Tareaseries 1

 

Tarea: Series de tiempo 1.-  Pruebe que Estrictamente estacionario   ⇒  D´ eebilmente bilme nte estacionar estac ionaria ia y

muestre que el regreso no es cierto. oon n del operador   B  encuentre expreciones para 2.-  A partir de la definici´ 2 BZ t   y   B Z t   si   Z t  esta definido como: Z t   =  β 0 Z t   =  β 0  +  β 1 t Z t   =  β 0  +  β 1 X t  +  β 2 t Z t   =  β 1 X t  +  β 2 Y t

donde   β 0 , β 1   y   β 2   son constantes, mientras que   X t   y   Y t   son dos variables observadas en el tiempo. 3.-  Considere a (X t ) un proceso puramente aleatorio a tiempo discreto,

donde las variables son mutuamente indep independientes endientes e id´eenticamente nticamente distri2 buidas con distribuci´oon n   N   (0 (0 , σx ). Deduzca una expresi´oon n para   γ (τ ) y para ρ(τ ) 4.-Considere a (Z t ) un proceso puramente aleatorio a tiempo discreto,

donde las variables son mutuamente indep independientes endientes e id´eenticamente nticamente distri2 buidas con distribuci´oon n  N  (0  (0 , σx ). Concidere la caminata aleatoria dada por: X t   =  X t−1  +  Z t 0  = 0. Pruebe que este proceso no es estacionario y que el proceso dado con   X  por ∇X  t  si lo es.

1

 

ˆh  la autocovarianza 5.-  Para una serie de observaciones  x 1 , x2 ,...,xn   sea γ  muestral definida por:

n−h t=1

  ˆ  =  Dond Do ndee ¯   =  1

γ h

xn

los datos.

n

 1

n

n i=1

  (xt −  x¯n ) (xt+h −  x¯n ) si 0 ≤ h ≤ n − 1 γ (ˆ   si   −n < h ≤ 0 −h)

xi . Prue Pruebe be qu quee γ ˆh  es invariante bajo traslaciones de

 φ X t−1  +  εt , un proceso autorregresivo con   |φ| <  1 y   {εt }t 6.-  Sean   X t   =  φX  ).Asumiendo endo que el ´ıındice ndice v.a. independientes con distri distribuci´ buci´ on on  Normal(0, σε2 ).Asumi del tiempo esta dado por los enteros  . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . .

Pruebe que para cada   t,   X t   ∼ Normal

0 . 2

, 1  −σ φ ε

2

7.-  Considere un proceso  X t  con la estructura  AR(1). Realize lo siguiente:

Escriba este proceso como uno de medias m´ooviles viles de orden infinito. Calcule su esperanza. Calcule su varianza. Calcule su funci´oon n de autocovarianza. Calcule su funci´oon n de autocorrelaci´oon. n. Nota: De no justificar claramente cada paso, la pregunta se considerar´a como no contes contestatada. tatada. oon n 8.-  Considere un proceso  X t  con la estructura   AR( p). Calcule su funci´ de autocovarianza y su funci´oon n de autocorrelaci´oon n (De no justificar claramente cada paso, la pregunta se considerara como no contestada). 9.-   Considere un proceso   X t  con la estructura   ARMA( p, q ). ). Calcule su

funci´oon n de autocovarianza y su funci´oon n de autocorrelaci´oon n (De no justificar claramente cada paso, la pregunta se considerara como no contestada). An´ alisis ali sis de datos: dato s: 1.-   Simule un proceso AR(2) de tama˜ n noo 500, con par´aametros metros   φ1   =   .7, 2 φ2  =  . 2 y   σz   =  . 1. La simulaci´ oon n se hace con el siguiente c´oodigo: digo:

2

 

set.seed(628) x=arim x=a rima.si a.sim(n m(n = 500, list(a list(ar r = c(0. c(0.7,. 7,.2)) 2)), , sd = sqr sqrt(.1 t(.1)) ))

Realice lo siguiente: Grafique el proceso. Grafique el Acf y Pacf del proceso. ¿Se puede identificar el modelo? Estime los par´aametros metros  φ 1   y  φ 2  usando la funci´on arima() on  arima() .  . ¿Los verdadeross valo dero alores res caen en la banda de un 80 % de confi confianza anza?(m ?(muest uestre re las bandas de confianza). ¿El modelo cumple los supuestos vistos en clase?. Enliste los supuestos y exhiba si se cumple cada uno de ellos. 2.-   Simule un proceso ARMA(3,2) de tama˜ n noo 500 y par´aametros metros   φ1   = 2 .2,φ2   =   .13,   φ3   =  . 17,   θ1   =   .3,   θ2   =   .78 y   σz  = 1. La simulaci´ oon n se hace con

el siguiente c´oodigo: digo:

set.seed(628) x=arima.sim(n x=arim a.sim(n = 500, list(ar = c(0.2,. c(0.2,.13,.17) 13,.17), ,  ma = c(.3,0.78)), sd = sqrt(1))

Realice lo siguiente: Grafique el proceso. Grafique el Acf y Pacf del proceso. ¿Se puede identificar el modelo? Estime los par´aametros metros usando la funci´on arima() on  arima().. ¿Los verdaderos valores caen en la banda de un 85 % de confianza?(m confianza?(muestre uestre las bandas de confianza). ¿El modelo cumple los supuestos vistos en clase?. Enliste los supuestos y exhiba si se cumple cada uno de ellos. 3.-  Ajusta un modelo de series de tiempo a los datos enviados por correo

y realice lo siguiente:

Muestre como llego al modelo propuesto. Verifique que se cumplen todos los supuestos implicados en el modelo. Realize la predicci´on on de los siguientes 3 valores del proceso y calcule sus bandas de confianza confianza al 90 %. Grafique la seri seriee (color negro) con las predicciones (color azul) y bandas de confianza (color rojo). ¿Son consistentes los valores de la predicci´oon?. n?. Diga si le parece adecuado el modelo (El mejor modelo de series de tiempo que pudo ajustar). 3