Tarea Domingo

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. ESTADÍSTICA BÁSICA. C.P. AGOSTO-SEPTIEMBRE 2012 TÉCNICAS DE CONTEO Si la cantidad de posibles resultados d un experimento es pequeña, resulta relativamente fácil contarlas. Por ejemplo, existen seis posibles resultados del lanzamiento de un dado, a saber:

Sin embargo, si hay un número muy grande de resultados, tal como el número de caras y cruces en un experimento de con 10 lanzamientos de una moneda, sería tedioso contar todas las posibilidades. Todos Todos podrían ser caras, una cruz y nueve caras, dos caras y ocho cruces, y así sucesivamente. Para facilitar la cuenta, se analizarán tres fórmulas para contar: la fórmula de la multiplicación (no se confunda con la regla de la multiplicación descrita con anterioridad), la fórmula de las permutaciones y la fórmula de las combinaciones.

FÓRMULA DE LA MULTIPLICACIÓN Si hay m formas de hacer una cosa y n formas de hacer otra cosa, hay mxn formas de hacer ambas cosas. Fórmula: Número total de disposiciones = (m)(n) Ésta fórmula se puede generalizar para más de dos eventos. Para tres eventos m, n y o; Número total de disposiciones = (m)(n)(o)

Ejemplo: Una tienda ofrece suéteres y pantalones para dama por televisión de cable. Los suéteres y patnalones se ofrecen en colores coordinados. Si los suéteres se encuentran disponibles en cinco colores y los pantalones en cuatro colores, ¿cuántos diferentes conjuntos se pueden anunciar? (5)(4) = 20 FÓRMULA DE LAS PERMUTACIONES Como se ve, la fórmula de la multiplicación se aplica para determinar el número de posibles disposiciones de dos o más grupos. La fórmula de las permutaciones se aplica para determinar el número posible de disposiciones cuando hay un grupo de objetos. Antes de resolver problemas planteados, note que en las permutaciones y las combinaciones (que se plantean en breve) se emplea la notación denominada n factorial. Ésta se representa como n! y significa el producto de n(n-1)(n-2)(n-3)…. (1). Por ejemplo, 5! = 5*4*3*2*1 = 120 Muchas de las calculadoras tienen una tecla t ecla con x!, que ejecuta el cálculo. c álculo. Ahorrará mucho tiempo. Por definición, cero factorial, que se escribe 0! , es 1. ES decir que 0! = 1.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. ESTADÍSTICA BÁSICA. C.P. AGOSTO-SEPTIEMBRE 2012 Si un orden es suficiente para constituir otro subconjunto, entonces se trata de permutaciones. La fórmula para dado un conjunto de n elemento, cada uno de tamaño r, se determina como:

Ejemplo:

Si el orden de los objetos NO es importante, cualquier selección se denomina combinación. La fórmula para contar el número de r combinaciones de objetos de un conjunto de n objetos es:

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Distribución de probabilidad: Nos indica todos los resultados probables de un experimento, así como la probabilidad de ocurrencias de estos resultados. a) La probabilidad de un resultado específico está entre cero y uno, inclusive. b) La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es de 1.000.

Ejemplo: Suponga que existe interés en el número de veces que aparece “sol” en 3 lanzamientos de una moneda. Éste es el experimento. Los posibles resultados son: cero soles, un sol, dos soles y tres soles. ¿Cuál es la distribución de probabilidad para el número de soles?

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VARIABLES ALEATORIAS Variable aleatoria: La cantidad que es resultado de un experimento que, por azar, puede suponer distintos valores. Puede ser discreta o continua. a) Variable aleatoria discreta: Una variable que sólo puede tomar valores enteros de algún experimento de interés, o claramente separados y definidos sus valores numéricos. Ejemplo: El recuento de la cantidad de empleados ausentes el lunes. b) Variable aleatoria continua: Resulta principalmente de la medición y puede tomar cualquier valor, al menos de un rango dado. Ejemplo: Los tiempos de los vuelos comerciales entre dos ciudades, la presión en un neumático, etc. Por lógica, si organiza un conjunto de posibles valores de una variable aleatoria en una distribución de probabilidad, el resultado es una distribución de probabilidad. Así, ¿cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una variable aleatoria? Una variable aleatoria representa el resultado particular de un experimento. Una distribución de probabilidad representa todos los posibles resultados, así  como la correspondiente probabilidad. Las herramientas que se utilizan, así como las interpretaciones probabilísticas, son diferentes en el caso de distribuciones de probabilidades discretas y continuas. ¿Cuál diría que es la diferencia entre los dos tipos de distribuciones? Por lo general, una distribución discreta es el resultado de contar algo, como: a) El número de caras que se presentan en tres lanzamientos de una moneda. b) El número de estudiantes que obtienen A en clase. c) El número de empleados de producción que se ausentaron hoy en el segundo turno. d) El número de comerciales de 30 segundos que pasan en la NBC de las 8 a las 11 de la noche. Las distribuciones continuas son el resultado de algún tipo de medición, como: a) La duración de cada canción el último álbum de Shakira. b) El peso de cada estudiante de esta clase. c) La temperatura ambiente en el momento en que lee este libro.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. ESTADÍSTICA BÁSICA. C.P. AGOSTO-SEPTIEMBRE 2012 d) La suma de dinero que gana cada uno de los 750 jugadores actuales en la lista de los equipos de la liga mayor de Béisbol.

LA MEDIA, LA VARIANZA Y LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD En las sesiones anteriores se estudiaron medidas de ubicación y variación de una distribución de frecuencias. La media indica la localización central de los datos, y la varianza describe la dispersión de los datos. De forma similar, una distribución de probabilidad queda resumida por su media y su varianza. La media de una distribución de frecuencias se identifica mediante la letra minúscula griega mu (µ), yla desviación estándar, con sigma (σ).

a) Media: Valor típico que se usa para resumir una distribución de probabilidad. Se conoce como valor  esperado     E ( x)   xP ( x) Se multiplica cada valor de x por la probabilidad de que ocurra, y luego se suman estos productos. b) Varianza y Desviación estándar  2

  

  ( x   )  P ( x) 2

La desviación estándar se encuentra al extraer la raíz cuadrada de la varianza.

Ejemplo: John RAgsdale vende automóviles nuevos para Pelican Ford. Normalmente, los sábados son los días en que John vende el mayor número de autos. Tiene la siguiente distribución de probabilidad para el número de vehículos que espera vender un sábado en particular. 1) ¿Qué tipo de distribución es ésta? 2) En un sábado típico, ¿cuántos automóviles espera vender John? 3) ¿Cuál es la varianza de la distribución? ¿Cuál es la desviación estándar?

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL La distribución de probabilidad binomial es una distribución de probabilidad discreta que se presenta con mucha frecuencia. Una característica consiste en que sólo hay dos posibles resultados en determinado intento de un experimento. Por ejemplo, el enunciado en una pregunta de cierto o falso es o cierto o falso. Los resultados son mutuamente excluyentes, lo cual significa que la respuesta a una pregunta de cierto o falso no puede ser al mismo tiempo cierta o falsa. Con frecuencia, se clasifican los dos posibles resultados como éxito y fracaso. Sin embargo, esta clasificación no implica que un resultado sea bueno o malo. Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el número de éxitos en el número total de pruebas. Lance una moneda equilibrada cinco veces y cuente el número de veces que aparece una cara; seleccione 10 trabajadores y liste cuántos tienen más de 50 años, o seleccione 20 cajas de Raisin Bran de Kellogs y cuente el número de cajas que pesan más de lo que indica el paquete.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. ESTADÍSTICA BÁSICA. C.P. AGOSTO-SEPTIEMBRE 2012 Una tercera característica consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de una prueba a otra. Dos ejemplos son: La probabilidad de que adivine la primera pregunta de una prueba de verdadero o falso (éxito) es de un medio. Ésta constituye la primera prueba. La probabilidad de que adivine la segunda pregunta (segunda prueba) también es de un medio; la probabilidad de éxito en la tercera prueba es de otro medio, y así sucesivamente.

¿Cómo se calcular una probabilidad binomial? Para construir una probabilidad binomial en particular se necesita: 1) El número de pruebas 2) La probabilidad de éxito de cada prueba. Por ejemplo, si un examen al término de un seminario de administración incluye 20 preguntas de opción múltiple, el número de pruebas es de 20. Si cada pregunta contiene cinco elecciones y sólo una de ellas es correcta, la probabilidad de éxito en cada prueba es de 0.20. Por consiguiente, la probabilidad de que una persona sin conocimiento del tema dé con la respuesta a una pregunta es de 0.20. De modo que se cumplen las condiciones de la distribución binomial recién indicadas. Una probabilidad binomial se calcula mediante la fórmula:  x n  x  P ( x ) n C  x P  (1  p )

En ésta: C representa una combinación n es el número de pruebas  x es la variable aleatoria definida como el número de éxitos P es la probabilidad de un éxito en cada prueba

Ejemplo: Cada día, una aerolínea tiene cinco vuelos desde una ciudad a otra. Suponga que la probabilidad de que alguno de los vuelos se retrase es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase el día de hoy?

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Por ejemplo, respecto del número de vuelos retrasados, recuerde que p=0.20 y n=5. Por tanto: µ = np = (5)(0.20) = 1.0 2     np(1  p)  (5)(0.20)(1  0.20)  0.80

Estos resultados se pueden verificar con las fórmulas antes indicadas para determinar media y varianza en una distribución de probabilidad.

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Tablas de probabilidad binomial Con la fórmula antes enunciada para la probabilidad binomial se construye una di stribución de probabilidad binomial para cualesquiera valores de n y p. Sin embargo, si n es grande, los cálculos consumen más tiempo. Por conveniencia, las tablas muestran el resultado de la aplicación de la fórmula en el caso de varios valores de n y p.

LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA La distribución binomial es apropiada sólo si la probabilidad de un éxito permanece constante para cada intento. Esto ocurre si el muestreo se realiza con reemplazo o de una población finita (o muy grande). Sin embargo, si la población es pequeña y ocurre el muestreo sin reemplazo, la probabilidad de un éxito variará. Si la probabilidad de un éxito no es constante, la distribución hipergeométrica es de especial utilidad. Por lo tanto, 1) Si se selecciona una muestra de una población finita sin reemplazos 2) Si el tamaño de la muestra n es mayor que 5% del tamaño de la población, se aplica la distribución hipergeométrica para determinar la probabilidad de un número específico de éxitos o fracasos. Esto resulta especialmente apropiado cuando el tamaño de la población es pequeño. La función e probabilidad para la distribución hipergeométrica es:  P ( x) 

( r C  x )( N  r C n  x )  N 

C n

Donde: N es el tamaño de la población r es el número de éxitos en la población n es el tamaño de la muestra  x es el número de éxitos de la muestra En resumen, una distribución de probabilidad hipergeométrica tiene las siguientes características: 1) Los resultados de cada prueba de un experimento se clasifican en dos categorías exclusivas: éxito o fracaso. 2) La variable aleatoria es el número de éxitos de un número fijo de pruebas. 3) Las pruebas no son independientes. 4) Los muestreos se realizan con una población finita sin reemplazos y n/N>0.05. Por tanto, la probabilidad éxito cambia en cada prueba.

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Ejemplo: Play Time Toys, Inc., tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. Cuarenta empleados pertenecen a un sindicato, y diez, no. Se eligen al azar cinco empleados para formar un comité que hablará con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados elegidos para formar pare dl comité pertenezcan a un sindicato? En este caso, la población consiste en los 50 empleados del departamento de ensamble. Sólo se puede elegir una vez a un empelado para formar parte del comité. De ahí que el muestreo se lleve a cabo sin reemplazos. Por tanto, en cada prueba cambia la probabilidad de legir a un empleado sindicalizado. La distribución hipergeométrica es adecuada para determinar la probabilidad. En este problema, N = 50, el número de empleados S = 40, el número de empleados sindicalizados X = 4, el número de empleados sindicalizados elegidos n = 5, el número de empleados elegidos Se desea calcular la probabilidad de que 4 de los 5 miembros del comité sean sindicalizados. Al sustituir estos valores en la fórmula, se obtiene:

Por lo tanto, la probabilidad de elegir al azar a 5 trabajadores de ensamble de los 50 trabajadores y encontrar que 4 de 5 son sindicalizados es de 0.431.

LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo específico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen. La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto más grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad, y el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influyen en los demás intervalos. La distribución también constituye una forma restrictiva de la distribución binomial cuando la probabilidad de un éxito es muy pequeña y n es grande. A ésta se le conoce por lo general con el nombre de ley de eventos improbables, lo cual significa quela probabilidad de que ocurra un evento en particular es muy pequeña. La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta porque se genera contando. En resumen, una distribución de probabilidad de Poisson posee tres características: 1) La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un evento durante un intervalo definido. 2) La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño del intervalo. 3) Los intervalos no se superponen y son independientes. La distribución posee diversas aplicaciones. Se le utiliza como modelo para describir la distribución de errores en una entrada de datos, el número de rayones y otras imperfecciones en las cabinas de

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. ESTADÍSTICA BÁSICA. C.P. AGOSTO-SEPTIEMBRE 2012 automóviles recién pintados, el número de partes defectuosas en envíos, el número de clientes que esperan mesa en un restaurante o que esperan entrar en una de las atracciones de Disney World y el número de accidentes en la carretera federal 75 en un periodo de tres meses. La distribución de Poisson se describe matemáticamente por medio de la siguiente fórmula:  x

 P ( x) 

 

e

 

 x!

Donde X es el número de veces que ocurre el evento  es el número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o de espacio e =2.71828, la base del logaritmo natural. La media de número de éxitos, µ, puede determinarse con np; en este cao, n es el número total de pruebas y p, la probabilidad de éxito.

Ejemplo: Suponga que pocas veces se pierde equipaje en Northwest Airlines. En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una; en unos cuantos se pierden dos; pocas veces se pierden tres; etc. Suponga que una muestra aleatoria de 1000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, la media aritmética del número de maletas perdidas por vuelo de de 0.3, que se calcula al dividir  300/1000. Si el número de maletas perdidas por vuelo se rige por una distribución de Poisson con µ=0.3, las diversas probabilidades se calculan:

En pocas palabras, en 74% de los vuelos no habrá maletas perdidas. Las probabilidades de Poisson también se pueden consultar en el apéndice.

En resumen, la distribución de Poisson es en realidad una familia discreta de distribuciones. Todo lo que se requiere para construir una distribución de probabilidad de Poisson es la media del número de defectos, errores, etc, que se designan con µ.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA. ESTADÍSTICA BÁSICA. C.P. AGOSTO-SEPTIEMBRE 2012 PRINCIPIOS DE CONTEO

1) Una empresa fabrica 3 modelos de receptores estereofónicos, dos reproductores MP3, cuatro bocinas y tres carruseles de CD. Cuando se venden juntos los cuatro tipos de componentes, forman un sistema. ¿Cuántos diferentes sistemas puede ofrecer la empresa de electrónica? 2) Un músico piensa escribir una escala basada sólo en 5 cuerdas: B bemol, C, D, E y G. Sin embargo, sólo tres de las cinco cuerdas se van a utilizar en sucesión, por ejemplo: C, B bemol y E. No se permiten repeticiones como B bemol, B bemol y E. a) ¿Cuántas permutaciones de las cinco cuerdas, tomadas de tres en tres, son posibles? 3) Los 10 números del 0 al 9 se van a emplear en grupos de códigos de cuatro dígitos para identificar una prenda. No están permitidas las repeticiones de números. ¿Cuántos diferentes grupos de códigos se pueden asignar? DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETA

1) Calcula la media y la varianza de la siguiente distribución de probabilidad discreta. x

P(x)

0

.2

1

.4

2

.3

3

.1

2) En una situación binomial n=7 y pi=0.40. Determine las probabilidades de los siguientes

eventos con la fórmula binomial. a) x = 1 b) x = 2 c) x≥3 3) Una población consta de 15 elementos, 4 de los cuales son aceptables. En una muestra de 4 elementos. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 sean aceptables? Suponga que la muestra se toma sin reemplazo. 4) En una distribución de Poisson, μ=4 a) ¿Cuál es la probabilidad de que x=2? b) ¿Cuál es la probabilidad de que x≤2?

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