Tautologi (#4)

Logika Matematika

Tautologi dan Ekuivalen Logis (#4)

AMIK-STMIK Jayanusa ©2009 Tautologi dan Ekuivalen Logis

1

Mengevaluasi Validitas Argumen • Sebelum mengevaluasi validitas suatu argumen maka terlebih dahulu harus membentuk pernyataanpernyataan menjadi ekspresi logika. Contoh 4.1 Jika Anda mengambil mata kuliah logika matematika, dan jika anda tidak memahami tautologi maka Anda tidak lulus. • Untuk membuktikan validitasnya, berilah variabel proposisional yang relevan, misal: A = Anda mengambil mata kuliah logika matematika B = Anda memahami tautologi C = Anda lulus. Tautologi dan Ekuivalen Logis 2

Mengevaluasi Validitas Argumen • Dengan demikian bentuk ekspresi logikanya berupa proposisi majemuk seperti berikut:

A  B  C

• Tabel Kebenaran dari ekspresi logika di atas adalah A

B C

A

B

C

F

F

F

T

T

F

T

F

F

T

T

F

F

T

F

T

F

F

T

F

T

F

T

T

F

F

F

T

T

F

F

T

T

T

T

T

F

T

T

F

T

F

T

T

F

F

T

F

T

T

T

T

F

F

F

T

Tautologi dan Ekuivalen Logis

(A

B) → ¬C

B

3

Mengevaluasi Validitas Argumen • Tabel kebenaran dari ekspresi yang terdiri atas n variabel akan mempunyai 2n baris. Contoh 4.2 Barang-barang yang dibeli di toko ini dapat dikembalikan, hanya jika berada dalam kondisi yang baik, dan hanya jika pembeli membawa bukti pembeliannya. Mengubah menjadi variabel proposisional: A = Barang-barang dapat dikembalikan B = Barang-barang dalam kondisi baik C = Pembeli membawa bukti pembeliannya Jadi, ekspresi logikanya adalah: A →(BΛC) Tautologi dan Ekuivalen Logis

4

Mengevaluasi Validitas Argumen • Sebagai bantuan, kita dapat menggunakan cara heuristik (heuristic) berikut: 1. Ambil pernyataan-pernyataan yang pendek, tanpa kata “dan”, “atau”, “jika…maka…”, “…jika dan hanya jika…”, pada pernyataan tersebut yang bisa dijawab benar atau salah. 2. Ubahlah pernyataan-pernyataan yang pendek tersebut dengan variabel-variabel proposisional. 3. Rangkailah variabel-variabel proposisional dengan perangkai yang relevan. 4. Bentuklah menjadi proposisi majemuk jika memungkinkan dengan memberi tanda kurung biasa yang tepat. Tautologi dan Ekuivalen Logis

5

Mengevaluasi Validitas Argumen Contoh 4.3 Jika Badu belajar rajin dan sehat, maka Badu lulus ujian, atau jika Badu tidak belajar rajin dan tidak sehat, maka Badu tidak lulus ujian Langkah 1 Menentukan proposisi-proposisi yang tepat (1) Badu belajar rajin (2) Badu sehat (3) Badu lulus ujian Langkah 2 Mengganti proposisi dengan variabel proposisi A = Badu belajar rajin B = Badu sehat C = Badu lulus ujian Tautologi dan Ekuivalen Logis

6

Mengevaluasi Validitas Argumen Langkah 3 Perangkai yang relevan adalah implikasi (→), negasi (¬), dan (Λ), dan terakhir atau (V). Langkah 4 Ubah menjadi ekspresi logika berupa proposisi majemuk: ((A Λ B) → C) V ((¬A Λ ¬B)→¬C) • Untuk suatu argumen yang terdiri dari banyak pernyataan – pernyataan yang diikuti satu pernyataan berupa kesimpulan, maka validitasnya ditentukan dari hasil Tabel Kebenaran yang menyimpulkan bahwa premis-premis dari argumen harus benar sehingga kesimpulan yang diambil dari premis-premis tersebut harus benar. Tautologi dan Ekuivalen Logis

7

Tautologi • Argumen yang dibuktikan validitasnya dengan Tabel Kebenaran harus menunjukkan nilai benar. Jika hasil benar, maka argumen valid, jika tidak maka sebaliknya. Jika pada Tabel Kebenaran untuk semua pasangan nilai variabel-variabel proposisional yang ada bernilai benar atau T maka disebut tautologi. Contoh 4.4 (AΛB)→(CV(¬B→¬C)) • Tabel Kebenaran argumen tersebut adalah:

Tautologi dan Ekuivalen Logis

8

Tautologi A

B

C ¬B ¬C AΛB ¬B→¬C

C V (¬B→¬C)

(AΛB) →(C V (¬B→¬C))

F

F

F

T

T

F

T

T

T

F

F

T

T

F

F

F

T

T

F

T

F

F

T

F

T

T

T

F

T

T

F

F

F

T

T

T

T

F

F

T

T

F

T

T

T

T

F

T

T

F

F

F

T

T

T

T

F

F

T

T

T

T

T

T

T

T

F

F

T

T

T

T

• Jadi, ekspresi logika di atas adalah tautologi karena pada tabel kebenaran semua pasangan menghasilkan nilai T. Tautologi dan Ekuivalen Logis

9

Tautologi Contoh 4.5 1. Apakah (A V ¬A) adalah tautologi? A

¬A

A V ¬A

F T

T F

T T

• Jadi (A V ¬A) adalah tautologi, dan disebut dengan nama excluded middle law. 1. Apakah ¬(AΛB)VB adalah tautologi? A

B

AΛB

F F T T

F T F T

F F F T

¬(AΛB)

¬(AΛB)VB

T T T F dan Ekuivalen Logis Tautologi

T T T T

10

Tautologi • Tautologi juga dapat ditulis dengan simbol Ŧ (suatu metasymbol, bukan perangkai logika) sehingga pada ekspresi logika di atas akan ditulis: Ŧ ¬(AΛB)VB Contoh 4.6 • Jika Tono pergi kuliah, maka Tini juga pergi kuliah. Jika Siska tidur, maka Tini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Tono pergi kuliah atau Siska tidur, mak Tini pergi kuliah. Diubah ke variabel proposisional: A = Tono pergi kuliah B = Tini pergi kuliah C = Siska tidur Tautologi dan Ekuivalen Logis

11

Tautologi • Diubah menjadi ekspresi logika yang terdiri dari premis-premis dan kesimpulan. Ekspresi logika 1 dan 2 adalah premis-premis, sedangkan ekspresi logika 3 adalah kesimpulan. (1) A → B (premis) (2) C → B (premis) (3) (AVC) → B (kesimpulan) Selanjutnya dapat ditulis berikut ((A→B)Λ(C→B))→((AVC)→B) atau (A → B, C → B) Ŧ (AVC) → B Tautologi dan Ekuivalen Logis

12

Tautologi • Tabel Kebenaran dari ekspresi logika tersebut: A B C A→B C→B

(A→B)Λ(C→B) A V C (A V C) → B ((A→B)Λ(C→B))→((AVC)→B)

F F F

T

T

T

F

T

T

F F T

T

F

F

T

F

T

F T F

T

T

T

F

T

T

F T T

T

T

T

T

T

T

T F F

F

T

F

T

F

T

T F T

F

F

F

T

F

T

T T F

T

T

T

T

T

T

T T T

T

T

T

T

T

T

• Jika tabel kebenaran menunjukkan hasil tautologi, maka argumen tersebut valid. Dalam logika, tautologi dapat ditulis T atau 1 saja. Jadi, jika A adalah tautologi, maka A = T atau A = 1. Tautologi dan Ekuivalen Logis

13

Kontradiksi Definisi: Suatu ekspresi logika yang selalu bernilai salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya, disebut kontradiksi. Contoh 4.7 1. A Λ ¬A, tabel kebenarannya adalah: A F

¬A T

A Λ ¬A F

T

F

F

Tautologi dan Ekuivalen Logis

14

Kontradiksi 2. ((AVB)Λ¬A)Λ¬B Tabel kebenaran dari ekspresi ini adalah: A F F T T

•

B F T F T

¬A T T F F

¬B T F T F

AVB F T T T

(AVB)Λ¬A ((AVB)Λ¬A)Λ¬B F F T F F F F F

Kontradiksi dapat ditulis F atau 0 saja. Oleh karena itu, jika A adalah kontradiksi, maka A = F atau A = 0.

Tautologi dan Ekuivalen Logis

15

Contingent Definisi Suatu ekspresi logika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam tabel kebenarannya, tanpa memedulikan nilai kebenaran dari proposisiproposisi yang berada di dalamnya, disebut contingent. Contoh 4.7 ((A→B)Λ(¬B→C))→(¬C→A) Tabel kebenaran dari ekspresi ini adalah:

Tautologi dan Ekuivalen Logis

16

Contingent A B C ¬B

¬C

A→B

¬B →C ¬C →A (A→B)Λ(¬B →C)

(A→B)Λ(¬B →C) →¬C→A

F F F

T

T

T

F

F

F

T

F F T

T

F

T

T

T

T

T

F T F

F

T

T

T

F

T

F

F T T

F

F

T

T

T

T

T

T F F

T

T

F

F

T

F

T

T F T

T

F

F

T

T

F

T

T T F

F

T

T

T

T

T

T

T T T

F

F

T

T

T

T

T

• Argumen tetap dianggap tidak valid karena bukan tautologi Tautologi dan Ekuivalen Logis

17

Pemanfaatan Tautologi • Ada beberapa hal penting yang diakibatkan oleh tautologi, yakni: 1. Implikasi secara logis. Misalnya, A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A secara logis mengimplementasikan B dapat ditulis dengan

AB 2. Ekuivalen secara logis. Misalnya, A dan B adalah dua buah ekspresi logika, maka jika dikatakan A ekuivalen secara logis dengan B, dapat ditulis dengan A  B . Di sini disyaratkan A  B , jika dan hanya jika A↔B adalah tautologi. Tautologi dan Ekuivalen Logis

18

Pemanfaatan Tautologi • Perlu diingatkan bahwa ada dua jenis implikasi, yaitu: 1. Implikasi material, contoh A → B. Di sini berlaku aturan tabel kebenaran untuk implikasi. 2. Implikasi logis, contoh A  B . Di sini secara mudah dapat dibaca “menyebabkan”. Sebagai contoh jika A = T, maka A pasti tautologi; jika A = F, maka A pasti kontradiksi. Jika T  A , maka A pasti tautologi; dan jikaF  A , maka A pasti kontradiksi.

Tautologi dan Ekuivalen Logis

19

Ekuivalen Logis Definisi. Proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A ↔ B adalah tautologi. Notasi atau simbol A Ξ B menandakan bahwa A dan B adalah ekuivalen secara logis. Proposisi dapat diganti dengan ekspresi logika berupa proposisi majemuk. • Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut. Contoh 4.8 (1) Dewi sangat cantik dan peramah (2) Dewi peramah dan sangat cantik Tautologi dan Ekuivalen Logis

20

Ekuivalen Logis Kedua pernyataan di atas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja. Bentuk ekspresi logikanya: A = Dewi sangat cantik. B = Dewi peramah Maka ekspresi logika tersebut adalah: (1) A Λ B (2) B Λ A Tabel kebenaran dari kedua ekspresi ini adalah:

Tautologi dan Ekuivalen Logis

21

Ekuivalen Logis A F F

B F T

AΛB F F

BΛA F F

(A Λ B) ↔ (B Λ A) T T

T T

F T

F T

F T

T T

Contoh 4.9 (1) Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur. (2) Adalah tidak benar jika Badu pandai dan jujur. Kita berikan variabel proposisional berikut: A = Badu pandai B = Badu jujur Kedua pernyataan tersebut menjadi (1) ¬A V ¬B (2) ¬(A Λ B)) Tautologi dan Ekuivalen Logis

22

Ekuivalen Logis Tabel kebenaran dari ekspresi logika di atas adalah A B ¬A ¬B A Λ B ¬AV¬B F F T T F T

F T T

T F T

T F F

F T F

F F T

T T F

¬(AΛB) T

(¬AV¬B) ↔ ¬(AΛB) T

T T F

T T T

• Karena (¬AV¬B) ↔ ¬(AΛB) adalah Tautologi maka (¬AV¬B) Ξ ¬(AΛB) Hukum-hukum Logika Proposisional Ekuivalen Logis

AΛ1ΞA AV0ΞA AV1Ξ1 AΛ0Ξ0

Nama

Hukum Identitas Λ Hukum identitas V Hukum Dominasi V Tautologi dan Ekuivalen Logis Hukum Dominasi Λ

23

Ekuivalen Logis Ekuivalen Logis A V ¬A Ξ 1

Nama Tautologi

A Λ ¬A Ξ 0 AVAΞA AΛAΞA ¬¬A Ξ A AΛBΞBΛA AVBΞBVA (A Λ B) Λ C Ξ A Λ (B Λ C) (A V B) V C Ξ A V (B V C) A Λ (B V C) Ξ (AΛB)V(AΛC) A V (BΛC) Ξ (AVB) Λ (AVC)

Hukum Kontradiksi Hukum Idempoten Hukum Dominasi Λ Hukum Negasi Ganda Hukum Komutatif Hukum Komutatif Hukum Asosiatif Hukum Asosiatif Hukum Distributif Hukum Distributif

Tautologi dan Ekuivalen Logis

24

Ekuivalen Logis Ekuivalen Logis A Λ (A V B) Ξ A

Nama Absorpsi

A V (A Λ B) Ξ A A Λ (¬A V B) Ξ A Λ B A V (¬A Λ B) Ξ A V B ¬(A Λ B) Ξ ¬A V ¬B ¬(A V B) Ξ ¬A Λ ¬B (A Λ B) V (A Λ ¬B) Ξ A A → B Ξ ¬A V B A → B Ξ ¬(A Λ ¬B) A ↔ B Ξ (AΛB)V(¬AΛ¬B) A ↔ B Ξ (A → B)Λ(B→A)

Absorpsi Absorpsi Absorpsi Hukum De Morgan Hukum De Morgan

Tautologi dan Ekuivalen Logis

25

Ekuivalen Logis Ekuivalen Logis (A Λ B) V (A Λ ¬B) Ξ A

Nama

(A V B) Λ (A V ¬B) Ξ A (A Λ B) V (¬A Λ B) Ξ B (A V B) Λ (¬A V B) Ξ B

Tautologi dan Ekuivalen Logis

26

Latihan Bab 4 1. Tentukan apakah dari ekspresi-ekspresi logika berikut ini termasuk tautologi, kontradiksi, atau contingent: a. A → (B→A) b. (B→A)→A c. ¬¬A→A d.(¬A→¬B)→(B→A) e. (A→(B→C)→(A→B)→(A→C)) f. (AΛ(A→B))→B g. ((A→B)↔(¬AVB)) h. ((A→B)Λ(B→C))→(A→C) i. ((A↔B)↔(AΛB)V(¬AΛ¬B)) Tautologi dan Ekuivalen Logis

27

Latihan Bab 4 j. (BΛ(A→B)→A) k. ¬(AV(BΛC))↔((AVB)Λ(AVC)) l. (¬A→¬B)Λ(¬¬A→¬B)→B 2. Buktikan hukum-hukum logika yaitu: a. Silogisme Hipotesis b. Silogisme Disjungtif c. Modus Ponens d. Modus Tollens 3. Perhatikan dengan seksama argumen (disebut destructive dilemma) berikut ini. Apakah argumen tersebut valid atau tidak: Jika Badu senang, maka Siti senang, dan jika Badu sedih, maka Siti sedih. Siti tidak senang atau tidak sedih. Dengan demikian, Badu tidak senang atau Badu tidak sedih Tautologi dan Ekuivalen Logis

28

Latihan Bab 4 4. Buktikan bahwa ekspresi-ekspresi logika berikut ini ekuivalen dengan menggunakan tabel kebenaran: a. ¬A↔B Ξ (¬AVB) Λ (¬BVA) b. A→(¬A→B) Ξ 1 c. (AV¬B)→C Ξ (¬AΛB)VC d. A→(B→C) Ξ (A→B)→C e. A→B Ξ ¬(AΛ¬B) f. ¬(¬(AΛB)) Ξ 0 g. ((AΛ(B→C)Λ(A→(B→¬C)))→A )Ξ 1

Tautologi dan Ekuivalen Logis

29