Tarea 4

 

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES

Tarea 4 y Examen 3

PRESENTA

Juan Sebastián García Alvarez ID: 1002609297

PROFESORA

Ph.D Nubia Esteban Duarte

ASIGNATURA

Probababilidad y Estadistica

15 de Diciembre de 2020 Manizales Caldas

 

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Índice general 1. Distri Distribuci buciones ones

 

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1.1. Distribuc Distribuciones iones expon exponencial encial..   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Dist Distribuc ribución ión Gamma Gamma..   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Dist Distribuc ribución ión Normal Normal..   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función ón Generad Generadora ora de de momentos momentos.. 2. Funci 2.1. 2.1. 2. 2.2. 2. 2.3. 2.3. 2.4. 2.4.

Exponencia Exponen ciall   . Gamm Ga mma. a.   . . . Ji-Cua JiCuadra drada. da.   . Norm No rmal al   . . .

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3. Distri Distribuci bución ón unif uniforme. orme.

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15 . . . .

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4.1. Apl 4.1. Aplica icacio ciones nes..   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Ti Tipos pos de Correl Correlación ación   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Agrade Agradecimi cimientos entos   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

15 16 16 16

19

3.1.. Defi Definic nición ión   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1

4. Coefici Coeficiente ente de corre correlació laciónn de Pearson. Pearson.

5 9 11

19

21 21 21 23

 

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ÍNDICE GENERAL 

 

Capítulo 1 Distribuciones 1.1. Distribu Distribucione cioness exponenc exponencial. ial. El ejercicio que se escogió para ilustrar la distribución exponencial es el ejercicio 108 de la pagina 185 del capitulo 4 del libro de Jay L. Devore. [1 [ 1] El enunciado del ejercicio dice así: El artículo “Determination of the MTF of Positive Photoresists Using the Monte Carlo Method” (Photographic Sci. and Engr., 1983: 254-260) propone la distribución exponencial con parámetro λ  0.93 como modelo de la distribución de una longitud de trayectoria libre de fotones ( µ m) en ciertas circunstancias. Suponga que éste es el modelo correcto. Tenemos un valor λ   = =  0.93 el cual significa que este es el promedio de los valores en micro metros (µ m) listo definido el parámetro  λ  y que hace este, ahora la variable aleatoria continua se define como: X := "Valor de la longitud de trayectoria libre de fotones." Ya definido las dos cosas con las que vamos a trabajar durante todo el ejercicio y la simulación. trayectoria esperada esperada y cuál es su desviación desviación estándar? a) ¿Cuál es la longitud de trayectoria En este punto voy a resolver y concluir concluir la esperanza, esperanza, la desvia desviación ción estándar y la varianza. varianza. La esperanza esperan za sera igual a  E [ X ] =

  1

λ 

  1 0.93  E [ X ] =   1, 075µ m  E [ X ] =

esta nos dice que se espera que el valor de la longitud sea de 1 , 075µ m ahora la varianza de x 5

 

 

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CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES

va a ser igual:   1

var [  X  X ] =

λ 2  

1 (0.93)2 var [  X  X ] =   1, 16 µ m

var [  X  X ] =

El valor donde va a fluctuar nuestra longitud es el valor de la varianza y ahora el valor de la desviación estándar va ser igual a:

 

  2

σ   xx   =

=

 1

λ 2

  1

=

λ    1

0.93 =   1.075 µ m Por consiguiente nuestro valor de intervalos es:

0

 

1.075

2.15

Figura 1.1: Intervalo probabilidad de que la longitud longitud de trayectoria trayectoria exceda de 3.0? ¿Cuál es la probab) ¿Cuál es la probabilidad bilidad de que la longitud de trayectoria esté entre 1.0 y 3.0? Primero vamos a hallar la probabilidad de que la onda sea mayor que 3 vamos a calcularla, recordemos recordem os que el valor de  λ  es 0.93. P( X   > 3) = e−(0.93)(3) = 0.0614

≈ 6, 14 %

La probabilidad de que la longitud de que la onda sea mayor de 3 es igual a 6 .14% es muy poco probable de que esto pase, ahora veremos que pasa en el intervalo entre 1 y 3 (1, 0  x 3, 0).

≤ ≤

P(1, 0

≤ X   ≤≤ 3, 0)

= = = =

(1 − e−(0.93)(3) ) − (1 − e−(0.93)(1) )   1 − e−2.79 − 1 + e0.93   e−2.79 + e0.93   0.33

≈   33, 3 %

 

1.1. DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES EXPONENCIAL.

 

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Vemos que la probabilidad en este intervalo es un valor que es factible de que suceda, esto puede suceder, suceder, no muy seguramente seguramente pero si es muy probable. probable. c) ¿Qué valor valor es excedido excedido por sólo 10 % de todas las longitudes longitudes de trayec trayectoria toria?? Para entender un poco mas este ejercicio hice un bosquejo que sera presentado en la figura c)   en donde ilustramos que el valor R es desde donde esta excediendo el 10% y pues la probabilidad de estos como se muestra es igual a 0.90, miramos el bosquejo. Después de esto

Figura 1.2: Bosquejo guía para el ejercicio. procedemos procede mos a encontrar encontrar el valor valor R de la siguiente siguiente forma: R 0.90   =   e−λ   R R ln (0.90) =   ln (e−λ   R )

ln (0.90) = ln (0.90)

λ 

  −λ  R R

  = R

−−0.105   −0.93

= R

0.11   =   R

Si comparamos esto con la simulación podemos ver que estamos en lo cierto, comparemos con la figura  c )  que nos arroja la simulación en el programa R.

 

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CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES

Figura 1.3: Simulación del ejercicio.

Cuando vemos donde esta la linea roja podemos ver que efectivamente esta después de 0 .11 esta el 90% entonces podemos ver que la solución del ejercicio esta bueno, sobre la simulación importante de que hay muy pocas longitudes mayores que uno, y cambiando el  λ   a 5 y también a 0 .23, podemos ver según la figura  c )  podemos ver que con 0.23 es muy poco probable de que pase de 1 micro metro y que con 5, va tener una caída muy notable en 5, pero igual va ser muy poco probable.

Figura 1.4: Simulación del ejercicio con varios parametros  λ .

 

1.2. DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN GAMMA. GAMMA.

 

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1.2.. Distri 1.2 Distribu bució ciónn Gamma. Gamma. El ejercicio que se escogió para la distribución Gamma  ( Γ (α )) )) que viene en el libro de probabilidad de la profesora Liliana Blanco, el ejercicio 47, capitulo 4, pagina 179. El cual dice así: Supóngase que le tiempo de duración (medido en meses) de una pula tamaño AA y de marca "la pila.es una variable aleatoria con distribución gamma de parámetros 1 y 0.2. Primero definimos la variable aleatoria continua X y los parámetros  λ   y  α . X := "T "Tiempo iempo de duración de las pilas. (Meses)"

α : 1, esta es la cantidad de objetos que hay λ : 0.2, es el valor promedio de la vida de las baterias. Ya definido las dos cosas con las que vamos a trabajar durante todo el ejercicio y la simulación, empezamos a resolver los puntos. 1. Calcular Calcular la probabilidad probabilidad de que una de tales pilas pilas dure al menos 7 meses. Vamos a hallar con la formula de distribución acumulada de la gamma, entonces por consiguiente: P( X 

  ≥≥ 7)

≤ 7) =   1 − p( X   ≤

α  1

− (−0.2)(7)k  =   1 − (1 − (exp (−0.2)(7))( ∑   )) k  ! k =0 − 1.4 =   ex exp p =   0.24

Que esto pase es muy poc probable la verdad, las pilas no tienen tendencia para que duren mas de 7 meses.

2. Si cuatro pilas de tamaño AA y marca "la pila"son necesari necesarios os para que una linterna linterna funcione y si esta funcionan solo cuando todas las pilas funcionan ¿Cuál es la probabilidad de que la linterna funcione al menos siete meses?. Exponer claramente los supuestos que se hagan. ¿Son estos supuestos realistas? Yo propongo hacer dos supuestos, uno mas real y otro menos posible, el primero es que estas pilas fallen disparejamente, entonces hay 4! formas de que fallen y pues solo nos va a importar la primera, pero la probabilidad de que esto pase es lo mas normal, pero no se calcularla, ya que si nos ponemos a pensar pueden existir fallas antes de tiempo y eso es lo que esperaría yo que pase, y el segundo caso es en el que todas fallan a la misma vez, este supuesto no es muy real y la probabilidad de que este pase seria 0.24 para las cuatro pilas. 3. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que se tengan que reponer reponer exactam exactamente ente dos pilas a los 7 meses o menos?

 

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CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES

Primero vamos a tomar la variable aleatoria continua X y vamos a encontrar cuando este vale menos que 7 entonces como ya conocemos cuanto es la probabilidad de que este sea mayor que 7, entonces de que sea menor a eso es 1-P( X  7) y eso nos da 0.76. Ahora definimos una variable aleatoria Z

  ≥≥

Z := "Numero de pilas que fallan." Ahora hallamos una probabilidad binomial de distribución  Z 

P( X   = =  2) =



4 2  p (1 2

∼

 Bin(4, 0.76)  y resolvemos.

− p)4

=   6(0.76)2 (0.24)2 =   0.0155

La probabilidad de remplazar exactamente 2 es muy pequeña. entonces se puede decir que cambios cambi os pares de pilas son muy pocos posibles Vamos a Hallar esperanza, Varianza y desviación estándar   1 0.2 =   5meses

 E [ X ] =

Se espera que un bombillo tenga como duracion 5 meses.   1 0.025 =   25meses

var [  X  X ] =

σ   X  X    =

 

var ( x)

=   5meses

Con respecto a la simulación para el cambio de los parámetros vemos que la función se comporta de maneras similares manteniendo la curva en si misma y haciendo un proceso parecido en todos los parámetros.

 

1.3. DISTRIBUCIÓN DISTRIBUCIÓN NORMAL. NORMAL.

 

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Figura 1.5: Simulación del ejercicio con varios parametros  λ .

1.3.. Distri 1.3 Distribu bució ciónn Normal Normal.. Este ejercicio ejercicio fue tomado tomado del libro de Jay L. Devore. Devore. Se sabe que el voltaje de ruptura de un diodo seleccionado al azar de cierto tipo está normalmente distribuido con valor medio de 40 V y desviación estándar de 1.5 V. µ  =  =  40: Promedio de voltios en donde se rompe el diodo. σ  =  =  1.5: Valor de la desviación estándar. X := "Voltaje de ruptura del diodo." 1. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que el vol voltaje taje de un solo diodo est estéé entre 39 y 42? Calculamos esa probabilidad como: P(39

≤ Z  ≤ 42)

=   P(

39

− 40  ≤ Z  ≤ 42 − 40  )

1.5 =   P( 0, 67

1.5 1, 33)

≤ Z  ≤ =   P( Z  ≤ 1, 33) − P( Z  ≤ −0, 67) =   Φ(1, 33) − Φ(−0, 67) =   0, 9082 − 0, 2514 =   0, 6568 ≈ 65, 68 % −

La probabilidad de que un diodo se rompa entre 39 y 42 V es del 65,68%

 

 

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CAPÍTULO 1. DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES

 y

39

40

42

 x

Figura 1.6: Presentación del ejercicio 2. ¿Qué valor valor es tal que sólo 15 % de todos los diodos tengan tengan voltajes voltajes que exc excedan edan ese val valor? or? Para resolver esto decimos que el 15% es un percentil de la distribución normal no estándar entonces podemos decir que   C   es es el valor que vamos a exceder, por consiguiente podemos decir lo siguiente: P( X   > C ) = 0, 15 = P( X  C ) = 0, 85

  ≤≤

Y de ahí podemos despejar C  de la siguiente manera C  =  = n(0, 85) se busca en la tabla el 0.85 es igual a 1.04 y ahora podemos calcular así: C   = =  µ  + (σ )( p(0.85)) C   = =  40 + (1.5)(1.04) C   = =  41, 56

Podemos decir que desde 41,56, solo un 15% de los valores se exceden en este punto, si miramos la simulación podemos ver que aunque no parezca muy claro, si se puede evidenciar un avance del 85% dentro de la distribución. 3. Si se seleccionan seleccionan cuatro diodos diodos independienteme independientemente, nte, ¿cuál es la probab probabilida ilidad d de que por lo menos uno tenga un voltaje de más de 42? Primero Primer o vamos a hacer la probabilida probabilidad d de que X   > 42.

P( X   > 42) =   1

− P( X