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Tarea 3 Jose Alejandro Diaz Medina 23 de septiembre de 2017 Ejercisio 1 Derivadas parciales (Regla de la cadena): La longitud del lado marcado x del triangulo de la gura 1a aumenta a una tasa de 0.3 cm/s, el lado marcado y crece a una tasa de 0.5 cm/s y el angulo incluido aumenta a una tasa 0.1 rad/s. Emplee la regla de la cadena para determinar la tasa a la cual el area del triangulo esta cambiando en el instante x = 10 cm, y = 8 cm y  θ  = 6. h  = 21 senx ⇒ A  = 21 xysenθ dy dA dx dθ = dA + dA + dA dt dx dt dy dt dθ dt dA = 21 ysenθ dx + 21 xsenθ dy + 21 xycosθ dθ dt dt dt dt 1 1 1 dA π π = (8)sen (8) sen (0, (0 , 3) + (10)sen (10) sen (0, (0 , 5) + (8)(10)cos π6 (0, (0,1) 2 6 2 6 2 (8)(10)cos dt dA = 0, 0 ,6 + 1, 1 ,25 + 3, 3 ,46 dt dA 2 = 5, 5 ,31 31cm cm /s dt Ejercisio 2 Derivada direccional: Si  f (  f (x; y ) =  x2 + xy +  xy + y  y 2 − x, encuentre x,  encuentre todos los puntos 1 donde Duf(x; y) en la direccion de u = (√ 2 )(i )(i + j  + j))  es cero. f  = (2x (2 x + y  + y − 1)i 1)i + (2y (2y + x  +  x)) j Duf(x,y)=(2 Duf(x,y)=(2x x + y  + y − 1)i 1)i + (2y (2 y + x  + x)) j ∗ √ 12 )(i )(i + j  + j)) 2x√  +y−1 y +x + 2√  2 2 3x+3 √ y−1 = 0  Para 2

todos los puntos en la linea  3  3x x + 3y 3y  = 1,Duf (x, y)sera sera00

Ejercisio 3 Planos tangentes y rectas normales: Encuentre los puntos sobre la supercie x2 + 4x + y  + y 2 + z 2 − 2z  = 11 11 en  en los cuales el plano tangente es horizontal. f ( f (x,y,z) x,y,z) = (2x (2x + 4)i 4)i + (2y (2y ) j +  j  + (2z (2 z − 2)k 2)k ⇒ x  = −2, y  = 0√  , z  =  c +  c  + 1 2 2 2 2 (−2) + (4)(−2) + 0 + (c (c + 1) − (2c (2c + 2) = 11 ⇒ c = + − 16 ⇒ c  = + − 4 (−2, 0, 5) 5)oo(−2, 0, −3) Ejercisio 4 Extremos de funciones multivariables: Encuentre los extremos relativos de la funcion indicada:

1

f(x,y)= xe x seny f x  =  ex (x + 1)seny fxx    = e x (x + 2)seny fxy   = ex (x + 1)cosy f y  =  xe x cosy fyy   = −xex seny x D = (e (x + 2)seny) ∗ (−xex seny) − (ex (x + 1)cosy)2 D = xe 2 x(2+x)sen2 y − e2 x(x+1)2 cos2 y = e2 x(−xsen2 y(2+x)2 − cos2 y(x+1)2 f x  = 0 ⇒ ex (x + 1)seny = 0 ⇒ ex > 0 ⇒ x = −1, y = π f y  = 0 ⇒ xex cosy = 0 ⇒ ex > 0 ⇒ x = 0, y = π2 P untoscriticos : (−1, π) (0,  π2 ) (−1,  π2 ) (0, π) 2 2 2 2 2 Df (−1,π)  = e x(−xsen y(2 + x) − cos y(x + 1) = 0  No tiene extremos Df (0,  )  =  e2 x(−xsen2 y(2 + x)2 − cos2 y(x + 1)2 =No tiene extremos Df (−1,  )  = e 2 x(−xsen2 y(2 + x)2 − cos2 y(x + 1)2 = e − 2Tiene un extremo Df (0,π)  = e 2 x(−xsen2 y(2 + x)2 − cos2 y(x + 1)2 = −1No tiene extremos f xx (−1,  π2 ) =  e x (x + 2)seny = e − 1 es un minimo f (−1 π2 ) =  xe x seny = −e− 1 El minimo es −e− 1 el maximo ese− 1 π

2

π

2

f(x,y)=e( y2 − 3y + x2 + 4x) f x = e ( y2 − 3y + x2 + 4x)(2x + 4) f xx = e ( y 2 − 3y + x2 + 4x)(2x + 4) 2 + 2e( y2 − 3y + x2 + 4x) =  e ( y2 − 3y + x2 + 4x)[2 + (2x + 4)2 ] f xy  =  e ( y 2 − 3y + x2 + 4x)(2y − 3)(2x + 4) f y  =  e ( y 2 − 3y + x2 + 4x)(2y − 3) f yy = e ( y2 − 3y + x2 + 4x)[2 + (2y − 3)2 ] D = [e( y2 − 3y + x2 + 4x)]2 [2 + (2x + 4)2 ] + [2 + (2y − 3)2 ] − [e( y 2 x2 + 4x)(2y − 3)(2x + 4)] 2 f x  =  e( y 2 − 3y + x2 + 4x)(2x + 4) = 0 x = ( 2 2 f y  =  e y − 3y + x + 4x)(2y − 3) = 0 x = 23  3 Punto critico: ( −2, 2 )

− 3y +

−2

D = 3e( − 50 4  )  > 0tiene extremos 25 ( f xx  = 2e − 4  ) > 0 = es un minimo − 25 f ((−2,  32 )) = e − ( 25 4  )  El extremo minimo es  e ( 4  ) f(x,y)= senx + seny f x  = cosx fxx    = −senx f x  = 0

 

cosx = 0

fxy   =0 x =

π

f y = cosy

f y  = 0

2

cos = 0

Puntos criticos:( π2 ,  π2 ) (− π2 , − π2 ) D( π2 ,  π2 ) = (−senx)(−seny) − 02 = 2tiene extremos D(− π2 , − π2 ) = (−senx)(−seny) − 02 = 2tiene extremos f xx ( π2 ,  π2 ) = −1es un maximo f xx (− π2 , − π2 ) = 1es un minimo 2

fyy    =

−seny

y =

π

2

f ( π2 ,  π2 ) = 2 f (− π2 , − π2 ) = −2 el valor maximo es2 el valor minimo es-2 f(x,y)= senxy f x  = ycosxy fxx    = −y 2 senxy f y  = xcosyx fyy   − x2 senxy f x  = 0 x = 0 Punto critico: (0, 0)

fxy    =  cosxy − senxy(xy)

f y  = 0

y = 0

D = (−y 2 senxy)(−x2 senxy) − (cosxy − senxy(xy)2 = 2xycosxysenxy  − cos2 xy D = −1  0tiene extremos relativos en todos los puntos f xx  = 8Todos los puntos son minimos f (2, 2) = 2 f (2, −2) = −2 f (−2, 2) = −2 f (−2, −2) = 2 Los puntos mas cercanos al origen son =  (2, 2, 2), (2, -2, -2), (-2, 2, -2), (-2, -2, 2)

3

La distancia minima es =

 (2 − 0)

2

√ 

+ (2 − 0)2 + (2 − 0)2 = 12

Ejercisio 6 Extremos de funciones multivariables (Aplicaciones): Encuentre la distancia mnima entre el punto (2; 3; 1) y el plano x+y+z = 1. >En que punto sobre el plano ocurre el mnimo? f (x, y) = (x − 2)2 + (y − 3)2 + (−x − y)2 = 2x2 + 2y 2 − 4x − 6y + 2xy + 13 f x  = 4x + 2y − 4 f xx  = 4 f xy  = 2 f y  = 4y + 2x − 6 f yy  = 4 2 D = (4)(4) − (2) = 12 f x  = 0 ⇒ 4x + 2y − 4 = 0 ⇒ f y = 0 ⇒ 4y + 2x − 6 = 0 ⇒ x = 31 , y = 34 El punto critico es  ( 13 , 34 ) f ( 13 , 34 ) = 2( 13 )2 + 2( 43 )2 − 4( 13 − 6( 43 ) + 2( 13 )( 43 ) + 13 =

25 3

 

25 3

=

La menor distancia entre el plano y el punto es √ 53

Ejercisio 7 Extremos de funciones multivariables (Aplicaciones): El pentagono que aparece en la figura 1b, formado por el triangulo isoceles sobrepuesto sobre un rectangulo, tiene un perimetro fijo P. Calcule x, y y θ   de manera que el area del pentagono sea un maximo. P  = 2x + 2y + 2xsecθ A = 2xy + x2 tanθ y = P  − x − xsecθ sustituir y en el area A = P x − 2x2 (1 + secθ) + xtanθ Ax  =  P  − 4x(1 + secθ) + 2xtanθ Axx  = −4(1 + secθ) + 2tanθ Axθ  = −4xsecθtanθ + 2xsec2 θ Aθ  =  x2 secθ(secθ − 2tanθ) Aθθ  = 2x2 (tanθ − 2sec2 θ + 1) Asumimos que x > 0 Ax  = 0 Aθ  = 0

0≤θ

≤ π2

P  − 4x(1 + secθ) + 2xtanθ = 0x = 2 x secθ(secθ − 2tanθ) = 0θ = π6

√  √ 

p

√ 

4+2 3

√ 

(420 ( 3)−5) √  3 3

− 02 > 0 = Tieneextremos f xx (x0 ,  π6 ) = 2 − 2 3