TAREA ACADEMICA

“

Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático

”

UNIVERSIDAD INCA GARCILASO GARCILASO DE LA VEGA

FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES

TAREA ACADÉMICA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES I

PRESENTADO POR:  YANGALES TRUJILLO, YOHAN YOHAN ANDRÉ

Lima, Perú 2014

Investigación de Operaciones

Tarea académica

INTRODUCCION

En esta tarea académica se desarrollara un informe sobre Programación lineal lineal y resolución resolución de varios problemas problemas con propuestos solución grafica.

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

INTRODUCCION

En esta tarea académica se desarrollara un informe sobre Programación lineal lineal y resolución resolución de varios problemas problemas con propuestos solución grafica.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

1. Teoría de colas

La teoría de colas es una disciplina, dentro de la investigación operativa, que tiene por objeto el estudio y análisis de situaciones en las que existen ente que demandan cierto servicio, de tal forma que dicho servicio no puede ser satisfecho instantáneamente, por lo cual se provocan esperas. Tal como queda patente en la definición anterior, el ámbito de la aplicación de la teoría de colas es enorme: desde las esperas para ser atendidos en establecimientos comerciales, esperas para ser procesados determinados programas informáticos, esperas para poder atravesar un cruce los vehículos que circulan por la ciudad esperas para establecer comunicación o recibir información de un sitio web, a través de internet, entre muchas otras. En muchas ocasiones en la vida real, un fenómeno muy común es la formación de colas o líneas de espera. Esto suele ocurrir cuando la demanda real de un servicio es superior a la capacidad que existe para dar dicho servicio. Ejemplos reales de esa situación son: los cruces de dos vías de circulación, los semáforos, el peaje de una autopista, los cajeros automáticos, la atención a clientes en un establecimiento comercial, la avería de electrodomésticos u otro tipo de aparatos que deben ser reparados por un servicio técnico, etc. Todavía más frecuentes, si cabe, son las situaciones de espera en el contexto de la informática, las telecomunicaciones y, en general, las nuevas tecnologías. Así, por ejemplo, los procesos enviados a un servidor para ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos, la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a congestión en la red o en el servidor propiamente dicho, podemos recibir la señal de líneas ocupadas si la central de la que depende nuestro teléfono móvil está colapsada en ese momento, etc. Origen:

El origen de la Teoría de Colas está en el esfuerzo de Agner Kraup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929) en 1909 para analizar la congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague. Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría denominada teoría de colas o de líneas de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

valor en negocios debido a que un gran número de problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión llegada-salida. Supuestos:

1) El sistema de cola existe siempre y cuando, el número de entidades es mayor al número de servidores. 2) La tasa de llegada ( ʎ) y la tasa de servicio (µ) deben darse en proceso poissoniano, es decir las llegadas se da según la distribución poisson y el tiempo de servicios sigue una distribución exponencial. 3) La tasa de servicio de un sistema debe ser menor que la tasa de llegada del mismo, de lo contrario el sistema colapsa. µ > ʎ Sistemas de cola

Los sistemas están compuestos por un sistema de cola y un sistema de servicio, en el cual ingresan entes de una población mediante un proceso de llegada, para recibir un servicio requerido. El proceso de llegada puede ser medio por el tiempo entre llegada o por tasa de llegada, de igual forma el proceso de servicios puede ser medido por el tiempo entre servicios o la tasa de servicioTasa de servicio µ: Número de entidades promedio que pueden ser atendidas por el servidor en un lapso de tiempo.Tasa de llegada ʎ: Numero de entidades promedio que ingresan al sistema en un lapso de tiempo. Clasificación de los sistemas de cola

Existen 2 tipos de sistemas de colas: Sistema básico: Es aquel donde existe una población, un sistema de llegada, además existe solo un sistema de cola y de servicio (sin importar en número de colas, ni el numero de servidores). Es decir, en este sistema las entidades al recibir el servicio salen del sistema y no ingresan a otro.

Sistema multifase o en cascada: A diferencia del sistema básico el sistema multifase es aquel donde existe un conjunto de sistemas interconectados. Existe una población, un sistema de llegada, y existe más de un sistema de cola y de servicio (sin importar en número de colas, ni el numero de servidores) con relación entre ellos. Es decir, en este sistema las Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

entidades al recibir el servicio salen del sistema e ingresan uno o más sistemas de cola y servicio, que pueden o no tener las mismas características.

Los canales de servicio están definidos por el número de servidores, no del numero de colas.

Parámetros

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

Modelo de costo de un M/M/K

En general, un modelo de costos en líneas de espera busca equilibrar Los costos de espera contra los costos de incrementar el nivel de servicio, Conforme crece el nivel de servicio, los costos de este también crecen y disminuye el tiempo de espera de los clientes. El nivel de servicio "óptimo" se presenta cuando la suma de los dos costos es un mínimo. Se supone que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.(2) Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por: Costo total de espera = Cw * Ls Donde Cw = costo de espera por unidad de tiempo y Ls= longitud promedio de la línea de espera. Por otra parte cada servidor tiene un costo Cs, de allí que: Costo total de servicio = Cs * Lq Por tanto se busca minimizar el costo total de un periodo: Ctp = Ls * Cw + K * Cs Donde K = Numero de servidores.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

2. Teoría de inventarios

La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de aquí la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, así como también conocer al final del periodo contable un estado confiable de la situación económica de la empresa. Ahora bien, El inventario constituye toda aquella mercancía que posee una empresa en el almacén, para la venta o actividades productivas. Existen 2 tipos de inventarios: El inventario lógico: muestra en sistema (Informático o Manual por Cardex) el registro de entradas y salidas de productos del inventario físico. Inventario físico: Es la cantidad real de productos con la cual la empresa cuenta en almacén. Todo producto se registra por medio de ITEMS (Códigos), y cada uno debe ser distinto para cada producto, además este contiene un código con la ubicación del producto. Ejemplo: 123-1J4 = Camisa verde, 456-5C3 = Camisa azul, 789-8E9 = Pantalón marrón. La exactitud del inventario se da cuando el sistema lógico coincide con el sistema físico. Principios

1) Todo Ítem debe estar debidamente codificado y localizado. 2) Todo movimiento de inventario, ya sea de entrada, de salida o de saldo, debe estar diligenciado y documentado (Firmado y autorizado). 3) Los documentos de registro de entrada deben ser diferentes de los documentos de registro de salida. 4) En cuanto sea posible el lugar físico locativo de entrega debe ser diferente del lugar físico locativo de recepción. 5) En cuanto sea posible los ITEMS de un mismo código deben estar almacenados en un mismo lugar, sino es posible marque los contados.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

6) En una auditoria todo ITEM debe ser contado 3 veces por personas diferentes y cada conteo se debe registrar en tarjetas diferentes. - Si por lo menos dos tarjetas coinciden, se registra esa cantidad. - Si ninguna tarjeta coincide se vuelve a realizar un conteo en presencia de un auditor externo. 7) Los ITEMS o productos de mayor mas o peso se deben almacenar de abajo a arriba en orden descendente es decir los más pesados abajo por seguridad del personal. 8) Los ITEMS QUE tuvieron movimiento en el día, deben verificarse sus saldos antes que no se cierre el día (verificar las existencias físicas con las lógicas) 9) Nadie del personal encargado del manejo de inventarios debe irse de la empresa antes de que se verifiquen los movimientos de los ITEMS del día. 10) Nunca se deben recibir comisiones ni premios de los proveedores. 11) Los reportes de inventario deben estar hechos máximo tres días de finalizado el mes, ya que en la medida que pasa el tiempo el inventario físico pierde exactitud con el inventario lógico. Conteo cíclico

Aunque la organización haya realizado esfuerzos para registrar su inventario, dichos registros deben verificarse mediante una auditoria continúa. Esas auditorias se conocen como conteo cíclico. Esta técnica utiliza la clasificación del inventario desarrollada en el análisis ABC. El objetivo central de los conteos cíclicos es mantener la fidelidad del registro de inventarios y la sincronía del inventario físico con el teórico o registrado en el sistema. Es pues necesario definir un indicador consolidado de la calidad del registro que permita evaluar la operación global del almacén.

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

El conteo se realiza anual, mensual, semestral, trimestral, etc. dependiendo de la frecuencia de rotación que tienen Ítems de la empresa. Exactitud

Esta mide la precisión con que las cantidades registradas en el inventario lógico corresponden con las cantidades encontradas en el inventario físico. "Solo cuando la organización sabe con exactitud con que cuenta, toma decisiones concretas" Proceso de conteo

1) Se ordena y clasifican todos los Ítems del almacén. 2) Se cuentan los Ítems existentes. 3) Se mide la exactitud del sistema lógico con respecto al sistema físico y se realizan ajustes. Ejemplo:

Sistema lógico

Sistema físico

220 Unds

170 Unds

Esta diferencia en las unidades de ambos sistemas representa un error por exceso, ya que las unidades registradas en el Sistema lógico exceden las unidades contadas en el Sistema físico. 4) Se certifica y documenta debidamente que existe una diferencia. 5) Se busca la posible causa de dicha diferencia. Ejemplo: Contar las entradas y salidas registradas en el periodo. (Entrada + Materia inicial - Salida = Existencias en el S. físico) 6) Para iniciar un nuevo ciclo es necesario cerrar debidamente el ciclo anterior. Análisis ABC

Este es una aplicación del principio de pareto donde: "El 80% de los efectos son causados por pocas causas (20%)" En el caso del análisis ABC, el 80% del dinero por inventario esta dado en el 20% de los Ítems.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

Esto varía dependiendo de aquello que la empresa considera más importante, si el factor más importante es el volumen de artículos o el dinero. Ejemplo: En el caso de un almacén con televisores de alta tecnología prima el dinero dado el alto costo de cada unidad, a diferencia de un almacén de vasos plásticos donde por su bajo costo unitario prima la cantidad.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 01

Cierto fabricante produce dos artículos, A y B, para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción: sección de montaje y sección de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar en funcionamiento nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas cada día. El beneficio que se obtiene produciendo el artículo B es de 40 euros y el de A es de 20 euros. Calcular la producción diaria de los artículos A y B que maximiza el beneficio. Solución Variables de decisión X1: Producción diaria de artículos x1 X2: Producción diaria de artículos x2 Función Objetivo Se desea maximizar

()  Restricciones    Modelo formal Max Z  Sa.   

      X1 X2 0 3 9 0

      X1 X2 0 8 4 0

()   ()   ()  ()  Conclusión La producción diaria de los artículos A y B para Que el beneficio sea máximo son 3 y 2 respectivamente

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

PROBLEMA N° 02

Una línea de transporte Lima-Trujillo, ofrece plazas para fumadores al precio de 150 soles y a no fumadores al precio de 100 soles. Al no fumador se le deja llevar 50 Kg. de peso y al fumador 20 Kg. Si el autobús tiene 60 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio? Solución Variables de decisión X1: Producción diaria de artículos x1 X2: Producción diaria de artículos x2 Función Objetivo Se desea maximizar

()  Restricciones    Modelo formal Max Z  Sa.   

      X1 X2 0 3 9 0

      X1 X2 0 8 4 0

()   ()   ()  ()  Conclusión La producción diaria de los artículos A y B para Que el beneficio sea máximo son 3 y 2 respectivamente

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 03

A una persona le tocan 10 millones de soles en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea máximo? Solución Variables de decisión X1: cantidad invertida en acciones A X2: cantidad invertida en acciones B Función Objetivo Se desea maximizar

 ()     

Restricciones

     Modelo formal    Max Z    Sa.    

       X1 X2 0 10 10 0

    X1 X2 0 0 1 1

   

   

X1 X2 6 0 6 1

X1 X2 0 2 1 2

()   ()  ()  ()  Conclusión Siendo la solución óptima invertir 6 millones de soles en acciones tipo A y 4 millones en acciones tipo B

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 04

Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 céntimos de dólar por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 céntimos de dólar por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? Solución Variables de decisión X1: N° de impresos diarios tipo A repartidos X2: N° de impresos diarios tipo B repartidos

   

Función Objetivo Se desea maximizar

X1 X2 120 0 120 1

Restricciones

   

() 

    Modelo formal Max Z  Sa.    

      X1 X2 0 150 150 0

X1 X2 0 100 1 100

()   ()  ()  ()  ()  Conclusión Debe repartir 50 impresos tipo A y 100 tipo B para una ganancia máxima diaria de 950 dólares.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

PROBLEMA N° 05

Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. Solución Variables de decisión X1: número de trajes X2: número de vestidos Función Objetivo Se desea maximizar

() 

Restricciones

   Modelo formal Max Z  Sa.   

      X1 X2 0 40 80 0

      X1 X2 0 60 40 0

()   ()   ()   ()   Conclusión El máximo beneficio lo obtendrá fabricando 20 trajes y 30 vestidos.

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

PROBLEMA N° 06

Un comerciante acude al mercado popular a comprar Manzanas con 5000 soles. Le ofrecen dos tipos de manzanas: las de tipo A a 1.25 soles el kg. y las de tipo B a 1.50. el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. De manzanas como máximo y que piensa vender el kg. de manzanas tipo A a 2.50 soles y el kg. de tipo B a 2.90 soles, se pide: a. Formular el problema como un modelo de programación lineal. b. ¿Cuántos kg. de manzanas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? c. ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 07

Una empresa constructora va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones de soles y el coste de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9 millones. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? Solución Variables de decisión X1: n: de viviendas construidas tipo A X2: n: de viviendas construidas tipo B  Función

     

Objetivo Se desea maximizar

X1 X2 0 75 46 0

Restricciones

     

() 

    Modelo formal Max Z  Sa.    

X1 X2 0 0 0 0

      X1 X2 0 0 0 0

()   ()  ()  Conclusión Teniendo que vender 40 viviendas tipo A y 10 tipo B para obtener un beneficio máximo de 130 millones

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 08 Cierta persona dispone de 10 millones de soles como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones de soles. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. a. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones. b. Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? A cuánto ascenderá?

Solución

Variables de decisión X1: cantidad invertida en acciones tipo A

X2: cantidad invertida en acciones tipo B

     

   

Función Objetivo Se desea maximizar

X1 X2 0 10 10 0

Restricciones

   

   

X1 X2 2 0 2 1

X1 X2 0 2 1 2

 ()     

     Modelo formal    Max Z    Sa.      ()  .18 ()  ()  ()  () 

X1 X2 0 0 1 1

Conclusión Ha de invertir, pues 5 millones de soles en A y 5 millones de soles en B para obtener un beneficio máximo de 1,05 millones, o sea 1.050.000 soles

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 9 Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.

Solución

Variables de decisión X1: número de barriles comprados de crudo ligero

X2: número de barriles comprados de crudo pesado

Función Objetivo Se desea minimizar

() 

Restricciones

    Modelo formal Min Z  Sa.    

      X1 0 3000000

X2 3000000 0

X1 0 4000000

X2 2000000 0

  X1 0 1666666.6

X2 2500000 0

()  ()  ()  Conclusión Siendo la solución de mínimo coste la compra de 3.000.000 de barriles de crudo ligero y ninguno de crudo pesado para un coste de 90.000.000 dólares.

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 10 Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 mil dólares. .y de 3 mil dólares por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?

Solución

Variables de decisión X1: número de camiones fabricados X2 número de autos fabricados Función Objetivo Se desea maximizar

() 

Restricciones

   Modelo formal Max Z  Sa.   

      X1 X2 0 150 42.86 0

 X1 X2 0 90 90 0

() 0 () 270 () 342 ()  Conclusión Se deben producir 24 unidades de la clase A y 66 unidades de la clase B para tener una ganancia de 342 mil dólares

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 11 Una compañía produce dos tipos de sombreros “COWBOY”. Cada sombrero del tipo 1

requiere el doble de tiempo en mano de obra que el segundo tipo. Si todos los sombreros son del tipo 2, la compañía puede producir un total de 500 sombreros al día. El mercado limita las ventas diarias del tipo 1 y 2 a 150 y 250 sombreros respectivamente. Suponga que los beneficios por cada sombrero son de $ 8 para el de tipo 1 y de $ 5 para el de tipo 2. Determine el número de sombreros a ser producidos de cada tipo para maximizar el beneficio.

Solución

Variables de decisión X1: Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 1

X2: Cantidad de Unidades del Sombrero TIPO 2

         

Función Objetivo Se desea maximizar

X1 X2 0 500 250 0

Restricciones

   

() 

    Modelo formal Max Z  Sa.    

X1 X2 0 250 1 250

X1 X2 150 0 150 1

() 0 ()  ()  ()  ()  Conclusión Se deben producir 125 sombreros de tipo 1 y 250 sombreros de tipo 2 para tener un beneficio de 2250 dólares.

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA 12 El taller de José se especializa en cambios de aceite del motor y regulación del sistema eléctrico. El beneficio por cambio del aceite es $7 y de $15 por regulación. José tiene un cliente fijo con cuya flota, le garantiza 30 cambios de aceite por semana. Cada cambio de aceite requiere de 20 minutos de trabajo y $8 de insumos. Una regulación toma una hora de trabajo y gasta $15 en insumos. José paga a los mecánicos $10 por hora de trabajo y emplea actualmente a dos de ellos, cada uno de los cuales labora 40 horas por semana. Las compras de insumos alcanzan un valor de $1.750 semanales. José desea maximizar el beneficio total. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

Solución Variables de decisión X1: Cambios del aceite



Función Objetivo Se desea maximizar

X1 X2 0 80 240 0

Restricciones

   

X2: Ajuste

() 

    Modelo formal Max Z  Sa.    

X1 X2 0 30 1 30

 X1 X2 0 116.7 218.8 0

() 0 ()  ()  () 1531.6 Conclusión Se debe hacer 125 cambios de aceite y 250 ajustes para tener un beneficio de 4625 dólares

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 13 Un distribuidor de ferretería planea vender paquetes de tuercas y tornillos mezclados. Cada paquete pesa por lo menos 2 libras. Tres tamaños de tuercas y tornillos componen el paquete y se compran en lotes de 200 libras. Los tamaños 1,2, y 3 cuestan respectivamente $ 20, $ 80 y $ 12. Además: a) El peso combinado de los tamaños 1 y 3 debe ser al menos la mitad del peso total del paquete b) El peso de los tamaños 1 y 2 no debe ser mayor que 1.6 libras c) Cualquier tamaño de tornillo debe ser al menos 10% del paquete total d) Cuál será la composición del paquete que ocasionará el costo mínimo.

Solución

Variables de decisión X1: peso de las unidades de tamaño 1 X2: peso de las unidades de tamaño 2 X3: peso de las unidades de tamaño 3

Función Objetivo Se desea minimizar

() 

Restricciones

                                              Modelo formal Max Z  Sa.                                               

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 14 Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponible para producción hay 500 gal/ hr de grado 1 y 200 gal/ hr. De los de grado 2 y 3. Los costos son de 30 ctvs. ( $ 0.30) por galón de grado 1, $ 0.60 por galón de grado 2 y $ 0.50 de grado 3. La clase A puede venderse a $ 0.75 por galón, mientras que la clase B alcanza $ 0.90 / galón. ¿ Qué cantidad puede producirse de cada combustible?.

Solución

Variables de decisión X1: Cantidad, en galones, del combustible A

X2 Cantidad, en galones, del combustible B

    

Función Objetivo Se desea maximizar

X1 X2 300 0 300 1

Restricciones

       

() 

                Modelo formal Max Z  Sa.

               

X1 X2 0 300 600 0

        X1 X2 0 400 400 0

()   ()  ()  ()  ()  Conclusión Se deben producir 200 del combustible A y 200 del combustible B para tener una ganancia de 12500

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 15

El propietario del rancho Litle Dixie está realizando ensayos para determinar la mezcla correcta de dos clases de alimentos. Ambos contienen diversos porcentajes de 4 ingredientes esenciales. ¿Cuál es la mezcla de costo mínimo?

Ingredientes

% por Lb. De alimento

Alimento 1 1 2 3 4 Costo ( $ / Lib)

Requerimientos mínimos (libras)

Alimento 2 40 10 20 30

20 30 40 10 0.5

4 2 3 6 0.3

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

PROBLEMA N° 16 Un agente vendedor distribuye dos productos y no espera vender más de 10 unidades / mes del producto 1 ó 39 unidades / mes del producto 2. Para evitar una multa debe vender al menos 24 unidades del producto. Recibe una comisión de 10% sobre todas las ventas y debe pagar sus propios gastos, que se estiman en $ 1.50 por hora gastada en hacer visitas. Trabaja sólo una parte del tiempo hasta un máximo de 80 horas / mes. El producto 1 se vende en $ 150 por unidad y requiere un promedio de 1.5 horas por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0.5. El producto 2 se vende en $ 70 por unidad y requiere un promedio de 30 minutos por cada visita; la probabilidad de hacer una venta es 0.6. ¿ Cuántas visitas mensuales debe hacer a los clientes de cada producto?

Sistema a Distancia

Tarea académica

Investigación de Operaciones

PROBLEMA N° 17 Una compañía de transporte de carga tiene 10 camiones con capacidad de 40,000 lbs y 5 camiones de 30,000 lbs. de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de o peración de $ 0.30 / mil y los más pequeños de $ 0,25 / mil. La próxima semana, la compañía debe transportar 400,000 lbs., de malta para un recorrido de 800 millas. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta: ¿ Cuál es el número óptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para tra nsportar la malta? . (ignorar el que la respuesta deba darse en números enteros?.

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 18. Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 u.m. la unidad y las T2 a 2.300 u.m.. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 u.m.. ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T1 y 15 del tipo T2?

Solución

Variables de decisión X1: número de tartas T1 X2 número de tartas T2 Función Objetivo Se desea maximizar

() 

Restricciones

            

 Modelo formal Max Z  Sa.

             

       X1 X2 300 0 300 1

      X1 X2 0 300 600 0

    X1 X2 0 400 400 0

()   ()  ()  ()  ()  Conclusión a ) Se deben fabricar 50 tartas T1 y 20 tartas T2 para tener una ganancia de 96000 um

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 19 Un hombre de negocios tiene la opción de invertir su dinero en dos planes. El plan A garantiza que cada dólar invertido retornará 70 centavos por año, mientras que el plan B garantiza que cada dólar invertido retornará $ 2,00 en dos años. El plan B sólo se invierte para periodos que son múltiplos de dos años. ¿ Cómo se invertirá $ 100,000 para maximizar los retornos al final de los 3 años?. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

Solución Con un diagrama de tiempo se definen las variables en forma apropiada, las flechas hacia abajo son las inversiones y hacia arriba representan las rentas o ingresos. Plan A

Plan B (Inversiones por períodos múltiplos de dos años)

Sea Xi j: Cantidad de dinero a invertir en el plan j (j = A, B) en el año. i . (i = 0, 1, 2) El objetivo es maximizar la suma de dinero disponible en el año 3. Sea Z suma de dinero a retirar en el año 3, es decir Z = 1.7X2A + 3X1B Las restricciones se relacionan con la cantidad de dinero disponible en cada período anual. En. 0. hay disponible 1000000. Por lo tanto, X0A + X0B  1000000 En. 1. hay disponible 1.7XOA. Por lo tanto, X1A + X1B  1.7XOA En. 2. hay disponible 1.7X1A + 3XOB, luego X2A 1.7X1A + 3X0B  Además, X0A, X1A, X2A, X0B, X1B ³ 0, X2B = 0



 

Modelo formal Max Z Sa.

                 

X0A, X1A, X2A, X0B, X1B ³ 0, X2B = 0

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

PROBLEMA N° 20 Para una jornada de 24 horas, una cafetería está requiriendo los siguientes mozos:

Tiempo del día

Número mínimo de mozos

2 – 6 6 – 10 10 – 14 14 – 18 18 – 22 22 – 2

4 8 10 7 12 4

Cada mozo trabaja 8 horas consecutivas por día. El objetivo es encontrar el número de mozos que cumplan los requerimientos. Formule el problema como un modelo de programación lineal.

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

Aplicar el método simplex a los siguientes modelos de programación lineal 1.

       Sa                 

2.

       Sa                 Solución Z 0 0 0

X1

X2

S1

S2

R

-4 8 1

-1 2 1

0 1 0

0 0 1

0 16 12

Pívot

   Primera iteración Z

X1

X2

S1

S2

R

1

0

0

0.5

0

8

0

1

0.25

0.125

0

2

0

0

0.75

-0.125

1 10

       

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

3.

       Sa                       

4.

Solución

       Sa                          Solución

Z 1 0 0

X1 -10 1 2

X2 -1 2

S1 0 1

-1

0

S2

S3

R

0 0

0 0

0 6

1

0

4

Pívot

  

Z 1 0

X1 -2 0

X2 -1 1

S1 0 1

0

2

5

0 0

1

1 1

3

X1 0 0

X2 -6 2.5

S1 0 1

5 -0.5

0 0

20 4

0

1

-0.5

0

0.5

0

2

S2

S3

0 0

0 0

0 6

0

1

0

0

60

0

0

1

0

18

0

0

0

1

44

Primera iteración Z X1 1 0

 } {   Segunda iteración

0 0

R

      

R

Pívot

X2

S4

Pívot

Z 1 0

X1 0 0

S3

0 0

Primera iteración

Z 1 0

S2

S1 0 0

0 1

S2 2.272 0.636

1

0

0

0

1

0

  .454   

S3 1.09 -0.454

R 25.454 1.727

0.272

0.09

2.454

-0.454

0.181

0.909

X2 -0.333

S1 0

S2 0

S3 0

S4 0.667

R 29.333

0

0

1

1

0

0

0

6

0

0

0

1

0

-0.667

30.667

0

0

4.333 0.667

0

0

1

-0.333

3.333

0

1

0

0

0

0.333

14.667

0.333

Pívot

  } {        Segunda iteración

Z X1 X2 S1 1 0 0 0 0 0 0 1

S2 0 0

S3 0.5 -1.5

S4 0.5 0.5

R 31 1

0

0

0

0

1

-6.5

1.5

9

0

0

1

0

0

1.5

-0.5

5

0

1

0

0

0

-0.5

0.5

13

         Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

5.

        Sa                   

6.

        Sa

             

Sistema a Distancia

Investigación de Operaciones

Tarea académica

7.

           Sa

                             

8.

       Sa

                            

Sistema a Distancia