Tarea_3_SP

M´ etodos Num´ ericos Segundo parcial  Tarea 3: Modelos No-lineales

Fecha de entrega: 17 de octubre de 2017

INSTRUCCIONES: Resuelva detalladamente cada uno de los siguientes ejercicios contestando con claridad las preguntas que se le hagan. Compruebe gr´aficamente si los datos experimentales muestran la tendencia indicada por el Modelo No-lineal propuesto (Mostrar el proceso de linealizaci´ linealizaci´ on). Escriba el sistema de ecuaciones que se deba resolver para encontrar los on). coeficientes de la curva de ajuste. Calcule el Coeficiente de Correlaci´on de Pearson en cada caso. ¡En caso.  ¡En todos to dos los ejercicios grafique el (los) modelo(s) de ajuste a juste y los puntos etiquet´ andolos! andolos! Ejercicio 1 Un capacitor el´ ectrico ectrico tiene una capacitancia desconocida; para determinarla, el capacitor es conectado a un circuito como el que se muestra en la figura 

Primero se conecta el interruptor a  B  y el capacitor queda cargado. Luego el interruptor se mueve hacia  A y el  capacitor se descarga a trav´es es del resistor. Como el capacitor se descarga, el voltaje en el capacitor es medido por  10s  en intervalos de  1 de  1 s. La mediciones hechas se muestran en la siguiente tabla  1 t(s) V   (volt)   9. 9.4

2 7.31

3 5.15

4 3.55

5 2.81

6 2.04

7 1.26

8 0.97

9 0.74

10   0.58 

Cuando un capacitor se descarga a trav´ es es de un resistor, el voltaje en las terminales del capacitor como funci´on funci´on del  tiempo est´a dado por  t/(RC ) V   =  V  0 e−t/( donde  V  0   es el voltaje inicial, R   es la resistencia del resistor, y  C   es la capacitancia del capacitor. Al producto  τ  =  RC  se le conoce como  constante como  constante de tiempo del circuito. Linealice el modelo y con obtenga los valores de la constante de tiempo, la capacitancia y el del voltaje inicial. Estime el voltaje a los 20 s.  ¡Explique su resultado! 

Ejercicio 2 En 1601 el astr´onomo onomo alem´an an Johannes Kepler formul´o su Tercera Ley del Movimiento Planetario  T  =  C x3/2 ,

donde  x p eriodo o orbital orb ital en d´ıas ıas y  C  es un constante.  x  es la distancia al Sol medida en millones de kil´ometros,  T  es el period Los datos  (  ( x, T )  observados para los siguientes planetas del Sistema Solar son:

Planeta  Mercurio Venus Tierra Marte J´ upiter Saturno Urano Neptuno Plut´ on

x

T 

57.59 108.11 149.57 227.84 778.14 1 427.00 2 870.30 4 499.90 5 909.00

87.99   224.70   365.26   686.98   4 332.40   10 759.00  30 648.00  60 188.00  90 710.00 

Encuentre el valor de la constante  C   y muestre que, efectivamente, el exponente de  x   es aproximadamente  linealizando el modelo potencial.

3 2

Ejercicio 3 En la tabla  v ( pie3 )   26.43 P ( psi) 14.70

22.40 17.53

19.08 20.80

16.32 24.54

14.04 28.83

12.12 33.71

10.51 39.25

9.15 45.49

8.00  52.52 

v  es el volumen en pie3 de una lb de vapor de agua y  P  es la presi´on en psi. Para el mismo conjunto de puntos,

a)  ajuste un modelo potencial  P  =  αv β , b)  ajuste un modelo racional  P  =

1 α+βv .

Al graficar ambos modelos y los puntos, ¿se aprecia alguna diferencia sustancial?, ¿a qu´e se debe?    ¡Explique  analizando los valores de  α  y  β !  Con ambos modelos, calcule la presi´on de una lb de agua cuyo volumen es de 7  pies3 . Ejercicio 4 En el estudio de la constante de velocidad  k  de una reacci´on qu´ımica a diferentes temperaturas, se obtuvieron los siguientes resultados: T (K ) k

293 8.53 × 10−5

300 19.1 × 10−5

320 1.56 × 10−3

340 0.01

360 0.0522

380 0.2284

400 0.8631

Calcule el factor de frecuencia  z  y la energ´ıa de activaci´on E , en J/mol, suponiendo que los datos experimentales  siguen la Ley de Arrhenius  k  =  z e−E/(1.98T ) . Ejercicio 5 La siguiente tabla de datos muestra la evoluci´on de una enfermedad contagiosa, donde  t  indica el tiempo en d´ıas y  c  el n´umero de persona contagiadas. t 0 c(t)   1

1 7.34

2 51.82

3 287.66

4 748.99

5 956.61

6 993.89

7   999.17 

Halle un ajuste polin´omico de menor grado con ´ındice de determinaci´on mayor a 0.99. ¿Cu´a l es el error  cuadr´atico?  Ajuste los datos a un modelo de crecimiento log´ıstico de la forma  c  =

1 a +  be−2t

Compare los coeficientes de determinaci´on y el error de ambos modelos.

Ejercicio 6 Matis y Wehrly elaboraron la siguiente tabla de datos respecto a la proporci´on de peces de agua dulce que  sobrevivieron a niveles fijos de contaminaci´on t´ermica durante diversos periodos. Proporcion de sobrevivientes

Tiempo con cambio de escala

Proporci´on de Tiempo con sobrevivientes cambio de escala 

y

x

y

x

0.95 0.95 0.90 0.85

0.15 0.20 0.25 0.30

0.65 0.60 0.55 0.40

0.40 0.45 0.50 0.55

       

Un modelo propuesto para estos datos acerca de la proporci´on de sobrevivientes a la contaminaci´on t´ermica es  β

y  =  e −αx .

Linealice el modelo y estime los par´ametros  α  y  β .