Taxa de Variação

2- A que taxa o nível nível do líquido líquido diminui diminui dentro dentro de um tanque cilindrico cilindrico vertical vertical se bombearmos o líquido para para fora a uma taxa de 3000 3000 l/min? Com o passar do tempo, o raio permanece constante, mas V e h variam. Percebemos que V e h são funções deriváveis do tempo e usa usamos t para repres represent entar ar o tempo tempo.. Sabemo Sabemoss que: que:

dV  

r

dt 



3000



E devemos determinar dh dt 



dh

A que taxa o nível do liquido diminui?

dt 

?

h

dV  dt 

dh

Para determi rminar , prim rimeiro, escrevemos uma equação que relacione h dt  e V. A equa quação depe depend nde e das das uni unidade dadess esc escolhi lhidas das par para V, r e H. Com V em litr litro os e r e h em metr metros os,, a equa equaçção ade adequad quada a par para o volum olume e do cili cilind ndro ro é:

3000l  3000l  / min min

 

V 

2



1000  r  h

Pois Pois 1m3 contém contém 1000 1000 litros litros

V 

Como V e h são funções deriváveis de t, podemos derivar os dois lados da equação em relação a t para obter uma equação que relacione dh a dV  . dt 

dV  dt 



dh

dt 

dt 

1000  r  . 1



dh dt 

.

2

dh dt 

1000  r  h

dV  dh 

dV  dt 

2



2

1000  r  3 



2

  r 

dh dt 

.( 3000) 

Logo, o nível do liquido diminui a uma taxa de 3 m / min   r 

2

3

dh

m / min A equação , mostra como a taxa com que o nível do 2 dt    r  liquido diminui está relacionada ao raio do tanque. Se r for pequeno, dh/dt será grande ; se r for grande , dh/dt será pequena. Exemplo: 

Se r   1m

:

Se r   10m

dh dt 

:

3  

dh dt 

0,95m / min

 

95cm / min

 

  

3  

100  

0,0095m / min

 

0,95cm / min

 

3-Suponha que o custo seja C(x) = x3-6x2+15x dólares para produzir x aquecedores quando são produzidas de 8 a 30 unidades e que R(x)=x3-3x2+12x represente a receita da venda de x aquecedores. Sua loja produz 10 aquecedores por dia. Qual será o custo adicional aproximado para produzir um aquecedor a mais por dia e qual será o aumento estimado no rendimento da venda de 11 aquecedores por dia?

O custo para produzir uma unidade a mais, quando são produzidas 10 unidades por dia é aproximadamente C (10) . ´

C ´( x)



3 x

2

12 x  15



2

C ´(10)



3(10)

C ´(10)



3.100  120  15

C ´(10)



300  120  15

C ´(10)



195



12(10)  15

O custo adicional será de aproximadamente 195 dólares. Analogamente ao que foi feito, podemos utilizar para a função rendimento .

 R´( x)



3 x 2 6 x  12 2

 R´(10)



3(10)

6(10)  12

 R´(10)



3.100  60  12

 R´(10)



300  60  12

 R´(10)



252



Se você atualmente vende 10 unidades por dia, você pode esperar que seu rendimento aumente aproximadamente 252 dólares se a venda aumentar de 10 para 11 unidades por dia.

Exercício

1-m tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2m e altura igual a 4m. Se a água esta sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2m3/ min, encontre a taxa na qual o nível da água esta elevando quando a água está a 3m de profundidade.