Tautologia Contradiccion y Contingencia
February 19, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Tautología, autología, Contradicción y Contingencia
Tautología •
Proposición compuesta que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables p p'
•
p p'
p
p’ p’
1
0
1
0
1
1
Al tener siempre un resultado verdadero verdadero se consideran leyes y se usan para hacer demostraciones de teoremas o para inferir resultados de proposiciones desconocidas
Tautologías comunes nombre
1 Adición 2 Simplificación 3 Absurdo 4 Modus Ponens
Tautología
p p q
p q p p 0 p'
5 Modus Tollens
p p q q p q q' p'
6 Transitividad de la bicondicional
p q q r p r
7 Transitividad de la condicional
p q q r p r
8 Extensión de la condicional 9 Dilemas constructivos
p q p r q s p q p r q s p q q r p r p q r s p r q s p q r s p r q s
•
•
P Q , se lee, si P entonces entonces Q Para probar que las proposiciones anteriores son tautologías, se debe de cambiar el símbolo por y evaluar la proposición de la forma normal
•
Ejemplo: p q q' p'
p q
p q q'
p q q' p'
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
p’ q’ p’ q’
p
q
0
0
1
0
1
1 1
Contradicción •
Se dice que una proposición es una contradicción o absurdo si al evaluarla el resultado para todos los valores de verdad dees susfalso variables p p'
p
p’ p’
1
0
0
0
1
0
•
La contradicción se usa en la demostración de teoremas, ya que si en ésta se obtiene que p es verdadera y también que p’ es verdadera y
se sabe que esto es una contradicción, se puede concluir que el teorema es falso
Contingencia •
•
Proposición compuesta cuyos valores dan como resultado unos y ceros Prácticamente cualquier proposición que se invente sería una contingencia
Inferencia Lógica •
•
Los argumentos basados en tautologías se consideran lógicamente correctos, la forma en que dichos argumentos se conocen como reglas se derelacionan inferencia.entre sí Éstas permiten permiten relacionar dos o mas proposiciones para obtener una tercera que es válida en una demostración
•
Considere el siguiente argumento –
–
Si es un gato, entonces come carne Si come carne, entonces es un felino Si es un gato, entonces es un felino
p: es un gato q: come carne r: es un felino
p q q r
p r
•
Considere el siguiente argumento –
–
Bajan los impuestos Si bajan los impuestos, entonces el ingreso se eleva
El ingreso se eleva
p: Bajan los impuestos impuestos q: El ingreso se eleva
p p
q
q
p s' q q's q's s' p p s' q s' p Dónde p es p s' q q' s , q es , y r es
s' p
Reglas de inferencia p
10. Adición
11. Simplificación Simplificación
p q
p
14. Conjunción
p q
p
q p
p
15. Modus ponen p q
12. Silogismo disyuntivo
p
q
q
p ' q
15. Modus tollens 13. Silogismo hipotético
q
p q q r
p r
p
q
q' p '
Equivalencia Equiv alencia lógica •
Se dice que dos proposiciones son lógicamente equivalentes si coinciden sus resultados mismos valores de verdad y se indica para plos q p
q
p
q p’ p’ q’ q’
p q q p q' p'
p q q p
0
0 1
1
1
1
1
1
1
0
1 1
0
1
0
1
0
0
1
0 0
1
0
1
0
0
0
1
1 0
0
1
1
1
1
1
Equivalentes
p q
q
'
p
'
p q
Equivalentes
p q
q p
p q
Proposiciones equivalentes 17 Doble negación p' ' p
21 Leyes de idempotencia
p p p p p p
18 Leyes conmutativas
p q q p p q q p p q q p
22 Leyes de Morgan
p q ' p'q' p q ' p'q'
19 Leyes asociativas
p q r p q r p q r p q r
23 Contrapositiva
p q q' p'
20 Leyes distributivas
p q r p q r
p q p r p q p r
Proposiciones equivalentes 24 Variantes de la condicional
p q p' q p q p q' ' p q p' q p q p q' ' p r q r p q r p q p r p q r
26 Contradicción p p' 0
27 Leyes de identidad p 0 p p 1 1 p 0 0 p p' 1
25 Variantes de la bicondicional
p 1 p
p q p q q p p q p' q q' p p q p q p'q'
p q q q 28 Disyunción exclusiva '
p q p q
Ejercicio •
Demostrar que las proposiciones siguientes son Demostrar lógicamente equivalentes, equivalentes, usando tautologías y/o equivalencias
p r q r p q r
Ejercicio •
Demostrar que las proposiciones siguientes son Demostrar lógicamente equivalentes, equivalentes, usando tautologías y/o equivalencias
p q r p p p r p q q r
Argumentos válidos y no válidos
Caso en el que el argumento es válido y tanto las hipótesis y la conclusión son verdaderas verdaderas Considere lo siguiente: Las aves son ovíparas. El gorrión es ave. Por lo tanto; el gorrión es ovíparo •
p1: Las aves son ovíparas p2:El gorrión es ave q: El gorrión es ovíparo
p1 p2 q 11 1
Como p1 =1, p2 =1, q=1, entonces se trata de un argumento válido ya que:
11 1 11 1
argumento es válido cuando Caso en el que el argumento todas o algunas de las hipótesis son falsas, falsas, y la conclusión es verdadera verdadera Considere lo siguiente: Las mujeres son jóvenes. Miss universo es mujer. Por lo tanto; Miss universo es joven •
p1: Las mujeres son jóvenes p2:Miss universo es mujer q: Miss universo es joven
p1 p2 q 0 1 1
Tenemos que p1 =0, p2 =1, q=1, Y se trata de un argumento válido ya que:
0 1 1 0 1 1
Caso en el que el argumento argumento es válido y las hipótesis y la conclusión son falsas falsas Considere lo siguiente: Los alemanes son de raza negra. negra. George Bush es de raza negra. Por lo tanto George Bush es alemán •
p1: Los alemanes son de raza negra p2:George Bush es de raza negra p p q 1 2 q: George Bush es aleman 000
Aunque p1 =0, p2 =0, q=0, se trata de un argumento válido ya que:
00 0 00 1
Un argumento no se considera válido si está integrado por hipótesis verdaderas y conclusión falsa falsa Considere lo siguiente: c2=a2+b2. c2=a2+b2 se aplica en triángulos tr iángulos rectángulos. Por lo tanto,, es la segunda ley de Newton tanto •
p1: c2=a2+b2 p2: c2=a2+b2 se aplica en triángulos rectángulos q: es la segunda ley de Newton p p q 1
Podemos observar que p1 =1, p2 =1, q=0 Y se trata trata de un se trata trata de un argumento argumento
2
11 0 11 0 1 0
NO válido ya que:
0
•
•
La forma más fácil de determinar si un argumento es válido es por la tabla de verdad Si se trata de una tautología el argumento es válido, en caso contrario el argumento es inválido
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