 d´olares el barril y la cerveza del tipo II se vende a 2 d´olares el barril. La producci´on de un barril de cerveza tipo I requiere 5 libras de cebada y 2 libras de l´ upulo, mientras que un barril de cerveza del tipo II requiere 2 libras de cebada y 1 libra de l´ upulo. Se disponen 60 libras de cebada y 23 libras de l´ upulo. Formule un modelo de PL de manera que la compa˜ n´ıa maximice sus ingresos bajo el supuesto que toda la producci´on ser´ a vendida. Modelo Variables de Decisi´ on: xij = n´ umero de libras del ingrediente i usada en el producto j. Xj = total de barriles producidos del producto j. Datos: N = n´ umero de productos a producir 2. M = n´ umero de ingredientes usados 2. Gj = ganancia en el producto j, j = 1, . . . , N . Pi = n´ umero de libras del ingrediente i disponibles i = 1, . . . , M . Rij = libras del ingrediente i requeridas en un barril del producto j. 5

Funci´ on Objetivo: Max z =

N X

Gj Xj

j=1

Restricciones: Producci´ on: para todo j = 1, . . . , N y para todo i, Rij Xj = xij . P Materia prima: para todo i = 1, . . . , M , N j=1 xij ≤ Pi . Recursos humanos: no considerados. Calidad: No hay restricciones. Demanda: No hay restricciones. Naturales: xij , Xj ≥ 0. 9. El pastelero Jones produce dos tipos de pastelillos (de chocolate y de vainilla). Se puede vender cada pastelillo de chocolate a 1 d´ olar y cada pastelillo de vainilla a 50 centavos. Cada pastelillo de chocolate tarda 20 minutos en cocerse y requiere 4 huevos. Cada pastelillo de vainilla tarda 40 minutos en cocerse y requiere 1 huevo. Se disponen 8 horas de horneado y 30 huevos. Formule un modelo de PL de manera que el pastelero maximice sus ingresos bajo el supuesto que todos sus productos ser´an vendidos. Modelo Variables de Decisi´ on: xi = n´ umero de productos tipo i a producir Datos: N = n´ umero de productos a producir 2. Gi = ganancia en el producto i, i = 1, . . . , N . Ci = horas requeridas de cocimiento para el producto i Hi = n´ umero de huevos requeridos para el producto i HT = total de huevos disponibles CT = total de horas de horno disponibles Funci´ on Objetivo: Max z =

N X

Gi x i

i=1

Restricciones: PN

i=1 Hi xi ≤ HT . PN Materia prima tiempo cocimiento: i=1 Ci xi ≤ CT .

Materia prima huevo: para todo

Recursos humanos: no considerdos. Calidad: No hay restricciones. Demanda: No hay restricciones. Naturales: xi ≥ 0.

6

10. Todo el acero producido por SteelCo tiene que cumplir con las siguientes especificaciones: 3.2 a 3.5 % de carbono; 1.8 a 2.5 % de silicio; 0.9 a 1.2 % de n´ıquel; y resistencia a la tracci´on de por lo menos 45,000 lb/pulg2 . SteelCo produce su acero mezclando dos tipos de aleaciones. El costo y sus propiedades aparecen en la siguiente tabla. Suponga que se puede determinar la resistencia a la tracci´on haciendo un promedio ponderado de los tipos de aceros que se mezclan. Modele un PL que minimize los costos de producci´on de una tonelada de acero.

Costo % Si % Ni %C Resistencia

Aleaci´on 1 190 2% 1% 3% 42,000 lb/pulg2

Aleaci´on 2 200 2.5 % 1.5 % 4.0 % 50,000 lb/pulg2

Modelo Variables de decisi´ on: x1 = Toneladas de la aleaci´on 1 a usar x2 = Toneladas de la aleaci´on 2 a usar Funci´ on objetivo: Minimizar los costos de producci´ on: z = 190 x1 + 200 x2 Restricciones: Se desea producir solo una tonelada de acero: x1 + x2 = 1 Rango de n´ıquel: • 0.009 · (x1 + x2 ) ≤ (0.01 x1 + 0.015 x2 ) • (0.01 x1 + 0.015 x2 ) ≤ 0.012 (x1 + x2 ) Rango de silicio: • 0.018 (x1 + x2 ) ≤ (0.02 x1 + 0.025 x2 ) • (0.02 x1 + 0.025 x2 ) ≤ 0.025 (x1 + x2 ) Rango de carbono: • 0.032 (x1 + x2 ) ≤ (0.03 x1 + 0.04 x2 ) • (0.03 x1 + 0.04 x2 ) ≤ 0.035 (x1 + x2 ) Resistencia de tracci´ on m´ınima: (42000 x1 + 50000 x2 ) ≥ 45000 (x1 + x2 ) Naturales: x1 , x2 ≥ 0 11. SteelCo produce dos tipos de aceros en tres diferentes acer´ıas. Durante un mes dado, cada acerer´ıa dispone de 200 horas de alto horno. El tiempo y el costo de producci´on de una tonelada de acero, difiere de una acer´ıa a otra debido a las diferencias de hornos en cada acer´ıa. En la siguiente tabla se muestran el tiempo y el costo de producci´ on para cada acer´ıa. Cada mes, SteelCo debe producir al menos 500 ton de acero tipo 1 y 600 ton de acero tipo 2. Formule un PL para nimimizar el costo de producir el acero deseado.

Acer´ıa 1 Acer´ıa 2 Acer´ıa 3

Acero 1 costo(dls) tiempo(min) 10 20 12 24 14 28 7

Acero 2 costo(dls) tiempo(min) 11 22 9 18 10 30

Modelo Variables de Decisi´ on: xij = n´ umero de toneladas de acero tipo i producidas en la acer´ıa j. Datos: N = n´ umero de tipos de acero a producir 2. M = n´ umero de acer´ıas disponibles 3. Hj = n´ umero de horas de alto horno disponibles en la acer´ıa j. Ai = toneladas de acero tipo i requeridas en total. Cij = costo de producci´ on de una tonelada de acero tipo i en la acer´ıa j. Hij = n´ umero de horas de alto horno requeridas para la producci´on de una tonelada acero tipo i en la acer´ıa j. Funci´ on Objetivo:: Minimizar el costo total de producci´on: Min z =

N X M X

Cij xij

i=1 j=1

Restricciones: Producci´ on: para cada acero i = 1, . . . , N :

PM

j=1 xij

= Ai .

Recursos horas de alto horno: para cada acer´ıa j = 1, . . . , M Naturales xij ≥ 0.

8

PN

i=1 Hij

xij ≤ Hj .