tarea i b - 2

Caracas, Venezuela, marzo de 2012. MATME/PF/M11/N11/M12/N12 Colegio Los Campitos. Angela María Pecsi Araujo - No. de Candidata: 001112-010 Matemática – Nivel Medio. (Tarea de tipo II). Tendencias Demográficas en China Objetivo: En esta tarea, se investigarán distintas funciones que modelan más adecuadamente la población de China de 1950 a 1995. La siguiente tabla muestra la población de China de 1950 a 1995: Año Población en millones

1950 554,8

1955 609,0

1960 657,5

1965 729,2

1970 830,7

1975 927,8

1980 998,9

1985 1070,0

1990 1995 1155,3 1220,5

Se modifica la tabla anterior para trabajar en función del tiempo transcurrido desde 1950 hasta 1995. Se fija t = 0 en 1950: Año 1950 Tiempo en Años (t) 0 Población en millones 554,8 Crecimiento de la Población/5 años Porcentaje de Aumento

1955 5 609,0

1960 10 657,5

1965 15 729,2

1970 20 830,7

1975 25 927,8

1980 30 998,9

1985 35 1.070,0

1990 40 1.155,3

1995 45 1.220,5

54,2 9,8

48,5 8,0

71,7 10,9

101,5 13,9

97,1 11,7

71,1 7,7

71,1 7,1

85,3 8,0

65,2 5,6

1) Defina claramente todos los parámetros y variables pertinentes. Las variables pertinentes son la cantidad de población, el crecimiento de la población y el tiempo.

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2) Utilice algún medio tecnológico para situar los puntos dados en esta tabla, en una gráfica. Se utiliza una hoja de cálculo Microsoft Excel 2007 para graficar la tabla: 1,400.0

Poblacion en Millones

1,200.0 1,000.0 800.0 Poblacion 1950 - 1995 600.0 Linear (Poblacion 1950 1995)

400.0 200.0 0.0 0

10

20

30

40

50

Tiempo en Años

3) Haga algún comentario sobre las tendencias sugeridas por la gráfica. En el rango de tiempo considerado (1950-1995) la población aumenta continuamente con el aumento de los años. Sin embargo, existen períodos en el cual el crecimiento disminuye y otros donde aumenta. Al aproximar la gráfica a una recta se observa que la pendiente es positiva, por lo que en general la tendencia es al crecimiento. 4) ¿Qué tipos de funciones podrían modelar el comportamiento de la gráfica? Explique sus elecciones. Se puede modelar usando una función lineal que se adapta bastante bien a la forma observada en la gráfica. Esta elección se debió a que es la función más sencilla para trabajar.

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5) Desarrolle analíticamente una función modelo que se ajuste a los puntos de su gráfica. Se toma la ecuación de una recta: y = mx + b Se halla la pendiente: m = Δy / Δx = y2 – y1 / x2 – x1 = (1.155,3 - 609,0) / (40 – 5) = 15,6 Se halla el punto de corte con el eje y: b = y – m*x = 609,0 – 15,6 * 5 = 531 La función particular queda como: y = 15,6 * x + 531 Colocándolo en función de las variables P y t del problema queda: P (t) = 15,6 * t + 531 Variando el tiempo en la función anterior, de acuerdo a los datos de la tabla modificada se tienen los siguientes valores de la población: Año Tiempo en Años (t) Población en millones

1950 0 531,0

1955 5 608,8

1960 10 686,8

1965 15 764,8

1970 20 842,8

1975 25 920,8

1980 1985 1990 1995 30 35 40 45 998,8 1.076,8 1.154,8 1.232,8

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6) En un nuevo sistema de ejes, grafique su modelo y los datos originales. 1,400.0

Poblacion en Millones

1,200.0 1,000.0 800.0

Poblacion 1950-1995

600.0

P(t)=15.6*t+531

400.0

Linear (Poblacion 1950-1995)

200.0 0.0 0

10

20

30

40

50

Tiempo en Años

7) Haga algún comentario sobre el grado de ajuste de su modelo a los datos originales. De ser necesario, revise su modelo. De la gráfica anterior se observa que en el período comprendido entre 20 a 45 años transcurridos, el modelo se ajusta muy bien a los datos originales. Sin embargo, en el período comprendido de 0 a 20 años transcurridos, el modelo presenta una desviación perceptible.

Un investigador sugiere que la población, P, correspondiente al tiempo t, se puede modelar mediante: P (t) = K / (1+Le –Mt ) ,

donde K, L y M son parámetros.

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8) Utilice algún medio tecnológico para estimar e interpretar los valores de K, L y M. Una función logística tiene la siguiente forma:

La gráfica es del tipo S entre las líneas horizontales y = 0 y y = N; donde N se le llama el valor limitante de la curva logística. La intersección en el eje y es N/(1 + A). Usando el software Graphmatica Versión 2.0, se introduce la data original de la tabla modificada y se hace un ajuste de la curva usando la opción de ecuación logística, dando como resultado: K = 1946 (Factor límite) L = 2.61 M = 0.033

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9) Construya el modelo del investigador, utilizando estas estimaciones. P (t) = 1946 / (1+2.61* e-0.033t) Variando el tiempo de acuerdo a los datos de la tabla modificada se tienen los siguientes valores de la población: Año Tiempo en Años (t) Población en millones

1950 0 539,1

1955 5 605,7

1960 10 676,5

1965 15 751,1

1970 20 828,4

1975 25 907,7

1980 1985 1990 1995 30 35 40 45 987,9 1.067,9 1.146,6 1.223,0

10) En un nuevo sistema de ejes, grafique el modelo del investigador y los datos originales. 1,400.0

Poblacion en Millones

1,200.0 1,000.0 800.0 Poblacion 1950 - 1995

600.0

P(t)=1946/(1+2.61*e-0.033 t)

400.0 200.0 0.0 0

10

20

30

40

50

Tiempo en Años

11) Haga algún comentario sobre el grado de ajuste de este modelo a los datos originales. El modelo del investigador se adapta mejor a los datos originales. No obstante, se puede notar una pequeña desviación en el período comprendido entre 10 a 15 años transcurridos. 12) Discuta las implicaciones de cada uno de estos modelos en lo que respecta al crecimiento de la población de China en el futuro. Según el modelo lineal, la población en el futuro tenderá a aumentar siempre, algo que no es cierto en la realidad. Según el modelo logístico, la población en el futuro tenderá a estabilizarse, dado que existe un factor limitante, que en la vida real son los recursos. 6

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He aquí datos adicionales sobre las tendencias demográficas en China, tomados del documento Perspectivas para la economía mundial de 2008, publicado por el Fondo Monetario Internacional (FMI): Año 1983 Población 1030,1 en millones

1992 1997 1171,7 1236,3

2000 1267,4

2003 1292,3

2005 1307,6

2008 1327,7

Se modifica la tabla del FMI para trabajar en función del tiempo transcurrido desde 1983 hasta 2008. Se fija t = 0 en 1983: Año Tiempo en Años (t) Población en millones

1983 0 1.030,1

Aumento de la Población Porcentaje de Aumento

1992 9 1.171,7

1997 14 1.236,3

2000 17 1.267,4

2003 20 1.292,3

2005 22 1.307,6

2008 25 1.327,7

141,6 13,7

64,6 5,5

31,1 2,5

24,9 2,0

15,3 1,2

20,1 1,5

Usando la misma metodología que en el caso anterior, se tienen los siguientes resultados: Modelo lineal: P (t) = 12,6 * t + 1058,2 Año Tiempo en Años (t) Población en millones

1983 0 1.058,2

1992 9 1.171,6

1997 14 1.234,6

2000 17 1.272,4

2003 20 1.310,2

2005 22 1.335,4

2008 25 1.373,2

Modelo logístico: P (t) = 1436,1 / (1+0,395* e0.063t) Año Tiempo en Años (t) Población en millones

1983 0 1.029,5

1992 9 1.173,2

1997 14 1.234,3

2000 17 1.264,9

2003 20 1.291,4

2005 22 1.307,0

2008 25 1.327,5

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MATME/PF/M11/N11/M12/N12

No. de Candidata: 001112-010

Graficando los datos anteriores se tiene: 1.600,0

Poblacion en Millones

1.400,0 1.200,0 1.000,0 800,0 Poblacion 1983-2008 600,0 P(t)=12,6*t+1058,2 400,0 P(t)=1436,1/(1+0,395* e0.063t)

200,0 0,0 0

5

10

15

20

25

30

Tiempo en Años

13) Haga algún comentario sobre cómo se ajusta cada uno de los modelos anteriores a los datos del FMI para los años 1983–2008. Es notable cómo el modelo logístico se adapta perfectamente a los datos originales, mientras que el modelo lineal presenta desviación: hay menor precisión en los extremos que en el centro. 14) Modifique el modelo que mejor se ajuste a los datos del FMI, para que se pueda aplicar a todos los datos dados, de 1950 a 2008. Fusionando las tablas se tiene: Año Tiempo en Años (t) Población en millones continuación de la tabla: Año Tiempo en Años (t) Población en millones

1950 0 554,8

1955 5 609

1960 10 657,5

1965 15 729,2

1970 20 830,7

1975 25 927,8

1980 1983 30 33 998,9 1030,1

1985 35 1070

1990 1992 1995 1997 2000 2003 2005 2008 40 42 45 47 50 53 55 58 1155,3 1171,7 1220,5 1236,3 1267,4 1292,3 1307,6 1327,7

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MATME/PF/M11/N11/M12/N12

No. de Candidata: 001112-010

El modelo que mejor se ajusta es el logístico: P (t) = 1617,5 / (1+2,067* e0.040t) Año 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1983 1985 Tiempo en Años (t) 0 5 10 15 20 25 30 33 35 Población en millones 527,388 600,784 678,04 757,826 838,62 918,822 996,876 1042,09 1071,39 continuación de la tabla: Año 1990 1992 1995 1997 2000 2003 2005 2008 Tiempo en Años (t) 40 42 45 47 50 53 55 58 Población en millones 1141,24 1167,67 1205,58 1229,66 1263,93 1295,96 1316,08 1344,41 Graficando los datos anteriores se tiene: 1.600,0 1.400,0

Poblacion en Millones

1.200,0 1.000,0 Poblacion 1950-2008 800,0 P(t)=1617,5/(1+2,067* e0.040t)

600,0 400,0 200,0 0,0 0

10

20

30

40

50

60

70

Tiempo en Años

15) Haga algún comentario sobre el grado de ajuste de su modelo modificado a todos los datos. Observando la gráfica, el modelo en general se adapta con gran precisión en el período de tiempo transcurrido entre los años 20 hasta 58. Sin embargo, la gráfica sugiere al principio que este modelo tiene cierta imprecisión con respecto al período de tiempo transcurrido entre los años 0 hasta 20.

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