tarea1

1. Si v = 141,4 ∗ sen(ωt + 300 ) V e i = 11,31 ∗ cos(ωt − 300 ) A, encuentre para cada uno a) el valor máximo, b) el valor rms y c) la expresión fasorial en forma polar y rectangular si el voltaje se toma como referencia ¿El circuito es inductivo o capacitivo? Solución: Inciso a) valores máximos: Vmax = 141,4 V

Imax = 11,31 A

Inciso b) valor rms: Vrms =

141,4 √ 2

= 99,98 V

Irms =

11,31 √ 2

= 7,99 A

Inciso c) fasores: Debido a las consideraciones tomadas por el circuito los vectores se toman de la siguiente manera: V = 100∠00 I = 8∠300 Descomponiendo con trigonometría: V = 100 ∗ cos(0) + j ∗ 100 ∗ sen(0) = 100 + j0 I = 8 ∗ cos(30) + j ∗ 8 ∗ sen(30) = 6,93 + j4 Conclusión: En este caso las potencias se tratan de cargas inductivas debido a que los ángulos que se ven presentes son positivos. 2. Si el circuito del problema 1.1 consiste en un elemento puramente resistivo y de uno puramente reactivo, encuentre R y X si: a) los elementos están en serie, y b) si están en paralelo. Solución: Inciso a) si los elementos están en serie Asumiendo que en un circuito en serie sería conformado por la siguiente ecuación Z = R + jXC , la solución podría ser la siguiente: Z=

V I

=Z=

100 30∠300

= 10,83 − j6,25

Resultado el cual al darle la interpretación: R = 10,83Ω

XC = j6,25Ω

Inciso b) si el circuito está en paralelo: Asumiendo que la admitancia se define como Y = Y = R=

1 10,82−j6,25

1 0,0693

1 Z

1 R+jXC

G + jB:

0,0693 + j0,04

= 14,43Ω

1

=

XC = 25Ω

Conclusión: Al hacer análisis del circuito se observa que la impedancia es igual al voltaje divido la corriente, con sus fasores, es por esta razón que al aplicar la ecuación en este problema, y separar el resultado en forma polar, el resultado de este es que se tiene tanto la resistencia como la reactancia inductiva considerando puramente resistivo el circuito de donde se obtienen estas cantidades. En tanto que para el circuito en paralelo, se aplica el concepto de que en paralelo se pueden sumar la conductancia y susceptancia, de esta forma al hacer el inverso de cada uno de estos resultados del inciso anterior, se obtienen los resultados. 3. En un circuito monofásico , Va = 120∠450 V y Vb = 100∠ − 150 V con respecto al nodo de referencia o. Encuentre Vba en forma polar. Solución: Datos: Van = 120∠450 = 84,85 + j84,85 V Vbn = 100∠ − 150 = 96,59 − j25,88 Por sustracción de diferencias de potencial: Vba = Vbn − Van = (96,59 − j25,88) − (84,85 + j84,85) = 11,73 − j110,73 Vba = 111,36∠ − 83,950 Conclusión: En este caso para conocer el tipo de carga se debe de saber el valor de la corriente, para saber como está respecto cada uno de otro. Para determinar así si la carga es reactiva o capacitiva. 4. Un voltaje monofásico de ca de 240 V se aplica a un circuito serie cuya impedancia es 10∠600 Ω. Encuentre R, X, P , Q y el factor de potencia del circuito. Datos: V = 240∠00 Z = 10∠600 = 5 + j8,66 Deduciendo que: Z = R + jX R = 5Ω X = 8,66Ω Cálculo de la corriente: 240 0 I = VZ = 10∠60 0 = 12 − j20,78 = 24∠ − 60 A P = 240 ∗ 24 ∗ cos(0 − (−60)) = 2880W Q = 240 ∗ 24 ∗ sen(0 − (−60)) = 4988,30 var 4988,30 f.p. = cos (arctan Q P ) = cos (arctan 2880 ) = 0,50

Conclusión: Al hacer el análisis de la corriente se estima que esta se desfasa del voltaje, lo cuál quiere decir que la carga es inductiva. Esto también se confirma cuando la potencia reactiva es de signo positivo. 2

5. Si un capacitor que suministra 1,250 vars se conecta en paralelo con el circuito del problema 1.4, encuentre P y Q suministradas por la fuente de 240 V, así como el factor de potencia resultante. Datos: P = 2880W QT ot = QInd − QCap = 4988,30 − 1250 = 3748,3 vars Para el calculo del factor de potencia: 3748,3 f.p. = cos (arctan Q P ) = cos (arctan 2880 ) = 0,61

Conclusión: En este caso aumento el factor de potencia, lo cuál quiere decir que la carga sigue siendo inductiva, tal como el problema anterior. 6. Una carga inductiva monofásica absorbe 10 MW a 0.6 de factor de potencia en atraso. Dibuje el triangulo de potencia y determine la potencia reactiva de un capacitor que se conecte en paralelo con la carga para elevar el factor de potencia a 0.85.

Procedimiento: θ = arc cos (0,6) = 53,130 De las relaciones del triángulo de potencia se define lo siguiente: Q = 10 ∗ tan 53,130 = 13,33 M var Sabiendo que el factor de potencia tiene un valor de 0.85: QC = 6,2 − 13,33 = −7,13 M var Conclusión: De acuerdo al dibujo del triángulo de potencia, se puede observar que el tipo de carga que describe este triángulo es una carga inductiva.

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7. Un motor de inducción monofásico que toma 10 A de la alimentación se opera la mayor parte de cada día con una carga muy ligera. Se propone un dispositivo que “incremente la eficiencia” del motor. Durante una demostración, el dispositivo se coloca en paralelo con el motor sin carga, y la corriente que toma de la alimentación cae a 8 A. Cuando se colocan dos de los dispositivos en paralelo, la corriente cae a 6 A. ¿Qué dispositivo simple causará esta caída en la corriente? Analice las ventajas del dispositivo. ¿Se incrementa la eficiencia del motor por la presencia del dispositivo? (Recuerde que en un motor de inducción toma corriente de atraso) Análisis El dispositivo que realiza esta tarea es un capacitor, debido a que este dispositivo consume la potencia reactiva inductiva, es decir cuando el motor descarga la potencia reactiva el capacitor la consume, y cuando el motor vuelve a consumir esta potencia el capacitor la suple. La eficiencia del motor no se ve afectada debido a que este dispositivo lo único que hace es reducir las pérdidas en el circuito. 8. Si la impedancia entre las máquinas 1 y 2 del ejemplo 1.1 es Z = 0 − j5Ω, determine a) si cada máquina está generando o consumiendo potencia, b) si cada máquina está recibiendo o suministrando potencia reactiva positiva y la cantidad, c) los valores de P y Q absorbidos por la impedancia. Solución: I = E1ZE2 = 100+j0−(86,6+j50) −j5 I = 10 + j2,68 = 10,35∠150 Para determinar cada una de las potencias de la carga se establecen direcciones las cuales quedan definidas de la siguiente forma: S1 = E1 (−I ∗ ) = P1 + jQ1 = 100(−10 − j2,68) = 1000 − j268 S2 = E2 (I ∗ ) = P2 + jQ2 = (86,6 + j50)(10 − j2,68) = 1000 + j268 De esta forma: P1 = 1000W Q1 = −268vars P2 = 1000W Q2 = 268vars Análisis: En cada uno de los casos consumen potencia cada una de las máquinas consumen potencia, sin embargo la máquina 1 cede potencia reactiva, y la máquina 2 la consume. 9. Repita el problema 1.8 si Z = 5 + 0Ω. I = E1ZE2 = 100+j0−(86,6+j50) 5 I = 2,68 − j10 = 10,35∠ − 750 Para determinar cada una de las potencias de la carga se establecen direcciones las cuales quedan definidas de la siguiente forma: S1 = E1 (−I ∗ ) = P1 + jQ1 = 100(2,68 + j10) = 268 + j1000 S2 = E2 (I ∗ ) = P2 + jQ2 = (86,6 + j50) ∗ (2,68 + j10) = −268 + j1000 De esta forma:

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P1 = 268W Q1 = 1000vars P2 = −268W Q2 = 1000vars Conclusión En este caso para la máquina 1 está consume potencia reactiva y real, lo cual quiere decir que es un motor. Para el segundo caso esta genera potencia real y reactiva. 10. Se tiene una fuente de voltaje con Ean = −120∠2100 V y una corriente a través de ella de Ina = 10∠600 A. Encuentre los valores de P y Q, y establezca si la fuente los está entregando o recibiendo. Solución: Datos: Ean = −120∠2100 Ina = 10∠600 = 50 + j86,60 Ω ∗ = −120∠2100 ∗ (50 − j86,60) = 1039,23 − j600 = 1200∠ − 300 P = Ean ∗ Ian

De lo cual se deducen las siguientes potencias: P = 1034,23 W Q = −600 var Conclusión: Del calculo de las potencias anteriores se puede deducir que la fuente esta entregando potencia real, y esta recibiendo potencia reactiva. 11. Resuelva el ejemplo 1.1 si E1 = 100∠00 V y E2 = 120∠300 V. Compare los resultados con los del ejemplo 1.1 y haga conclusiones sobre el efecto en el circuito de la variación de la magnitud de E2 . Conclusión: Datos: E1 = 100∠00 E2 = 120∠1200 Z = j5 I=

100−(103,92+j60) j5

−12 + j0,78 = 78,92∠98,750

Para el calculo de cada una de las potencias en la caja: S1 = E1 (−I ∗ ) = P1 + jQ1 = 100(12 + j0,78) = 1200 + j78 S2 = E2 I ∗ = P2 + jQ2 = 100(−12 − j0,78) = −1200 − j78 Conclusión: Al hacer el análisis se puede observar que la maquina 1 absorbe 1200 watts y 78 vars, lo cual quiere decir que es un motor. Para el segundo caso, el fenómeno es distinto debido a que esta maquina en lugar de recibir entrega potencia, lo cual se puede interpretar que es un generador. 5

12. Calcule las siguientes expresiones en forma polar: (a) a − 1 (b) 1 − a2 + a (c) a2 + a + j (d) ja + a2 Solución:7 Conociendo que a = 1∠1200 = −0,5 + j0,87 Solución a inciso a): a − 1 = −0,5 + j0,87 = −1,5 + j0,87 =

√

3∠1500

Solución a inciso b): 1 − a2 + a = 1 − (−0,5 + j0,866)2 − 0,5 + j0,86 = 0,98960 + 1,72 = 1,98∠600 Solución a inciso c): a2 + a + j = −0,5 + j0,86 − 0,5 + j0,86 − j = −0,98960 + j1 = 1,41∠45,300 Solución a inciso d): ja + a2 = (−0,5 + j0,86) ∗ j + (−0,5 + j0,86)2 = −1,3496 − j1,36 = 1,92∠ − 134,780

1.

Carta de Smith

La carta de Smith es un tipo de nomograma, usado en ingeniería eléctrica, y en telecomunicación, que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión a lo largo de us longitud. Se usa frecuentemente para simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga. La carta de smith es un diagrama polar especial que contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante; se utiliza en la resolución de problemas de guías de ondas y líneas de transmisión.

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