Tareas de Metodos Numericos Periodo Sep 2011-Feb 2012

TAREA DE METODOS METODOS NUMERICOS (PERIODO SEP 2011- FEB 2012) CAPITULO 1. CALCULO DE ERRORES 1. Redondee los siguientes números a tres cifras significativas a. 9.755 b. 7,555 x 10 -3 c. 0,269124 x10 2 d. 0,999500 e. 6325,0002 f. 789,436 2. Determinar la cantidad de cifras significativas para los siguientes números aproximados: a. 719,275  0,0035 b. 1,24785  0,0007 c. 263,32  0,01 d. 0,045  0,0003 e. 983,17  0,0065 f. 0,0087  0,0005 3. Calcule el error absoluto absoluto y relativo en las aproximaciones aproximaciones de A por a: a. A = , a = 22/7 b. A = e, a = 2,718 c. A = e10, a = 22000 d. A = 2 , a = 1,414  e. A = 10 , a = 1400 f. A = 8!, a = 39900 4. Encuentre el intervalo interval o más grande en que debe encontrarse a para que aproxime aproxim e A -4 con un error relativo máximo de 10 para cada valor de A a. 

b. e

c.

2

d.

3

7

5. Calcular los errores de las siguientes expresiones: expresiones:  B C 2  A 3 a.  X   4 , donde A= 7.48  0.02, B =65.84  0.03, C=215.37  0.02, D =  D   E  3.48  0.01, E = 82.65  0.01 5

 A2  B  C 3 4  D  b.  X   , donde A= 2.73  0.001, B =645  0.002, C=3.21  0.001,  E 4 3  F  D = 792  0.002, E = 1.89  0.001, F = 617  0,002

 A 2  B C 3 G 2  H   I 5 3  J   c.  X   4 43  D  E   F   K 3 4  L A = 65,63  0,001

B = 526,8  0,02

C = 3,451  0,001

D = 1875,2  0,03

E = 2,481  0,002

F = 825,7  0,02

G = 10,36  0,001

H = 37,42  0,001

I = 1,534  0,002

J = 475,21  0,003

K = 2,932  0,001

L = 1796,1  0,02

 A3  B C 4  J 2  K  L5  3  M  N 5 3  Ñ   d.  X   3 4  D  E  F 2  3 G H 4  I  O 3 4  P Q 2 A = 6,63  0,001

B = 56,8  0,02

C = 3,45  0,001

D = 7,28  0,003

E = 298,81  0,002

F = 2,64  0,002

G = 450,36  0,001

H = 3,42  0,001

I = 91,534  0,002

J = 4,21  0,001

K = 62,32  0,001

L = 6,17  0,001

M = 875,21  0,001

N = 3,51  0,001

Ñ = 796,15  0,002

O = 5,21  0,002

P = 259,36  0,001

Q = 6,17  0,002

 A3  B C 4  J 2  K  L5  3  M  N 5 3  Ñ   d.  X   3 4  D  E  F 2  3 G H 4  I  O 3 4  P Q 2 A = 6,63  0,001

B = 56,8  0,02

C = 3,45  0,001

D = 7,28  0,003

E = 298,81  0,002

F = 2,64  0,002

G = 450,36  0,001

H = 3,42  0,001

I = 91,534  0,002

J = 4,21  0,001

K = 62,32  0,001

L = 6,17  0,001

M = 875,21  0,001

N = 3,51  0,001

Ñ = 796,15  0,002

O = 5,21  0,002

P = 259,36  0,001

Q = 6,17  0,002

CAPITULO 2. ECUACIONES NO LINEALES 1. Determinar las raíces reales de las siguientes ecuaciones, mediante el método de la  bisección, regla regla falsa, Newton-Raphson Newton-Raphson y Secante. a.  f ( x)  0,6 x 2  2,4 x  5,5  b.  f ( x)  4 x 3  6 x 2  7 x  2,3 c.  f ( x)  26  85 x  91 x 2  44 x 3  8 x 4  x 5 d. e x  2  x  2 cos x  6  0 2. Determinar las raíces reales e imaginarias de las siguientes ecuaciones, mediante el método de Muller y Bairstow. a.  f ( x)   x 4  2 x 3  6 x 2  2 x  5  b.  f ( x)  0,7 x 3  4 x 2  6,2 x  2 Resolver los siguientes problemas de aplicación a la ingeniería: 3. Una reacción química reversible 2  A   B  C  se caracteriza por la relación C  de equilibrio  K   2 c . Si k = 0,015, Ca,o= 42, C b,o= 30 y C c,o = 4, calcule x. C a C b 4. Las siguientes reacciones químicas se llevan a cabo en un sistema cerrado 2 A  B  C 

 A  D  C  En equilibrio, éstas pueden caracterizarse por   K 1 

C c C a2 C b

 K 2 

C c C a C d 

Si k 1 = 4x10-4, k 2 = 3,7x10-2, Ca,o= 50, C b,o= 20 y Cc,o = 5 y C d,0 = 10, calcule x 1 y x2. 5. El volumen V de un líquido contenido en un tanque horizontal cilíndrico de radio r y longitud L esta relacionado con la profundidad del líquido h por    r  h  2  V   r 2 cos 1    (r  h) 2 r h  h  L   r     

Determine h para r = 2 m, L = 5 m 3 y V = 8 m 3. 6. El volumen del líquido contenido en un tanque esférico de radio r está relacionado con la profundidad h del líquido por  V  

  h

2

3 r  h 3

Determine h para r = 1 m y V = 0,5 m 3. 7. Si se compra una pieza de un equipo que cuesta $ 25000 al contacto y en pagos de $ 5500 al año durante 6 años. ¿ que tasa de interés se está pagando?. La fórmula que relaciona el valor presente P, los pagos anuales A, el número de años n y la tasa de interés es i 1  i n  A   P  1  1n  1 8. Los problemas necesarios para pagar una hipoteca de una casa durante un período fijo de tiempo requieren la ecuación

 P  (1  i) n  1 i En la que A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de interés por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de $ 135000 por una casa a 30 años y que los pagos máximos que puede realizar el cliente son de $ 1000 dólares mensuales. Cual será el interés más alto que podrá pagar   A 

9. El factor de fricción f, depende de varios parámetros relacionados con el fluido y el tamaño de la tubería, que se puede representar por el número de Reynolds Re. Una fórmula que predice f es la ecuación de Von Karman 1

 4 log Re f    0,4  f  Si Re es 40000, determinar el valor de f 

10. La siguiente relación entre el factor de fricción f y el número de Reynolds Re se cumple cuando hay flujo turbulento de un fluido en un tubo liso 1

 f 

 0,4  1,74 ln (Re  f  )

Si el número de Reynolds Re = 10000, encontrar el factor de fricción f  11. El siguiente polinomio se puede usar para relacionar el calor específico a presión cero del aire seco, c p KJ/ (Kg K), con la temperatura:

c p  0,99403  1,671 x10 4 T   9,7215 x10 8 T 2  9,5838 x10 11 T 3  1,9520 x10 14 T 4 Determine la temperatura que corresponde a un calor específico de 1,2 KJ/(Kg K) 12. En un termo, el compartimiento interior está separado del compartimiento intermedio por vacío. Alrededor del termo hay una última capa, que está separada de

la capa intermedia por una delgada capa de aire. La parte exterior de la última capa está en contacto con el medio ambiente. El flujo de calor desde cada región del termo debe ser igual, es decir, q 1 = q2 = q3. Encuentre las temperaturas T 1 y T 2 en estado estacionario. Si T o es 500 oC y T3 es 25 oC

q1  10 9 T o  2734  T 1  2734  q2  4 T 1  T 2  q3  1,3 T 2  T 3 4 / 3 13. La forma general de un campo tridimensional de esfuerzos esta dado por    xx    xy   xz 

  xz 

10 14 25    7 15   yz  14        zz  25 15 16  

  xy   yy   yz

1, 2 y 3 se obtiene de la ecuación

 

3

 I   2  II    III   0

 I     xx    yy    zz  II     xx   yy    xx   zz    yy   zz    xy2    xz2    yz2  III     xx  yy  zz    xx  yz2    yy  xz2    zz  xy2  2   xy  xz  yz Encuentre 1, 2 y 3. 14. El esfuerzo máximo de tensión máx en una barra de sección rectangular es 9152 lb/pulg.2 y el momento de torsión T es de 800 lb-pulg. Si el ancho de la barra w es de 1,2 pulg., determinar el espesor t adecuado para esta barra.  máx



T    t    3 1 . 8   w t 2   w 

15. El rendimiento de un motor viene dado por la siguiente ecuación   r  p r c k 1  e  1  k 1  r k   r  p  1  r  p k  (r c  1)  1   

Si las relaciones r k  = 12, r  p = 4, r c = 8 y el rendimiento es del 25 %. Cuál será el valor de k. 16. La tensión de corte en un resorte helicoidal viene dada por la siguiente ecuación  



8 F  D   d 

3



4 F    d 

2

Si la tensión de corte  es 50000 lb/pulg2, la fuerza F es de 15 lb y el diámetro del resorte es de 3 pulg. Determinar cuál deberá ser el diámetro d del alambre. 17. Para un cojinete de rodillos cónicos la capacidad de carga radial F R  de catálogo viene dada por la siguiente ecuación 3

  L n / L n   10  F  R   F  D   D  D  R R 1   4.48 ln 1 / R 1.5   

Si la capacidad de carga radial F R  es de 10500 kg, la carga radial de diseño F D es 15000 Kg., la duración nominal de catálogo LR  es 10000 horas y la duración de diseño L D es 13000 horas, la velocidad nominal n R  es 2500 rpm y la velocidad de diseño n D es 3600 rpm. Cual es su confiabilidad R. 18. La longitud efectiva L p de una banda en V viene dada por la siguiente ecuación  D  d 2  L p  2 C  1.57  D  d   4 C  Si la longitud efectiva L p es 160 pulg., el diámetro de la polea mayor D es 14 pulg., el diámetro de la polea menor es 9 pulg. Determinar la distancia entre centros C apropiada. 19. El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación para una oscilación amortiguada:

 y  10 e kt  cos w t  Para un desplazamiento de y = 2,5, siendo k = 0.35 y w = 4. Determinar el tiempo inicial necesario 20. En estudios sobre recolección de energía solar un campo de espejos planos en un colector central, un investigador obtuvo la siguiente ecuación para el factor de concentración geométrica C:

C  

 

h / cos A2 F 

0,5  D 2 1  sen A  0,5 cos A

donde A es el ángulo de anillo del campo, F es la cobertura fraccionaria del campo con los espejos, D es el diámetro del colector y h es la altura del mismo. Encuentre A, si h = 300, C = 1200, F = 0,8 y D = 14. 21. El sistema de amortiguación de un vehículo tiene como modelo la siguiente ecuación diferencial d 2 x c dx k    x0 d t 2 m dt  m

la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente     n  x t   e nt   xo cos pt   xo sen pt   p     k  c 2 k  c2   donde n = c/(2m),  p   y m 4 m2 m 4 m2

Los valores de los parámetros son c = 2.5 x 10 7 g/seg., k = 2.5 x 10 9 g/seg2, y m = 3 x 106 g. Si xo = 0,3, determinar la primera y segunda ocasión en que el auto pasa a través del punto de equilibrio. 22. Un circuito eléctrico tiene como modelo la siguiente ecuación diferencial d 2 q d q q  L 2   R  0 d t  d t  c la solución general de la ecuación diferencial es la siguiente q t   qo e

 R t  / 2 L

  1    R   2       t  cos    L c  2 L      

Determinar el tiempo necesario para que el circuito disipe el 12 % ( q/qo = 0.12 ) de su valor original, dado R = 300 , c = 10-4 F y L = 4 H 23. La ecuación de Manning para un canal vertical esta dada por  Q

S  ( B H )

5 3

2

n ( B  2 H ) 3 donde Q = al flujo (m 3/s), S = pendiente (m/m), H = profundidad (m) y n es el coeficiente de rugosidad de Manning. Determinar el valor de H para Q = 5, S = 0,0002, B = 20 y n = 0,03. 24. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales a. x2 + x – y2 = 1 y – sen x2 = 0 c.

b. x2 + y2 + z2 = 9 xyz = 1 x + y – z2 = 0 d.

.

CAPITULO 3. ECUACIONES LINEALES 1. Resolver los siguientes sistemas por el método más apropiado a. 2 x1 + x2 + 4 x3 = 7 2 x1 – x2 – x3 = -5 3 x1 + 4 x2 – 5 x3 = -14

b. 11 x + 3 y – z = 15 2 x + 5 y + 5 z = -11 x+y+z=1

c. x1 – 4 x2 - x4 = 6 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = -1 2 x1 + 3 x2 – x3 – x4 = -1 x1 + 2 x2 + 3 x3 – x4 = 3

d. 3 x1 – 2 x2 – 5 x3 + x4 = -5 2 x1 – 3 x2 + x3 + 5 x4 = 7 x1 + 2 x2 - 4 x4 = 1 x1 – x2 – 3 x3 + 9 x4 = -4

e. x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 5 2 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1 3 x1 + 2 x2 + x3 + 2 x4 = 1 4 x1 + 3 x2 + 2 x3 + x4 = -5

f. 4 x1 + x2 – x3 =7 x1 + 3 x2 – x3 = 8 -x1 – x2 + 5 x3 + 2 x4 = -4 2 x3 + 4 x4 = 6

2. Calcular las reacciones y fuerzas internas para todos los miembros de la armaduras mostradas en las figuras:

3. Calcular las corrientes y voltajes de los circuitos mostrados en las figuras: R = 30 

3

7

R=5

R = 20 

2

1 V1 = 25 V

R = 10 

V6 = 200 V

4

R = 15 

R=3

3

i43



R = 5

R=2

2

1

i12

R =2 

i35



6

V1 = 5,5 V

i32

2 4

5

i52

R=5

i56



i67

1 i54 5

V6 = 0 V

R=4



6

R=3



4. Determinar las corrientes en los siguientes circuitos.

7

5. Realice los cálculos necesarios en los sistemas mostrados en las siguientes figuras 15 Kg 50 Kg

u = 0,5

30 Kg

u = 0,3 u = 0,2 30

60

6. Problemas sobre distribución de recursos: a. Para fabricar tres tipos de aleaciones de Aluminio de: Aluminio (%) Magnesio (%) Tipo 1 80 15 Tipo 2 85 12 Tipo 3 90 7

Silicio (%) 5 3 3

Si se dispone de 150 Kg de Al, 25 Kg de Mg y 8 Kg de Si. Cuanto de cada aleación se debe producir   b. Para fabricar tres tipos de llantas se requiere: Caucho (kg) Nylon (Kg) Tipo 1 6 1 Tipo 2 8 2 Tipo 3 15 3

Alambre (kg) 2 3 6

Si se dispone de 1531 kg de caucho, 381 Kg de Nylon y 589 Kg de alambre. . Cuantas llantas de cada tipo se debe fabricar. c. Para fabricar tres tipos de autos se requiere: Metal (kg/auto) Plástico (Kg/auto) Tipo 1 1500 25 Tipo 2 1700 36 Tipo 3 1900 42

Caucho (kg/auto) 100 120 160

Si se dispone de 106 ton. de metal, 2,17 ton.de plástico y 8,2 ton.de caucho. Cuantos autos de cada tipo se debe fabricar.

7. Problemas sobre balance de materia y energía: a. En la figura, se muestras tres reactores conectados por tuberías. La velocidad de transferencia de las sustancias químicas a través de cada tubería es igual a la velocidad reflujo Q (m3/seg) multiplicada por la concentración del reactor de donde proviene el flujoc (mg/m3). Desarrolle las ecuaciones del balance de masa para los reactores y resuelva .

 b. Para el mismo problema anterior. Si Q33 = 150, Q13 = 50, Q12 = 70, Q23 = 50 y Q21 = 30 m3/seg. c.Un proceso de extracción en etapas se muestra en la figura. Una corriente que contiene una fracción de peso y entrada de una sustancia química entra desde la izquierda con una velocidad de flujo de masa de F 1. En forma simultanea, un solvente que tiene una fracción de peso x entrada entre desde la derecha con una velocidad F 2. Así en la etapa i, un  balance de masa se representa como

 F 1 Y i 1  F 2  X i 1   F 1 Y i  F 2  X i

 K  

 xi  y i

En cada etapa, se supone que se establece un equilibrio K entre yi y x i.    F      F     y i 1  1  2  K  yi   2  K  yi 1  0    F 1     F 1  

Si F1 = 400 Kg/h, yentrada = 0,1, F2 = 800 Kg/h, xentrada =0 y K =5, determine los valores de ysalida y xsalida, si se usa un reactor de 5 etapas.

d. Una reacción irreversible A →B de primer orden tiene lugar en cuatro reactores . La velocidad a la cual A se transforma en B se representa como  Rab   K V C . Los reactores tienen diferentes volúmenes y como se operan a diferentes temperatura, cada uno tiene una velocidad de reacción diferente.

Determine la concentración de A y B, en estado estacionario, para cada uno de los reactores. e. Un intercambiador de procesos químicos consiste de una serie de reactores en los cuales un gas fluye de izquierda a derecha sobre un líquido que fluye desde la derecha a la izquierda. La transferencia química desde el gas dentro del líquido ocurre a una velocidad que es proporcional a la diferencia entre la concentración del gas y el líquido en cada reactor. En estado estacionario, el balance de masa para el  primer reactor puede ser escrito para el gas como

QG C Go  QG C G1  D C  L1  C G1   0 Y para el líquido

Q L C  L 2  Q L C  L1  D C G1  C L1   0 Donde QG y QL son las velocidades de flujo del gas y el líquido respectivamente, y D = velocidad de intercambio del gas y el líquido. Similares balances se pueden escribir par  los otros reactores. Resuelva para los valores de las siguientes concentraciones dadas QG = 2, QL= 1 , D = 0,8, C Go = 100, C L6 = 20.

CAPITULO 4. AJUSTE E INTERPOLACION AJUSTE 1. Emplear regresión para ajustar los siguientes datos y determinar el coeficiente de correlación R. a. Ajustar los siguientes datos a un modelo lineal  y  ao  a1 x x y

2 6

3 8

4 11

5 13

6 17

 b. Ajustar los siguientes datos a un modelo parabólico  y 2  ao  a1  x x y

2 2,26

3 2,53

4 2,77

5 3,00

6 3,21

c. Ajustar los siguientes datos a un modelo logarítmico  y  a1 ln x  ao X Y

1,5 2,66

2 3,31

2,5 3,81

3 4,22

3,5 4,57

d. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente  y  ao e a  x 1

X Y

2 4,0

3 6,7

4 11,2

5 18,3

6 30,1

e. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente  y  ao x a

1

X Y

1 1,2

2 1,9

3 2,6

4 3,2

f. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente  y  ao X Y

3 0,6

6 0,7

9 0,74

5 3,7

 x a1  x

12 0,77

15 0,78 b

g. Ajustar los siguientes datos al modelo siguiente  y  a x1  x2 X1 X2 Y

5 2 5,10

6 2,5 5,91

7 3 6,67

h. Use regresión lineal múltiple para ajustar 

8 3,5 7,39

c

9 4 8,08

10 4,5 8,75

X1 X2 Y

0 2 19

1 2 12

2 4 11

0 4 24

1 6 22

2 6 15

Calcule además el coeficiente de determinación para evaluar la eficiencia del ajuste. 2. En una fábrica de rodamientos se realizan experimentos para determinar la vida útil de los rodamientos L y se obtienen los resultados de capacidad de carga C y de  presión P. C 15000 16000 17000 18000 19000

P 1000 900 800 700 600

L 2868.75 4775.85734 8156.34766 14452.4781 26991.4352

b

 C   Si el modelo  L  a   , determinar los coeficientes a y b.   P  

3. En un experimento se obtuvieron los datos que se muestran en la tabla adjunta. Ajustar los mismos al modelo exponencial  y  ao e a  x 1

X Y

1 1.98

2 3.26

3 5.38

4 8.87

5 14.62

4.  Nosotros conocemos que el número específico de revoluciones de una bomba viene dado por  n s  aO  P a H a , donde P es la potencia en W y H la altura en metros. Si los datos obtenidos al realizar la experimentación en una bomba son los siguientes: 1

ns rpm 200.622 119.291 88.011 70.931

2

P CV 1 2 3 4

H m 5 10 15 20

Determinar la ecuación que nos permite obtener el número de revoluciones específicas en función de la potencia y de la altura. 5. Las pérdidas en una tubería está en función del caudal Q y del diámetro D. Si la ecuación h L  ao Q a1 D a 2 es el modelo resultante para predecir las perdidas en la tubería. Utilizando regresión lineal múltiple en los datos de l a tabla siguiente, hallar  los coeficientes del modelo. Datos experimentales

Q 3 4 5 6 7

D 1 1.5 2 2.5 3

hL 0.04435 0.01057 0.00396 0.00188 0.00103

6. Experimentalmente se determinan los siguientes valores de capacidad calorífica C  para varias temperaturas de un gas.

7. Use regresión y determine un modelo para predecir C como una función de T. Se sabe que la resistencia a la tensión de un plástico aumenta en función del tiempo cuando se trata con calor y se obtienen los siguientes datos

Ajuste una línea recta a estos datos y use la ecuación para determinar la resistencia a la tensión correspondiente a 30 min. 8. Se reunieron los siguientes datos para determinar la relación entre presión y temperatura de un volumen fijo de 1 Kg de nitrógeno. El volumen es de 10 m 3.

Emplee la ley de los gases ideales datos.

P V = n R T para determinar R, basándose en estos

9. Se realizó un estudio de ingeniería de transporte par determinar el diseño adecuado de carriles de bicicletas y distancias promedio entre bicicletas y carros en circulación. Los datos obtenidos de 11 calles son:

a. Grafique los datos  b. Ajuste una línea recta a los datos mediante regresión lineal. c. Si la distancia promedio mínima segura entre las bicicletas y los carros en circulación se considera de 7 pies, determine el ancho de carril mínimo correspondiente.

10.

Los datos sobre la velocidad de deformación ε, el tiempo en el cual la deformación

aumenta y el esfuerzo se muestran en la tabla. Usando un modelo de potencia ajustar  los datos y encuentre los valores de By de m. ε = Bσm

INTERPOLACION 1. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Newton de orden 4 y determine la función para x = 1,75 x f (x)

0,5 4,7

1,0 8,0

1,5 15,7

2,0 36

2,5 81,7

2. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Lagrange de orden 4 y determine la función para x = 2,5 x f (x)

1 -2

2 10

3 80

4 304

5 826

3. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación segmentaria cuadrática y cúbica y determine la función para x = 2,5 x f (x)

2 2,85

2,5 8,76

3 17,58

3,5 31,38

4 18,75

4. Dados los datos siguientes, obtenga los polinomios de interpolación de Newton de orden 4 y determine para una función f (x) = 0,875 cual es el valor de x x f (x)

1 -2

2 10

3 80

4 304

5 826

5. Se llevan a cabo los siguientes experimentos y se determinan los siguientes valores de capacidad calorífica ( C ) a varias temperaturas ( T) para un metal T C

-50 0,125

-20 0,128

10 0,134

70 0,144

100 0,150

120 0,155

Determine C para T = 90 oC y 140 oC 6. Se mide la caída de voltaje ( V ) a través de una resistencia para cierto número de valores de la corriente ( i ). Los resultados obtenidos son i V

0,25 -0,25

0,75 -0,33

1,25 0,70

1,5 1,88

2,0 6

Determine V para i = 0,9 y 3. 7. La viscosidad cinemática del agua ( V) esta relacionada con la temperatura de la manera siguiente: T (oF)

40

50

60

70

80

V (10 pies2/seg. )

1,66

1,41

1,22

1,06

0,93

Determine V para T = 62 oF y 100 oF. 8 . El esfuerzo cortante, en Kips por pie cuadrado de nueve muestras tomadas a distintas profundidades en un estrato de arcilla son

Estime el esfuerzo cortante a una profundidad de 4.5 m.

CAPITULO 5. INTEGRACION Y DIFERENCIACION 1. Resolver las siguientes integrales utilizando el número de segmentos que ayuda a obtener la mejor solución mediante métodos numéricos:





a. 1  x 2   x d  x 2





b. 1  s  1  s  2 d s 4

1

d  x 1 2 x

c.   4  x 4  x 2 d  x

d.  0

e.  0 x e 3 x d  x

f.  0 e 3 x sen(2 x) d  x

4

3

g.

5

3

 2 x cos (2 x)  ( x  2) d x 2

0

h.  0  x 2 cos x d  x  

2. Resolver las siguientes integrales múltiples utilizando el número de segmentos que ayuda a obtener la mejor solución mediante métodos numéricos: a.

 x

2



0 0

b.  2 0 ( x 2  3 y 3  x y 4 ) d  y d  x 2

 y d  y d  x

4  x

4

e x

c.  0 1 ( x   y 2 ) d  y d  x

d. 1 1 ln x y d  y d  x

e.  4  0  1 ( x 4  2 y z ) dz dy dx

f.  0  0  0

4

6 3

g.  0 1  0 e x y  z dz dy dx 1

2

0.5

 z dz dy dx  y  y 1 1  y h.  0  x  0  y 2 z dz dy dx  

 x xy

1

sen

3. Use los términos en serie de Taylor de cuarto orden para estimar f (2) para la función f (x) = e -x usando como punto base x = 1, con un paso h = 0,05 4. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la primera derivada de la función f (x) = 25 x 3 – 6 x2 + 7 x – 88 usando como punto base x = 2,5, con un paso h = 0,25 5. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la primera derivada de la función f (x) = 0,658 x 5 – 8,68 x4 + 41,6 x3 – 88,09 x2 +79,35 x – 23,33 usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25 6. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la segunda derivada de la función

f (x) = 25 x 3 – 6 x2 + 7 x – 88 usando como punto base x = 2,5, con un paso h = 0,25 7. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la segunda derivada de la función f (x) = 0,658 x 5 – 8,68 x4 + 41,6 x3 – 88,09 x2 +79,35 x – 23,33 usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25 8. Use las aproximaciones de diferencias hacia atrás, hacia delante y centrales para estimar la tercera derivada de la función f (x) = 0,658 x 5 – 8,68 x4 + 41,6 x3 – 88,09 x2 +79,35 x – 23,33 usando como punto base x = 3 con un paso h = 0,25 9. En un circuito con un voltaje impreso E (t) y una inductancia L, la primera ley de Kirchhoff nos da la siguiente relación di  E    L   R *i dt  donde R es la resistencia del circuito e i es la corriente. Suponga que medimos la corriente para varios valores de t y obtenemos t i

1.00 3.20

1.01 3.22

1.02 3.24

1.03 3.28

1.04 3.34

donde t se mide en segundos, i se da en amperios, la inductancia L es una constante de 0.882 henrios y la resistencia es de 0.617 ohmios. Aproxime el voltaje E en el valor t = 1.02. 10. En un circuito semejante, la inductancia L es de 0.882 henrios y la resistencia es de 0.617 ohmios. Aproxime el voltaje E en el valor t = 1.05 seg. t i

1.00 3.20

1.01 3.22

1.05 3.24

1.10 3.28

1.16 3.34

11. Determinar la velocidad y aceleración de un vehículo cuando transcurren 15 segundos luego que se pone en movimiento, si los datos de tiempos y  posiciones son los siguientes Tiempo 0 5 10 15 20 30 Distancia 0 47 95 189 273 398 12. Calcular la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de 1000 g de un material desde 0 hasta 900 oC, si la capacidad calorífica c del material considerado esta dada en la siguiente tabla

T, oC C

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 0,130 0,150 0,170 0,191 0,217 0,232 0,257 0,263 0,270 0,271

El calor necesario viene dado por la siguiente ecuación H = m.c.T 13. Calcular el calor total absorbido por un panel solar de 200000 cm 2 durante un  período de 12 horas. El panel tiene una eficiencia de absorción e ab = 0,55 %. El calor absorbido está dado por  t

 qAd t

H  e ab

0

Tiempo, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 h Flujo 1,62 5,32 6,29 7,8 8,81 8,00 8,57 8,03 7,04 6,27 5,56 3,54 calor q, Cal/cm2/h 14. La concentración química a la salida de un reactor de mezcla completa se mide como t, min. c, mg/m3

0 10

2 20

4 30

6 40

8 60

10 72

12 70

16 50

Para una salida de flujo de Q =12 m 3/min-, estime la masa de químicos que existe en el t2

reactor desde t = 0 hasta 20 min. ( M  Q t c d t ) 1

15. Suponga que la corriente a través de un resistor es descrita por la función i ( t )  (60  t ) 2  (60  t ) sen t

y la resistencia es una función de la corriente R   10 i  2 i

2

3

Calcule el voltaje promedio desde t = 0 a 60 mediante la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples (V = i R) 16. Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo del número total de autos que pasan por una intersección en un período de 24 horas. Utilice los datos, para estimar el número total de autos que pasa a diario por la intersección Tiempo 00:00 02:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00

autos/min. 2 2 0 2 5 8 25

Tiempo 09:00 10:30 11:30 12:30 14:00 16:00 17:00

autos/min. 12 5 10 12 7 9 28

Tiempo 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00

autos/min. 22 10 9 11 8 9 3

17. Hallar el área de la sección transversal de un canal a partir de los siguientes datos mostrados en la figura

18. Hallar el área del campo que se muestra en la figura. Use la regla de Simpson de segmentos múltiples. 19. Durante un estudio, se pide calcular el área del campo que se muestra en la figura. Use las reglas de Simpson para determinar el área.

20. Usando los siguientes datos, calcule el trabajo realizado al estirar un resorte que tiene una constante de K = 3x10 2 N/m en x = 0,45 m

21. Se tomo la posición de un avión caza sobre un portaviones durante el aterrizaje:

Donde x es la distancia desde el extremo del portaviones. Estime a) la velocidad (dx/dt) y b) (dv/dt) usando diferenciación numérica. 22. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de una unidad de área de algún material por unidad de tiempo. Este se calcula con la ley de Fourier 

donde las unidades de j son J/m 2/s o W/m2 y k es un coeficiente de conductividad térmica y sus unidades son W/( oC-m), T = temperatura ( oC) y x = distancia (m) a lo largo de la trayectoria del flujo de calor. Las siguientes temperaturas se miden desde la superficie (x = 0) hacia el interior de una pared de piedra:

Si el flujo en x = 0 es de 60 W/m2, calcule k. 23. La presión ejerce presión sobre la cara río arriba de una presa como se muestra en la figura. La presión se caracteriza por  Donde p (z) = presión N/m 2 ejercida a una elevación de z metros por arriba del fondo de 3 3 la presa; ρ = densidad del agua (10 Kg/m ); g = aceleración debida a la gravedad (9,8 m/s2), y D = elevación (m) de la superficie del agua por arriba del fondo. Debido a que tanto la presión como el área varían con la elevación, la fuerza total se obtiene por 

Donde W(z) = ancho de la cara de la presa (m) a la elevación Z. La fuerza total sobre la línea de acción también se obtiene al evaluar 

Use la regla de Simpson para calcular f 1 y d.

24. Un estudio de ingeniería de transporte requiere el cálculo del número total de autos que pasan por una intersección en un período de 24 horas. Utilice los datos, para estimar el número total de autos que pasa a diario por la intersección Tiempo 00:00 02:00 04:00 05:00 06:00 07:00 08:00

autos/min. 2 2 0 2 5 8 25

Tiempo 09:00 10:30 11:30 12:30 14:00 16:00 17:00

autos/min. 12 5 10 12 7 9 28

Tiempo 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00

autos/min. 22 10 9 11 8 9 3

25. El trabajo ejercido sobre un objeto es igual a la fuerza por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. La velocidad de un objeto en la dirección de la fuerza está dada por 

Donde v = m/s. Emplear la regla del trapecio de segmentos múltiples para determinar el trabajo para todo t si se aplica una fuerza constante de 200 n. 26. Emplee la regla del trapecio de segmentos múltiples para evaluar la distancia vertical recorrida por un cohete si la velocidad está dada por 

CAPITULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1. Resolver las siguientes ecuaciones de primer orden, con dos iteraciones a. y´  2 x  3 y  1, d. y´  x  y 2 ,

y (0)  0 , con h = 0,1

e. y´  ( x  y) 2 , f.

y (1)  5 , con h = 0,1

y´  xy  y , y

g. y´  x y 2  , x ´ h. y  2 y cos x,

y (0)  0,5 , con h = 0,1 y (0)  1 , con h = 0,1 y (1)  1 , con h = 0,1

y (0)  1 , con h = 0,1

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior de valor  inicial, con dos iteraciones a.  y ´´  3 y ´  2 y  6 ; 0  x  1, y (0) = y´(0) = 0, con h = 0,1  b.  y ´´  10 y ´  25 y  30 x  3 ;1  x  2, y (1) = y´(1) = 0, con h = 0,1 c.  y ´´  8 y ´  20 y  100 x 2  26 x e x ;2  x  3, y (2) = y´(2) = 0, con h = 0,1 d.  y ´´  4 y  3 sen 2 x ;0  x  1, y (0) = y´(0) = 2, con h = 0,1 e.  y´´´  6 y´´  3  cos x ;1  x  2, y (1) = y´(1) = 3, con h = 0,1 f.  y ´´´´   y ´´  4 x 2  2 x e  x ;0  x  1, y (0) = y´(0) = 1, con h = 0,1 2. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior con valores en la fronteras a. y´´  y  x 2 ; y (0) = 4, y (1) = 0, con n = 4  b. y´´  2 y´  y  5 x ; y (0) = 0, y(1) = 0, con n = 5 c. y´´  4 y´  4 y  ( x  1) e 2 x ; y (0) = 3, y(1) = 0, con n = 6 d. x 2 y´´  x y  y  ln x ; y (1) = 0, y (2) = -2, con n = 8 Resolver los siguientes problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias 3. La tasa de enfriamiento de un cuerpo se puede expresar como

d T   k  T   T a  d t 

donde T es la temperatura del cuerpo (en grados centígrados), T a es la temperatura del medio que rodea al cuerpo (también en grados centígrados) y k una constante de  proporcionalidad (por minuto). Por lo tanto, esta ecuación especifica que el enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio que lo rodea. Si se calienta una bola de metal a 90 ºC y se sumerge en el agua que se mantiene a una temperatura constante T a = 20 ºC, empléese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para calcular el tiempo que le toma a la bola enfriarse a 80 oC si k = 0.1 min-1. 4. Un contrapeso de 16 lb se une a un resorte de 5 pie de longitud. En la posición de equilibrio, el resorte mide 8.2 pies. El coeficiente de amortiguación es numéricamente igual a la velocidad instantánea. Si el contrapeso se eleva y se suelta del reposo en un punto a 2 pies arriba de la posición de equilibrio, determine los desplazamientos, x(t). d 2 x dx m 2  C    K  x  0 dt  d t  5. Un contrapeso de 16 lb estira 8/3 pie un resorte. Al principio, el contrapeso parte del reposo a 2 pies debajo de la posición de equilibrio y el movimiento ocurre en un medio que presenta una fuerza de amortiguamiento numéricamente igual a la mitad de la velocidad instantánea. Si el contrapeso está impulsado por una fuerza igual a f (t) = 10 cos 3 t. Determinar la posición del contrapeso en función del tiempo 6. El circuito mostrado en la figura es descrito mediante la siguiente ecuación diferencial L

di dt

 R i 

1

c

i dt  E

0.5 F

6

I1 ( t ) 10 V

10 

I2 ( t ) 5

       w        w        w

8H

Si R 1 = 6 ohm, R 2 = 10 ohm, R 3 = 5 ohm, L = 8 henrios, c = 0.5 faradios y E = 10 voltios. Determinar la corriente i 1 e i2 , luego de transcurridos 0.2 segundos de que se cierra el circuito (h = 0.1 seg.) 7. El circuito mostrado en la figura es descrito mediante la siguiente ecuación diferencial L

di dt

 R i 

1

i dt  E  c

Si R 1 = 6 ohm, R 2 = 5 ohm, L = 8 henrios, c = 0.5 faradios y E = 10 voltios. Determinar  la corriente i1 e i 2 , luego de transcurridos 0.2 segundos de que se cierra el circuito (h = 0.1 seg.) 8. En un circuito RCL, la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que

d 2 q dq 1  L 2  R  q   E (t ) dt  dt  c donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia y c la capacitancia. Determínese la carga q del circuito y la corriente i para t = 0.2 segundos con un paso h = 0.1, si L = 0.1 henrios, R = 10 ohmios, C = 0.02 faradios. Si la fuerza electromotriz E(t) = Eo sen t. dq Suponga que para t = 0, Eo = 12 voltios, q (o) = q´(o) = 0. (Recuerde que i  ) dt  9. En un circuito RCL, la ley de voltajes de Kirchhoff requiere que

d 2 q dq 1  L 2  R  q   E (t ) dt  dt  c donde q es la carga, L la inductancia, R la resistencia y c la capacitancia. Determínese la carga q del circuito y la corriente i para t = 0.2 segundos con un paso h = 0.1, si L = 0.1 henrios, R = 10 ohmios, C = 0.002 faradios. Si la fuerza electromotriz E(t) = Eo sen t. dq Suponga que para t = 0, Eo = 12 voltios, q (o) = q´(o) = 0. (Recuerde que i  ) dt  10. Se tiene un intercambiador de calor de tubos concéntricos en contracorriente y sin cambio de fase. Las ecuaciones que describen el intercambio de calor en ciertas condiciones de operación son d TB dx d Ts dx

 0,03 (Ts  TB )  0,04 (Ts  TB )

Si TBo = 20 oC y TS1 = 100 oC, calcular TB1 y TSo si el intercambiador tiene una longitud de 3 m, use el método de Runge-Kutta de cuarto orden 11. Un balance de calor en estado estable para una barra se puede representar como d2 T d x2

 0,1T  0

obtenga una solución analítica para una barra de 10 m con T (0) = 200 y T (10) = 100 12. Encuentre la curva elástica de una viga con un extremo libre, de longitud L = 5 m y peso constante de w = 300 Kg. Tome La ecuación que rige el comportamiento de la viga es E I y´´  M ( x )  w (L  x ) 2 / 2

Tome y (0) = 0, y (5) = 0,156, EI = 150000 y h = 0,5 m 13. Una viga rectangular sujeta a carga uniforme, cuando los extremos de la viga están fijos y, por tanto, no experimenta deflexión. La ecuación diferencial que aproxima este fenómeno físico tiene la forma d2 y dx

2



S EI

y

qx 2EI

( x  L)

Dado que los extremos están fijos y (0) = y (L) = 0. Suponga que L = 350 cm, q = 1 Kg/cm, E = 2 x 106 Kg/cm2, S = 400 Kg, I = 2,5 x 10 4 cm4. Encuentre la deflexión de la viga cada 10 cm

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 1. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm 150o 10º

80o

10o

2. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm 150o 10º

80o

100o 3. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm 150o 10º

80o

Aislamiento 4. Determinar la distribución de temperatura en una placa de 40 cm de ancho por 40 cm de alto, cuyas condiciones son las que se muestran en la figura, tomar un x = y = 10 cm

150oC

80oC

Aislamiento Aislamiento

5. Se realiza el proceso de carburación de un acero 1008 (0.08 %C), la materia carburante utilizada tiene un contenido de carbono de 1.30 %. El coeficiente de difusión D del carbono en el acero a la temperatura de tratamiento es de 2.3 x 10 -7

c  2c D cm /seg. La ecuación que rige este proceso es , mediante el método t  x2 implícito determinar la concentración de carbono C alcanzada en el mencionado 2

acero a 2 mm de espesor utilizando un x = 0,5 mm y t = 2 horas = 7200 segundos , luego de 4 horas de proceso. Tomar   

D t

 x 2

6. Use el método de explicito para calcular la distribución de temperatura en el tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes datos: la difusividad  = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y 150 oC respectivamente 7. Use el método de implícito para calcular la distribución de temperatura en el tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes datos: la difusividad  = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y 150 oC respectivamente 8. Use el método de Crank-Nicolson para calcular la distribución de temperatura en el tiempo 0,2 segundos de una barra larga que tiene una longitud de 20 cm y los siguientes datos: la difusividad  = 0,825 cm2/seg, x = 4 cm y t = 0,1 seg. En t = 0, la temperatura de la barra es 6 oC y los extremos de la barra están expuestos a 300 y 150 oC respectivamente. ECUACIONES DIFERENCIALES ELIPTICAS 1. Aproximar la solución de la ecuación diferencial parcial elíptica

 2u  2u  4   x 2   y 2 u (x, 0) = x 2 u (0, y) = y 2

0   x  1,

u ( x, 2) = (x  – 2)2 u ( 1, y) = ( y  – 1)2

0   y  2

0