TC1_METODOS NUMÉRICOS.docx

METODOS NUMÉRICOS

PRESENTADO POR:

MARINELLA ESPINOSA CÓDIGO: 30506951 EDDA MARYURY MONTERO CÓDIGO: 1117524039 KATTY SOFIA MOJICA PERTUZ: 52541967 DARIBEL MEJIA: 1.063.481.076

GRUPO: 100401_104

TUTOR DIANA YADITH RISCANEVO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD MARZO DE 2017

INTRODUCCIÓN Al momento de aplicar las Matemáticas a situaciones del mundo real nosencontramos a menudo con problemas que no pueden ser resueltos analíticamente o de manera exacta y cuya solución debe ser abordada con ayuda de algún procedimiento numérico. Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución, Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos, Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado. Es por ende que por medio del presente trabajo se pretende aplicar las temáticas del curso correspondientes a la Unidad 1 y acercarnos un poco más a los métodos propuestos para solucionar problemas.

ACTIVIDAD

1 Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos. Ejemplo N° 1 Una persona contrata una conexión de internet de 2 Megas, por lo que se considera que la velocidad máxima de descarga de 256 KB/seg pero al investigar la velocidad real es de 220 KB/seg. 1

ERROR ABSOLUTO: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

Error absoluto

´ Xi Ea = X−

Ea =error absoluto X´ =Valor real u exacto X i=Valor aproximado Ea =220 KB/ s−256 KB/s Ea =−36 KB/ s ERROR RELATIVO: Es el cociente entre el error absoluto y el valor que consideramos como exacto (la media). Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo

porque puede se puede producir por exceso o por defecto y al contrario que él no viene acompañado de unidades. Error relativo:

Er =

Ea ´ X

Er =

−36 KB/s 220 KB/ s

Er =¿ - 0,1636

Considere los siguientes valores de b y b* y calcule i) el error relativo y ii) el error absoluto: Al someter un metal a altas temperaturas, este sufre una dilatación longitudinal. Si se realizan varias mediciones de sus longitud determinar tanto el error absoluto como relativo si b = 0.045mm b* = 0.040mm Error Absoluto = b-b* b=0.045mm b*=0.040mm =0.045-0.040 EA=0.005mm Error Relativo = |b-b*|/b=|0.045-0.040|/0.045=0.005/0.045=0.111 ER=0.1111 Determine las raíces reales de f(x)= 0.2x^2+0.3x – 0.1 Usando la formula cuadrática f(x)= 0.2x^2+0.3x – 0.1

0.2x^2+0.3x-0.1=0 ABC x=(-b±√(b^2-4ac))/2a x=(-0.3±√(〖0.3〗^2-4(0.2)(-0.1) ))/2(0.2) x=(-0.3±√0.17)/0.4 x=(-0.4123)/0.4 x=(-0.3±0.4123)/0.4 x_1=(-0.1123)/0.4=0.2808 x_2=(-0.3-0.4123)/0.4=(-0.7123)/0.4=1.7808

2 Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de (�) = �2 − 3� + ��, comenzando con xo=0, con 4 iteraciones.

Paso 1: Igualar la función a 0 y despejar x. Entonces Primero igualamos la función a cero: x 2−3 x+e x =0 Se factoriza y despeja

x :

x ( x−3 )+ e x =0 x ( x−3 )=e x

x=

ex ( x −3 )

Encontramos la derivada de

g( x)

g (x )=

g' ( x ) =

ex ( x−3 )

x x e ( x−3 )−e ( 1−0 ) ( x−3 )2

g' ( x )=

xe x −3 e x −1 e x ( x−3 )2

x e ( x−4 ) g ( x )= ( x−3 )2 '

Comprobamos si converge, por lo que entonces reemplazamos x 0=0 en g' (x) : e 0 ( 0−4 ) g ( x )= ( 0−3 )2 '

'

g ( x )=

1 ( 0−4 ) −4 = =−0.44 9 9

Notamos que cumple con la condición a la

−1< g' ( x )< 0

Por lo tanto converge

raíz. Se calcula la primera interacción. x

x 0=0 en g(x ) 0

e e 1 x 1= = = =−0.33 (x−3) (0−3) −3 Encontramos la segunda interacción X2

x 2=

x1

−0,33

e e 0.72 = = =−0.2162 ( x 1−3 ) (−0.33−3 ) −3.33

Encontramos la tercera interacción X3

x 3=

x2

−0.2162

e e 0,80 = = =−0.2487 −3,2162 ( x2 −3 ) (−0,2162−3 )

Y Encontramos la cuarta interacción X4 x 4=

x3

−0.2487

e e 0.7798 = = =−0,2487 ( x 3−3 ) (−0,2487−3 ) −3,2487

Notamos que en la tercera interacción X 3 y en la cuarta X4 tenemos los mismos resultados lo que quiere decir que se encontró la convergencia. Entonces la Raíz de la función es aproximadamente. x ≅−0,2487 Gráfica:

Grafica Punto fijo raíz de �(�) =�^2−3�+�^� , comenzando con xo=0 4.00

4.00 3.50

3.00

3.00 2.50 2.00

2.00

1.50

1.00 1.00 0.50 0.00 -0.33 1 -0.50 -1.00

-0.22 2

-0.25 3

-0.25 4

3 Obtener la raíz de la función (� ) = �� − � . � , en el intervalo [-1, 1] por el Método de Newton- Raphson, tomando como valor inicial xo= -1, con una exactitud de 10-4. Para la construcción del método se tiene en cuenta que

x n+1=x n−

f ( x n) f ´ ( x n)

Luego f´(x) será x

f ´ ( x )=2 ln (2) Luego

x n+1=x n−

n

xn

2 −1. 1 x 2 ln (2) n

Xn

x0

-1

x1

0,731234049

x2

0,418320637

x3

0,379055841

x4

0,378511726

Xn+1 0,7312340 5 0,4183206 4 0,3790558 4 0,3785117 3 0,3785116 2

error

0,312913412 0,039264796 0,000544115 1,02633E-07

Entre la tercera y cuarta iteración se logra el resultado con el error esperado y por tanto la raíz de

f ( x )=2 x −1 .1 es 0,378511726

Comprobando

( x )=20,378511726−1 . 3=9.25838 E−9 ≈ 0

4 Obtener una raíz de la función f(x) = Cos (x – 1) + Sen (x – 1) + 0.3 en el intervalo [0,1] por el método de la secante. Encontrar también la quinta iteración resultante del proceso iterativo y dar los resultados con cinco cifras decimales correctos. f(x) = Cos (x – 1) + Sen (x – 1) + 0.3 En intervalo [0,1] Método x_(n+1)=x_n-f(x_n)〖x_n-x〗_(n-1)/(f(x_n )-f(x_(n-1) ) ) x_0=0 x_1=1

x_2= 1-1,33((1-0)/1,30116878)=-0,0208458085 x_3=-0,0208458085-f(-0,0208458085) ((-0,0208458085-1)/(f(-0,0208458085)-f(1))) x_3=-0,02091465281 Continuando de esta manera encontramos que x_4=-0,02091464252 x_5=-0,02091464252 Observamos que f(x_5 )=4,5X〖10〗^(-12)≈0 Raiz =-0,02091464252

5 Usando el Método de la Regla Falsa aproximar la raíz de � (� ) = � −� (2,1� � �(� ) − 0,2� � � (� )) en el intervalo [0, 1] con ξa = 0,001

Como

f ( 0 ) , f ( 1 )