Tarea 5, Teorema Maxwell-betty (1)

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El teorema de Maxwell-Betti, o de forma más completa, teorema de reciprocidad de Maxwell-Betti de resistencia de materiales se debe al matemático italiano Enrico Betti, quien en 1872 generalizó un teorema de Maxwell, publicado a su vez en 1864. Este teorema pertenece a una serie de teoremas energéticos, entre los que se encuentran también los teoremas de Castigliano. La importancia de los teoremas energéticos radica en su potencia en el análisis de estructuras, que se debe a su sencillez y generalidad. Este teorema es también de importancia en el planteamiento del Método de elementos de frontera.

Coeficientes de influencia Sea un sólido elástico que se somete a un sistema de fuerzas, asumiendo las siguientes hipótesis: y

y y

y

En

cualquier punto del sólido, só lido, cada fuerza produce una de formación formación proporcional pro porcional a la misma (ley ( ley de Hooke: Hooke: linealidad entre tensiones y deformaciones). Se verifica el Principio de superposición. superposición. La aplicación de cualquier fuerza sobre el sólido no modifica la línea de acción de las restantes cargas aplicadas. Las fuerzas se aplican de manera progresiva y lineal, no dando lugar a vibraciones ni a intercambio de calor con el exterior.

Sean i y  j dos puntos del sólido elástico, denominándose al aplicar en  j una fuerza se puede afirmar que:

al desplazamiento del punto i

. En virtud de la primera de las hipótesis anteriormente citadas,

Si aplicamos un conjunto de n fuerzas sobre el sólido elástico, aplicando el pr incipio incipio de superposición se tendrá que el desplazamiento tot al del punto i será:

Sea

la proyección del desplazamiento del punto i sobre la dirección de la fuerza aplicada

en él, , cuando se aplica en j una carga unitaria . Estos desplazamientos proyectados sobre la línea de acción acc ión de la fuerza son los que producen trabajo (recuérdese que el trabajo se calcula como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento). Definiendo de este modo , y teniendo en cuenta la proporcionalidad entre fuerzas actuantes y deformaciones enunciada anteriormente, se puede expresar el desplazamiento total del   punto i proyectado en la dirección de , de la siguiente manera:

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A los coeficientes se les denomina coeficientes de influencia y representan la componente del desplazamiento que provoca una carga unitaria aplicada sobre j en el punto i, en la dirección de . La

definición de los coeficientes de influencia se debe a Clapeyron.

Energía de deformación Supongamos un sólido elástico inicialmente descargado, y que empezamos a cargarlo con una fuerza . Debido a las hipótesis expresadas anteriormente, existe  proporcionalidad entre fuerzas y desplazamientos de modo que a un determinado incremento relativo de la fuerza le corresponde el mismo incremento relativo del desplazamiento, o lo que es lo mismo, la pendiente de una gráfica fuerza-desplazamiento es constante. Y por tanto, a la aplicación de una fuerza le corresponderá un desplazamiento

.

La

energía de deformación acumulada durante todo el proceso de carga será igual al área que queda por debajo de la recta representada en la gráfica fuerza-desplazamiento, es decir, el área de un triángulo:

Si el sólido elástico no se carga con una única fuerza, sino con un conjunto de ellas, aplicando el principio de superposición se tiene:

Teniendo en cuenta lo dicho en el apartado dedicado a los coeficientes de influencia:

Teorema

de Maxwell-Betti

Sea un cuerpo elástico

sobre el que actúan dos conjuntos de fuerzas

aplicados sobre los puntos del sólido

y

, respectivamente.

y

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Sean los desplazamientos de los puntos y los desplazamientos de los puntos cuando solo actúan sobre el sólido elástico las fuerzas . Análogamente, denominaremos a los desplazamientos de los puntos

y

a los desplazamientos de los puntos

cuando solo actúa el conjunto de fuerzas . El trabajo realizado por las cargas no depende del orden de aplicación de las mismas, por lo que consideraremos dos casos: 1.

Aplicamos en primer lugar el conjunto de fuerzas energía de deformación:

A continuación añadimos el conjunto como sigue:

El

, resultando la siguiente

, quedando el total de la energía de deformación

segundo término de la ecuación es debido al trabajo realizado por las fuerzas

sus puntos de aplicación, es decir, la aplicación de las fuerzas

sobre

, mientras que el tercer término se debe a que durante

los puntos de aplicación de las fuerzas

se han desplazado

una cantidad , y en consecuencia las fuerzas habrán realizado un trabajo. Este término no se divide por dos porque es un trabajo realizado por las fuerzas que han permanecido constantes durante la realización del mismo, a diferencia de los otros dos términos en los cuáles el trabajo ha sido realizado durante un proceso de carga del sólido elástico, siendo de aplicación la fórmula deducida en el apartado dedicado a E nergía de def ormación. 2. En

este segundo caso, aplicamos en primer lugar el conjunto de fuerzas continuación añadimos el conjunto , quedando entonces la energía de deformación como sigue:

,ya

Del mismo modo que en e l primer caso, el tercer término se debe a que durante la aplicación de las fuerzas una cantidad

los puntos de aplicación de las fuerzas

, y en consecuencia las fuerzas

se han desplazado

realizan un trabajo.

Tal y como hemos dicho al principio, la energía de deformación no depende del orden de aplicación de las cargas por lo que igualando las expresiones obtenidas en los dos casos considerados:

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igualdad es la que da lugar al Teorema de Maxwell-Betti, que puede enunciarse de la siguiente forma: Esta

 En un sólido elástico, el trabajo realizado por un sistema de fuerzas un sistema de fuerzas es igual al trabajo realizado por el sistema

al aplicar al aplicar

Enrico Betti

La

principal consecuencia de este resultado es que los coeficientes de influencia recíprocos

son iguales. En efecto, supongamos que tanto coincide con la definición del coeficiente de influencia

. Entonces el significado de , mientras que

corresponde con el coeficiente de influencia recíproco al anterior, es decir, expresión que define el Teorema de Maxwell-Betti, se tiene que:

Este

se , y por la

teorema es de aplicación también en el caso de que no sean fuerzas sino momentos (o incluso fuerzas y momentos) las acciones aplicadas so bre el solido elástico, en cuyo caso los desplazamientos serán sustituidos por el ángulo de rotación correspondiente.