Tarea N°5 Teoría de Las Colas

 

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS CARRERA DE ADMINSTRACIÓN DE EMPRESAS

INVESTIGACIÓN OPERATIVA II Ing. Edwin Roberto Gómez Bastidas

Katherine Elizabeth Alvarado Pazos AE 8-1

Junio 2021 - Septiembre 2021

 

TEORÍA DE LAS COLAS EJERCICIO 13-10 La tienda de descuentos departamental Smile recibe aproximadamente 300 clientes los sábados en el lapso de 9 A.M. a 5 P.M. Para decidir cuántas cajas registradoras deberán estar abiertas cada sábado, el gerente de Smile considera dos factores: el tiempo de espera del cliente (y el costo de espera asociado) y los costos de servicio que surgen de la contratación de personal de cajas adicional. Los empleados de las cajas reciben un salario promedio de $8 la hora. Cuando tan solo uno está en servicio, el tiempo de espera por cliente es aproximadamente de 10 minutos (o 1/ 6 de hora); cuando son dos, el tiempo promedio de salida es de 6 minutos por  persona; 4 minutos cuando tr tres es empleados están en servicio; y 3 minutos cuando hay cuatro empleados en turno. La gerencia de Smile ha llevado a cabo varias encuestas sobre la satisfacción del cliente y ha tenido la posibilidad de estimar que la tienda sufre de aproximadamente aproximadame nte $10 de perdidas en ventas y de buena voluntad, por cada hora que los clientes  pasan en las filas de las cajas. Usando la información proporcionada, determine el número óptimo de empleados contratados cada sábado para minimizar el costo total esperado de la tienda.   Datos

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λ= 300 clientes por cada 8 horas

µ= 48, 80, 120 y 160 por cada 8 horas     Solución

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Número de canales   por por 8 horas µ por 8 horas Tiempo total de espera Costo de espera por hora Costo total de espera Costo de servicio Costo total servicio Costo total

λ 

1 300 48 50h 10 500 8 64 564 

2 300 80 30h 10 300 8 128 428

3 300 120 20h 10 200 8 192 392

4 300 160 15h 10 250 8 256 406

  Respuesta: El número óptimo de empleados contratados cada sábado para minimizar

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el costo total esperado de la tienda son 3 empleados ya que se obtiene un costo de $392.

 

EJERCICIO 13-11 La compañía Rockwell Electronics conserva una cuadrilla de servicio que repara las fallas f allas de las máquinas, que ocurren con un promedio de λ  =  = 3 al día (aproximadamente de naturaleza naturaleza de Poisson). La cuadrilla puede dar servicio a un promedio de µ = 8 máquinas al día con una distribución de tiempo de reparación que se asemeja a la distribución exponencial.   Datos

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λ= 3 máquinas por cada 24 horas

µ= 8 máquinas por cada 24 horas   Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es la tasa de utilización utili zación de este sistema de servicio? El sistema en promedio esta utilizado un 38%

b) ¿Cuál es el tiempo de reparación promedio de una máquina que está descompuesta? El tiempo promedio que una maquina pasa en el sistema es de 4 horas y 48 minutos.

 

c) ¿Cuántas máquinas están en espera de recibir servicio en algún momento dado? 23 máquinas están en espera de ser revisadas

d) ¿Cuál es la probabilidad de que más que una máquina se encuentre en el sistema? ¿Cuál la probabilidad de que más de dos estén descompuestas y en espera de ser reparadas o recibiendo el servicio? ¿Más de tres? ¿Y más de cuatro? La probabilidad de que más de una se encuentre en el sistema es de 14%, más de dos es de 5%, más de 3 es de 2% y más de 4 es de 1%

EJERCICIO 13-12 Con base en datos históricos, el autolavado de Harry estima que los automóviles sucios llegan a sus instalaciones a una tasa de 10 por hora durante todo el sábado. Con una cuadrilla que trabaja en la línea de lavado, Harry calcula que los vehículos se pueden lavar a un ritmo de uno cada 5 minutos. Se lava un solo auto a la vez en este ejemplo de una línea de espera de un solo canal. Suponiendo llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, encuentre:    Datos

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λ= 10 carros por hora

µ= 12 carros por hora    Solución

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  Respuesta

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a) el número promedio de autos en línea. El numero promedio de autos en la cola es de 4,17

b) el tiempo ti empo promedio que un auto espera antes de ser lavado. El tiempo que un auto espera hasta ser lavado es de 25 minutos y 15 segundos

c) el tiempo promedio que un auto pasa en el sistema de servicio. El tiempo promedio que un auto pasa en el sistema completo es de 30 minutos

d) la tasa de utilización del autolavado. La lavadora está siendo usada en un 83% por lo general.

e) la probabilidad de que ningún auto esté en el sistema La probabilidad de que ningún auto este en el sistema es de 17 %

EJERCICIO 13-13 Mike Dreskin administra un gran complejo de cines en Los Ángeles llamado Cinemas I, II, III y IV. Cada uno de los cuatro auditorios proyecta una película distinta. Además, el programa está planeado de manera que los tiempos de inicio están escalonados para evitar las posibles aglomeraciones de personas de que se presentarían si las cuatro películas se iniciaran al mismo tiempo. El cine tiene una sola taquilla y un cajero que puede mantener una tasa promedio de servicio de 280 espectadores por hora. Se supone que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. exponencial. Las llegadas en un día activo típico tienen distribución de Poisson y un promedio de 210 por hora. Para determinar la eficiencia de la operación actual del sistema de boletaje, Mike desea examinar distintas características de operación de la cola.   Datos

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λ= 210 por espectadores por hora

µ= 280 espectadores por hora    Solución

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  Respuesta

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a) Determine el número promedio de asistentes al cine que esperan en la fila para comprar un boleto. El numero promedio de espectadores en la cola es de 2,25 

b) ¿Qué porcentaje de tiempo está ocupado el cajero?  El cajero está ocupado un 75% de su tiempo c) ¿Cuál es el tiempo promedio que el cliente pasa en el sistema? El cliente pasa promedio en el sistema alrededor de 51 segundos

d) ¿Cuál es el tiempo promedio que está en línea de espera para llegar a la taquilla? El cliente pasa promedio en la fila f ila alrededor de 39 segundos

e) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos personas en el sistema? ¿Más de tres personas? ¿Y más de cuatro? La probabilidad de que haya más de dos personas es de 42%, más de 3 personas 32% y más de 4 personas 24%.

 

EJERCICIO 13-14 La línea de la cafetería universitaria ubicada en el centro de recreación de estudiantes es una instalación de autoservicio donde los usuarios seleccionan la comida que desean consumir y hacen una sola fila para pagar en la caja. Los alumnos llegan a una tasa aproximada de cuatro  por minuto, de acuerdo con la distribución de Poisson. El tiempo que toma la única cajera en registrar la venta es de 12 segundos por cliente, siguiendo una distribución exponencial.    Datos

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λ= 4 estudiantes por minuto

µ= 5 estudiantes por minuto    Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de dos estudiantes en el sistema? ¿Más de tres estudiantes? ¿Y más de cuatro? La probabilidad de que haya más de 2 estudiantes en el sistema es de 51%, más de 3 estudiantes es de 41% y más de 4 estudiantes es de 33%

 

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema esté vacío? Hay un 20% de probabilidad de que el sistema se encuentre sin estudiantes

c) ¿Cuánto tiempo esperará el alumno promedio antes de llegar ll egar a la caja? En promedio un estudiante espera 48 segundos antes de llegar a la caja

d) ¿Cuál es el número esperado de alumnos en la cola? En la cola se encuentran en promedio 3,2 estudiantes e) ¿Cuál es el número promedio en el sistema? Mientras que en el sistema se encuentran en promedio 4 personas.

f) Si se agrega un segundo cajero (que trabaje al mismo ritmo), ¿cómo cambiarían las características operativas que se calcularon en los incisos b), c), d) y e)? Suponga que los clientes esperarán en una sola línea e irán con el primer cajero disponible.

Si se aumentara una caja la probabilidad de que el sistema este vacío es de 43% mientras que el tiempo promedio que un estudiante pasa en la fila seria de 2 segundos y medio. Además, en la cola se mantendrán alrededor de 0.15 personas y 0.95 personas en el sistema.

 

EJERCICIO 13-15 La temporada de cosecha de trigo en el medio oeste estadounidense es corta, y la mayoría de los granjeros entregan sus camiones con cargas del cereal a un silo (granero) central gigantesco en un lapso de dos semanas. Debido a esto, se sabe que los camiones llenos de trigo esperan para descargar y regresar a los campos a una cuadra de distancia del depósito. El silo central es de propiedad cooperativa, por lo cual beneficiaría a cada uno de los granjeros incrementar tanto como sea posible el nivel de d e eficacia del proceso de descarga y almacenaje. El costo del deterioro del grano causado por los retrasos r etrasos en la descarga, el costo de la renta de los camiones y el tiempo ocioso del conductor mientras llega su turno son preocupaciones importantes para los miembros de la cooperativa. A pesar de que los granjeros tienen problemas  para cuantificar cuantificar el daño a la cose cosecha, cha, es fácil asignar un costo de $18 por hora por concepto concepto de espera y descarga por cada camión y conductor. El silo permanece abierto y funciona 16 horas al día, los siete días a la semana, durante la temporada de cosecha, y tiene una capacidad de descarga de 35 camiones por hora de acuerdo con una distribución exponencial. Los camiones llenos llegan a lo largo del día (durante el horario en que el silo está abierto) a una tasa aproximada de 30 camiones por hora, con un patrón de Poisson. Para ayudar a la cooperativa a atender el problema de la pérdida de tiempo mientras los camiones están en espera en la línea o mientras descargan en el silo, encuentre:   Datos

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λ= 30 camiones por hora

µ= 35 camiones por hora    Solución

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    Respuesta

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a) el número promedio de camiones en el sistema de descarga. El numero promedio de camiones que se encuentran en el sistema es de 6

b) el tiempo promedio por camión en el sistema. El tiempo promedio que un camión está en el sistema de descarga es de 12 minutos

c) la tasa de utilización del área del silo. El silo esta utilizado utili zado un 86% en promedio

d) la probabilidad de que haya más de tres camiones en el sistema en un momento dado. La probabilidad de que haya más de 3 camiones en el silo es de 54%

e) el costo diario total para los granjeros por tener los camiones detenidos en el proceso de descarga. Como se mencionó, la cooperativa utiliza el silo únicamente dos semanas al año. Los granjeros estiman que ampliar el silo reduciría en 50% los costos de descarga durante el próximo año. Costaría $9,000 hacerlo durante la temporada en que no hay labores. ¿Valdría la pena para la cooperativa ampliar el área de almacenamiento? El costo diario de tener los camiones retenidos es de 1728. Si se reduce el costo al 50% es viable hacer la ampliación ya que se ahorrarían 3096 dólares restando los 12096 –  9000  9000 de la reducción

 

EJERCICIO 13-16 La tienda departamental Ashley, ubicada en la cuidad de Kansas, mantiene una exitosa división de ventas por cátalos, donde un empleado toma los pedidos por teléfono. Si él está ocupado en la línea, las llamadas entrantes para esa división se responden de manera automática con una máquina y se pide a quienes llamen que permanezcan en espera. Tan pronto como el empleado está disponible, el cliente que ha esperado por más tiempo se transfiere y se atiende en primer lugar. Las llamadas ll amadas llegan a una tasa aproximada de 12 por hora. El empleado puede tomar un pedido en un promedio de 4 minutos. Las llamadas ll amadas tienden a seguir una distribución Poisson, y los tiempos t iempos de servicio suelen ser exponenciales. El empleado recibe un sueldo de $10 por hora, pero debido a la pérdida de buena voluntad por parte de los clientes y a las ventas en general, la tienda Ashley pierde aproximadamente $50 por hora de tiempo del cliente que espera para que el empleado pueda tomar el pedido.   Datos

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λ= 12 llamadas por hora µ= 15 llamadas por hora    Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es el tiempo promedio que debe esperar el cliente de catálogos antes de que su llamada se transfiera t ransfiera al empleado que toma los pedidos? Un cliente debe esperar en promedio 16 minutos antes de ser atendido.

b) ¿Cuál es el número promedio de personas que llaman y esperan para colocar un pedido? El numero promedio de personas personas que llaman y esperan por un pedido pedido es de 3 c) Ashley evalúa la contratación de un segundo empleado para tomar llas as llamadas. La tienda pagaría a esa persona los mismos $10 por hora. ¿Debería contratar a otro empleado? Explique. Si, el costo total de espera con un empleado es de 170, y con dos empleados es de 27.62 ahorrando 142.38

EJERCICIO 13-17 Los automóviles llegan a la ventanilla de atención en una oficina postal a una tasa de 4 cada 10 minutos. El tiempo promedio de servicio es de 2 minutos. La distribución de Poisson es adecuada para la tasa de llegadas y los tiempos de servicio se distribuyen de manera exponencial.   Datos

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λ= 4 cada 10 minutos

µ= 5 cada 10 minutos   Solución

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    Respuesta

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a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un auto está en el sistema? El tiempo promedio que un auto se encuentra en el sistema es de 10 minutos

b) ¿Cuál es el número promedio de autos en el sistema? El numero promedio de autos en el sistema es de 4

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que los autos pasan en espera de recibir el servicio? El tiempo promedio que los autos están en la cola es de 8 minutos

d) ¿Cuál es el número promedio de autos que están en la línea detrás del cliente que está recibiendo el servicio? El numero promedio de autos que están en la línea es de 3,2

e) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya autos en la ventanilla? La probabilidad de que no haya autos es de 20%

f) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo que el empleado postal permanece ocupado? El empleado permanece ocupado un 80% de su tiempo

g) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos autos en del sistema? La probabilidad de que haya 2 autos en el sistema es de 13%

 

EJERCICIO 13-18 Se considera que, para agilizar el servicio de la oficina postal del problema 13-17, se debe abrir una segunda ventanilla. Se formaría una sola fila y al llegar un automóvil al frente de ella sería atendido por el primer empleado disponible. El empleado de la nueva ventanilla trabajaría a la misma tasa que el empleado actual.   Datos

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λ= 4 cada 10 minutos

µ= 5 cada 10 minutos   Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es el tiempo promedio que está un auto en el sistema? Un auto esta alrededor de 2 minutos en el sistema

b) ¿Cuál es el número promedio de autos en el sistema? En promedio se encuentran encuentran 0.95 autos en eell sistema prácticamente 1 auto

c) ¿Cuál es el tiempo promedio que los autos esperan para recibir el servicio? El tiempo promedio que los autos pasan en la cola es de 22.86 segundos

 

d) ¿Cuál es el número promedio de autos que están detrás del cliente que recibe el servicio en ese momento? El numero promedio de autos que están en la espera de ser atendidos es de 0.15, casi ningún auto.

e) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya autos en el sistema? La probabilidad de que no existan autos en el sistema es de 43% f) ¿Qué porcentaje del tiempo están ocupados los empleados? Los empleados se encuentran ocupados un 40% de su tiempo

g) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos autos en el sistema? La probabilidad de que haya exactamente dos autos es de 14%

EJERCICIO 13-19 Juhn and Sons Wholesale Fruit Distributors contrató a un empleado cuyo trabajo consiste en cargar la fruta en los camiones que salen de la compañía. Los camiones llegan a la  plataforma de carga a una tasa promedio de 24 al día, o 3 cada hora, de acuerdo con una distribución de Poisson. El empleado los carga a una tasa promedio de 4 por hora, aproximadamente aproximadame nte de acuerdo con una distribución exponenc exponencial ial en los tiempos de servicio. Determine las características de operación de este problema de plataforma de carga. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres camiones en espera o en proceso de carga? Analice los resultados de los cálculos de su modelo de colas    Datos

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λ= 3 camiones cada hora

µ= 4 camiones cada hora   Solución

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    Respuesta

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La probabilidad de que hayan más de 3 camiones en el sistema es de 32%, además el sistema se encuentra utilizado un 75% de su tiempo, las personas promedio en la cola son 2 y en el sistema son 3 mientras que el tiempo promedio en el sistema es 1 hora y 45 minutos en la cola.

EJERCICIO 13-20 Juhn considera que agregar un segundo cargador de fruta mejorará sustancialmente la eficiencia de la empresa. Estima que, con una cuadrilla de dos personas en la plataforma de carga, aun actuando como un sistema de un único servidor, duplicaría duplicaría la tasa de carga a de 4 a 8 camiones por hora. Analice el efecto en la cola con dicho cambio y compare los resultados con los que se encontraron en el problema 13-19.    Datos

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λ= 3 camiones cada hora

µ= 8 camiones cada hora   Solución

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  Respuesta

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Con dos descargadores el porcentaje de uso del sistema bajo a 38%, al igual que el número de personas en la cola 0.23 y en el sistema 0.6, es decir ninguna persona. En cuanto al tiempo de promedio en la cola es de 4 segundos y en el sistema es de 12 segundos.

EJERCICIO 13-21 Los conductores de camiones que trabajan para Juhn and Sons (véanse los problemas 13-19 y 13-20) reciben un salario de $10 por hora en promedio. Los cargadores de fruta reciben $6  por hora. Los condu conductores ctores de ccamiones amiones que están en la cola o en la plataforma plataforma de carga carga cobran cobran su salario, aunque en realidad están inactivos y no generan utilidad en ese momento. ¿Cuáles serían los ahorros en los costos por hora para la empresa asociados con la contratación de un segundo cargador, en vez de que solo haya uno?   Datos

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λ= 3 camiones cada hora

µ= 4 camiones cada hora   Solución

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  Respuesta

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La empresa va ahorrar 15.27 por hora si es que llegase a contratar a un segundo cargador.

EJERCICIO 13-22 La empresa Juhn and Sons Wholesale Fruit Distributors (del problema 13-19) considera la construcción de una segunda plataforma para acelerar el proceso de carga de la fruta en sus camiones. Se supone que esta medida será incluso más eficaz que simplemente contratar a otro cargador para ayudar en la primera plataforma pl ataforma (como en el problema 13-20). Suponga que los trabajadores de cada plataforma podrán cargar 4 camiones por hora cada uno, y que los camiones continuarán llegando a una tasa de 3 por hora. Encuentre las nuevas condiciones operativas de la línea de espera. ¿Es este en realidad un método más rápido que los otros dos que se han considerado?    Datos

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λ= 3 camiones cada hora

µ= 4 camiones cada hora Servidores: 2   Solución

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  Respuesta

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Con dos plataformas de descarga la tasa de uso es la misma pero el número promedio de camiones en la cola bajo a 0.12, mientras que el número de personas en el sistema subió de 0.6 a 0.87. Finalmente, los costos de espera en base a la cola y al sistema aumentaron por lo que convendría la opción de usar 2 cargadores y solo una plataforma de descarga.

EJERCICIO 13-23 Bill First, gerente general de la tienda por departamentos Worthmore, ha calculado que cada hora que un cliente pierde esperando en una cola a que el encargado esté disponible cuesta a la tienda $100 en pérdidas de ventas y buena voluntad. Los clientes llegan al mostrador a una tasa de 30 por hora y el tiempo promedio de servicio es de 3 minutos. La distribución de Poisson describe las llegadas, mientras que los tiempos de servicio se distribuyen exponencialmente. El número de encargados puede ser de 2, 3 o 4, trabajando al mismo ritmo. Bill estima que el salario y las prestaciones pagadas a cada empleado corresponden a $10 por hora. Esta tienda está abierta 10 horas al día.   Datos Datos  

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λ= 30 personas por hora

µ= 20 personas por hora   Solución

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Servidores: 2

 

  Servidores: 3

Servidores: 4

 

  Respuesta

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Costos por hora Costo de espera por hora  Costo de sistema porhora porhora 

Costo hora 2 empleados 212,86

3 empleados 53,68

4  empleados 44,48 

203,68

194,48 

Costos por hora Costo de espera diario  

362,86 Costo de espera diario 2 empleados 2128,6

3 empleados 536,8

4  empleados 444,8 

Costo de sistema diario 

3628,6 

2036,8

1944,8

a) Encuentre el tiempo promedio de espera en la fila, si se utilizan 2, 3 y 4 empleados. El tiempo promedio en fila con 2 servidores es de 3.86 minutos con 3 servidores es de 28 segundos y con 4 servidores es de 5 segundos

b) ¿Cuál es el tiempo total diario que se pasa en espera en la línea, si se utilizan 2, 3 y 4 empleados? El tiempo en espera diario en la fila fil a con dos personas es de 15.44 horas con 3 servidores es de 1,88 horas y con 3 servidores es de 0,36 horas

c) Calcule el total del costo diario de espera y el costo de servicio si se utilizan 2, 3 y 4 empleados. ¿Cuál es costo total mínimo diario? El costo total diario con respecto a la cola con 2 servidores es de $2128,6, con 3 empleados es de $536,8 y con 4 empleados es de $444,8. Mientras que el costo total diario del sistema es de $3628,6 con 2 empleados, $2036,8 con 3 empleados y $1944,8 con 4 empleados.

 

EJERCICIO 13-24 El Billy’s Bank es el único en un pueblo pequeño de Arkansas. En un viernes típico un

 promedio de 10 cliente clientess por hora hora llega aall banco para realizar transacciones transacciones financieras. financieras. Hay un solo cajero en el banco y el tiempo promedio requerido para realizar las operaciones es de 4 minutos. Se supone que los tiempos de servicio se pueden describir por medio de una distribución exponencial. A pesar de que este es el único banco del pueblo, algunas personas han empezado a utilizar el banco del pueblo vecino, que se encuentra a cerca de 20 millas de distancia. Se usaría una sola fila y el cliente frente de ella sería atendido por el primer cajero disponible. Si se emplea a un solo cajero en el Billy’s Bank, encuentre

  Datos

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λ= 10 clientes por hora

µ= 15 clientes por hora   Solución

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  Respuesta

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a) el tiempo promedio en la línea. El tiempo promedio en fila es de 8 minutos

b) el número promedio en la línea. El número promedio en línea es de 1,33 es decir 1 persona

c) el tiempo promedio en el sistema. El tiempo promedio en el sistema es de 12 minutos d) el número promedio en el sistema. El numero promedio en el sistema son dos personas

e) la probabilidad de que el banco esté vacío. La probabilidad de que el banco este vacío es de 33%

EJERCICIO 13-25 Remítase a la situación del Billy’s Bank en el problema 13-24.

Billy considera la

contratación de un segundo cajero (quien trabajaría al mismo ritmo que el primero), con la finalidad de reducir el tiempo de espera de los clientes, con lo cual cree que se reducirá a la mitad dicho tiempo de espera. Si se agrega a un segundo cajero, encuentre   Datos

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λ= 10 clientes por hora

µ= 15 clientes por hora   Solución

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    Respuesta

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a) el tiempo promedio en la línea. El tiempo promedio en línea l ínea es de 30 segundos

b) el número promedio en la línea. El numero promedio de personas en la línea l ínea es de .08 es decir ninguna persona

c) el tiempo promedio en el sistema. El tiempo promedio en el sistema es de 4 minutos y 30 segundos

d) el número promedio en el sistema. El número de personas en el sistema es de .75 es decir ninguna persona

e) la probabilidad de que el banco esté vacío La probabilidad de que el banco este vacío es de 50%

 

EJERCICIO 13-26 Para la situación de Billy’s  Bank que se mencionó en los problemas 13-24 y 13-25, el salario

y las prestaciones de un cajero equivalen a $12 por hora. El banco está abierto 8 horas cada día. Se estima que el costo del tiempo de espera es de $25 por hora en la cola. •

  Datos

λ= 80 clientes por hora

µ= 120 clientes por hora   Solución

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1 cajero

2 cajeros

 

  Respuesta

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a) ¿Cuántos clientes entrarían al banco en un día típico? En un día típico llegaran 80 clientes

b) ¿Cuánto tiempo en total pasarían los clientes en la fila durante el día completo, si tan solo se empleara a un cajero? ¿Cuál es el costo total del tiempo espera por día? El costo total de espera en la fila por día es $362.67 menos los 96 del costo de servicio dan como resultado $266.66.

c) ¿Cuánto tiempo en total esperarían los clientes durante todo el día, si se emplearan dos cajeros? ¿Cuál es el costo total del tiempo de espera? El costo total del tiempo de espera en la cola es de 16$ y el tiempo total de espera es de 30 segundos por hora que por los 80 diarios con 40 minutos.

d) Si Billy desea minimizar el tiempo total de espera y el costo del personal, ¿cuántos cajeros debería emplear? Para minimizar el costo de espera a 208.67 debe contratar 2 cajeros.

EJERCICIO 13-27 Los clientes llegan a una máquina automatizada de venta de café a una tasa de 4 por minuto, mi nuto, siguiendo una distribución de Poisson. La máquina de café despacha una taza de café exactamente en 10 segundos.   Datos

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λ= 4 por minuto

µ= 6 por minuto   Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es el número promedio de personas que esperan en la fila? En la fila hay .67 personas en promedio es decir ninguna ni nguna

b) ¿Cuál es el número promedio en el sistema? Mientras que en el sistema hay en promedio una persona

c) ¿Cuánto espera una persona promedio en la línea antes de recibir el servicio? Antes de ser atendida una persona espera en la cola alrededor de 10 segundos EJERCICIO 13-29 Un mecánico da servicio a 5 máquinas taladradoras de un fabricante de placas de acero. Las máquinas se descomponen, en promedio, una vez cada 6 días laborables, y las descomposturas descomposturas tienden a seguir una distribución de Poisson. El mecánico puede manejar un promedio de una reparación por día. Las reparaciones siguen una distribución exponencial.   Datos

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λ= 1/6 máquinas por día

µ= 1 maquina por día Población = 5   Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuántas máquinas están esperando recibir servicio en promedio? En promedio se encuentra. 0.52 máquinas en la cola

b) ¿Cuántas están en el sistema en promedio? En el sistema se encuentran en promedio 1,16 máquinas taladradoras

c) ¿Cuántas taladradoras están funcionando adecuadamente en promedio? En promedio están funcionando bien 4 taladradoras d) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la cola? En la fila as maquinas se encuentran 6,51 hora horass en promedio

e) ¿Cuál es la espera promedio en el sistema? En el sistema las maquinas se encuentran en promedio 14.51 horas

EJERCICIO 13-30 Un técnico supervisa un grupo de cinco computadoras que dirigen una instalación de manufactura automatizada. En promedio toma quince minutos (distribuidos ( distribuidos exponencialmente) exponencialmente) ajustar una computadora que presente algún problema. Las computadoras funcionan un  promedio de 85 minutos (distribución de Poisson) sin req requerir uerir algún ajuste. ¿Cuál ¿Cuál es   Datos

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λ= 0.7058 computadoras por hora (60/85)

µ= 4 computadoras por hora Población = 5   Solución

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    Respuesta

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a) el número promedio de computadoras en espera de ajuste? Se encuentran en la fila 0.58 computadoras en promedio

b) el número promedio de computadoras que no funcionan correctamente? correctamente? El número de computadoras en el sistema es de 1.24

c) la probabilidad de que el sistema esté vacío? La probabilidad de que el sistema este vacío es de 34%

d) el tiempo promedio en la cola? El tiempo en la cola en promedio es de 13.03 minutos e) el tiempo promedio en el sistema? El tiempo promedio en el sistema es de 28.03 minutos

EJERCICIO 13-31 La típica estación del metro de Washington, D.C., tiene 6 torniquetes, cada uno de los cuales  puede ser operado por el gerente de la estación para dirigir la entrada o salida, pero nunca ambas. El gerente debe decidir en diferentes momentos del día que torniquetes utilizar para  permitir la entrada de los pasajeros y cuántos deben configurarse para permitir la salida de  pasajeros. En la College Station de Washington, los pasajeros entran en la estación a una tasa de aproximadamente aproximadame nte 84 por minuto entre las 7 y las 9 A.M. Los pasajeros que salen de los trenes en la parada llegan a la salida a una tasa de aproximadamente 48 por minuto, durante las mismas horas pico de la mañana. Cada torniquete puede permitir la entrada o salida, en promedio, de 30 pasajeros por minuto. Se piensa que los tiempos de llegadas y de servicio siguen las distribuciones de Poisson y exponencial, respectivamente. Suponga que los pasajeros hacen una fila común en el área de torniquetes, tanto a la entrada como a llaa salida, y avanzan hacia el  primer torniquete vacío. vacío.

 

El gerente de la College Station no desea que el pasajero promedio de esta estación tenga que esperar por más de 6 segundos en una cola para pasar por los torniquetes, ni quiere que más de 8 personas hagan cola en algún tiempo promedio.   Datos

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λ= 84 por minuto y 48 por minuto

µ= 30 por minuto Servidores = 4 y 2   Solución

•

 

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Respuesta   Respuesta a) ¿Cuántos torniquetes deberían abrirse en cada dirección durante la mañana? En la mañana deben abrirse 4 torniquetes de salida y 2 de entrada para cumplir todos los parámetros exigidos por el gerente

b) Comente las suposiciones que implican la solución de este problema usando la teoría de colas Abrir 4 torniquetes de salida implica tener en la cola en promedio1 persona y en el sistema en promedio 3.8 personas mientras que el tiempo en la cola será en promedio .71 segundos y en el sistema 2.71 segundos en promedio. La probabilidad de que el sistema este vacío será de 30 %

 

EJERCICIO 13-32 La banda de la secundaria Clear Brook tiene un lavado de autos para recaudar fondos para comprar nuevos equipos. El tiempo promedio para lavar un automóvil es de 4 minutos, y el tiempo se distribuye exponencialmente. Los autos llegan a una tasa de uno cada 5 minutos (o 12 por hora), y el número de llegadas por periodo de tiempo se describe por la distribución de Poisson.   Datos

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λ= 12 autos por hora

µ= 15 autos por hora   Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es el tiempo medio de espera de los autos en la línea? lí nea? El tiempo promedio que los autos esperan en la fila es de 16 minutos

b) ¿Cuál es el número promedio de vehículos en la línea? El número promedio de vehículos en la cola es de 3,2 autos

c) ¿Cuál es el número promedio de vehículos en el sistema? Mientras que en el sistema el número promedio de vehículos es de 4 d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema? El tiempo promedio en el sistema es de 20 minutos

e) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres autos en el sistema? La probabilidad de que haya más de 3 autos en el sistema es de 41%

 

EJERCICIO 13-33 Cuando los miembros adicionales de la banda llegaron para ayudar en el lavado de autos (véase el problema 13-32), se decidió que se deberían lavar dos autos a la vez en lugar de tan solo uno. Ambos equipos de trabajo trabajan al mismo ritmo.   Datos

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λ= 12 autos por hora

µ= 15 autos por hora   Solución

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  Respuesta

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a) ¿Cuál es el tiempo medio de espera de los autos en la línea? lí nea? El nuevo tiempo promedio que los autos esperaran en la fila es de 1,33 minutos

b) ¿Cuál es el número promedio de vehículos en la línea? El número de vehículos promedio es de 0.27

c) ¿Cuál es el número promedio de vehículos en el sistema? El número promedio de vehículos en el sistema es de 0.67

d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema?  El tiempo promedio en el sistema de lavado de autos es de 3.33 minutos