Tarea 3 Maira Llacho

 

 ^GLZNQPLKFK GF@LIGFH KN PFG FB^P[LG KN FQNV^LUF JF@^H[FK KN LGBNGLNQÃF @LZLH NP@^NHF UQIJNPLIGFH KN LGBNGLNQLF @LZLH

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@ursi? @æh`uhi LL

Fpnhhlkis y Gicarns? Hhf`mi Fqulcf, Cflrf Clrnhhf

@^L?

Ki`ngtn? @ftnkrætl`i Kr. BLHANQ[I UF^H @MNGNF^] BICN_

FQNV^LUF 1516   LAQI OFCNP P[NRFQ [ 60.0. 60.0.: :

 

Kntnrclgn hf higbltuk kn hf `urvf

i 

0 1

1

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∤ ∟ ( 1 t ) +( < ) +¹ ¹ ¹ ¹ 1

1

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∤ ∟ ; +¹ +=6 +0: t ktkt ↑∤ ∟ ( 1 t + < ) ¹ 1

1

6

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∤ 1 tkt +∤ < kt 

 

6

6

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  6> + 12 3;1

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∑slg tl + `is to ∑ tfg d  sn`t 

∑slg tl `is to tfg d   +  ∑ sn`t 

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sn`t 

1

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[ 3∑slg t  `is  `is tl + ` is  o ∑ slg td 

⃒

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∑slg ( 1 t ) l   +6 o ∑5 d 

[ 3

∑slg ( 1 ) l   +  o

⃒

1

1

Gircfh?

 

k [ / kt  3∑ `is ( 1 t ) l + 1`is t  ( ( sng ( t ) ) O ∑`is1 |k [ / kt | ¹ ∑`is ( 1 t ) l∑slg ( 1 t ) O ∑`is (6 ) d  ⃒

1 1 1 |k[ / kt |3 ∟ `is `is (1 t ) + slg (1 t ) + `is ( t ) |kt / kt |3 ∟ 6 + `is ( t )1   `is ( 6 ) d    k [ / kt  ∑ `is ( 1 t ) l slg ( 1 t ) l  G 3 3 ∑ |k [ / kt | ∟ l+ `is ( t )1 ∟ 6 + `is ( t )1 ∟ 6 + `is ( t )1

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

60.0.1> i 

Kntnrclgn hf `urvfturf kn r ( t ) 3( t , t 1 , t 0 ) ng nh pugti( 6,6,6 ) r ( t ) 3⟭ 6,1 t , 0 t  ⟬ r

( t ) 3⟭ 5,1,: t ⟬ |r6 ( t )|3∟ 6 + ; + ¹ 1+ < t ; ¹ 6

1

l 6

r ( t ) . r

66

( t )3 6

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5

66

o d  1 1 1 t    0 t  3: t  l ∑: to + 1 d  1 : t 

|

|r ( t ) . r ( t )|3∟ 0: 0: t  + 0: t  + ;3 1 ∟ < t  + < t  + ¹ ¹ 6

66

¹ 1 ∟ < ( 6 ) + < ( 6 )+ 6 ;

;

1

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1

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6< 6<

2 ∟ 6; 6;

60.0.;= Kntnrclgn his vn`tirns [,G \ A ng nh pugti kfki

i 

⃒

r ( t )3⟭ `is t , slg t , g `is t ⟬ 4 ( 6,5,5 )   Z  kt  [ 3 4 Z   3 3 ⃒

⃒

|Z |

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Z 3 ∑slg tl 4 `is to4 to 4

⃒

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1

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⃒

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  6  ( ∑slg t ) `is t 

(  )  slg t  `is t 

1

|Z |3∟ 6+ tb1

⃒

|Z |3sn`t  60.;.6<   f jug`lðg pisl`l pisl`lðg ðg kn ugf pfrtã pfrtã`uhf `uhf ns hf kfkf pirr ( t )3⟭ t 1 , > t , t 1∑6: t ⟬  ¹Ng quì cicng ti hf rfpl rfplknz knz ns cæxlcf9

i 

Z 3 kr 3 ⟭ 1 t , >,1 t ∑ 6: ⟬ kt  1 t ∑6:3 5 1 t 36: t 3=

⃒

60.;.>1 i 

Kncunstrf r ( t )+ w r ( t ) 35 r ( t )3 f 0=. f. Brfl Brflqun qun hf `urvf nnspf`lf spf`lfhh ttrfzfkf rfzfkf pir nh vn`tir kn pisl pisl`lðg `lðg rr.. a. Iatn Iatngbf gbf hhis is `icpig `icpigngtn ngtnss knh vn`t vn`tir ir vn vnhi` hi`lkf lkfk k

kr . kt 

kr  ng nh pugti t 5 kfki y kntnrc lgn hf n`uf`lðg pfrf hf rn`tf tfgbngtn f kt  hf `urvf ng r ( t 5).

` . @ f h` u h n

k. Brfl Brflqun qun hf rrn`tf n`tf ttfgbngtn fgbngtn oougti ugti `ig hhff `urvf ng nh llgtnrvfh gtnrvfhii kfki. 1

r ( t )3( sngt ∑t`ist ) l + ( `ist + tsngt )  o + t  d , 5 ≫ t ≫ : υ , t 53

0 υ  1

Pihu`lðg? f) Ufrf mf`nr hf bræl`f utlhlzfrncis BniBna rf

kr

a) Iatngbf his `icpigngtns knh vn`tir vnhi`lkfk kr  3¹  3¹ kt 

kt .

 

kr  3(∑tsngt ) l+ ( t`ist )  o + 1 td  kt  kr  ng nh pugti t 5 kfki y kntnrc lgn hf n`uf`lðg pfrf hf rn`tf tfgbngtn f hf kt  `urvf ng r ( t 5).

`) @fh`uhn

kr  3(∑tsngt ) l+ ( t`ist )  o + 1 td  kt  kr 3v ( t )3 (∑ tsngt ) l + ( t`ist )  o + 1 td  kt   sng g t 5 ) l + ( t 5 `is t 5 )  o + 1 t 5 d  v ( t 5 )3( ∑t 5 sn v

v

v

(  ) ( (  )3 (  )3( 0 υ  1

3

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1

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0 υ   0 υ  0 υ    ( `is   )  o + 1 (   ) d  1 1 1

0 υ    l + 5 o + 0 υd  1

0 υ  1

0 υ  1

0 υ    , 5,0 υ ) 1

60.>.0 @fh`uhn hf lgtnbrfh kn h slbulngtn nonr`l`li. ¹0

∤ T t n l +n  o +¹ t d S kt  t 

t 

6

Pihu`lðg?

T∤ S T∤ S T∤ S ¹0

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6

6

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 L 3 T t n ∑n

 L 

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0 0

t 

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l+ T n

S ¹60  o +

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0 n  o

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0 d  t  6

6 d 

60.>.1: Nstfahnz`f hfs slbulngtns priplnkfkns k n hfs jug`ligns vn`tirlfhns lgtnbrfahns. Pihu`lðg?

 

f.

f rnbhf rnbhf kn cÿhtlph cÿhtlphis is ns` ns`fhf fhfrns rns `igstfgt `igstfgtns ns a

a

f

f

`ufhquln qulnrr ns`fhfr ns`fhfr D ) ∤ Dr ( t ) kt 3 D ∤ r ( t ) kt (`ufh  

f rnbhf pfrf gnbftlvis a

a

f

f

3∑∤ r ( t ) kt  ∤ ( ∑r (t ) ) kt 3∑

   

Pn iatlngn `igslknrfgki d3-6 a.

fs r nb nb hhfs fs kn su suc c f y rns rnstf tf a

a

a

∤ ( r ( t ) ¶ r  ( t ) ) kt 3∤ r  ( t ) kt ¶ ∤ r  ( t ) kt  6

1

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f

1

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f rnbhf rnbhf kn cÿhtlph cÿhtlphis is vn`t vn`tirl irlfhn fhnss `igstfgt `igstfgtns ns a

a

f

f

`ufhquln qulnrr vftir vftir `igstfgtn@  `igstfgtn@ ) ∤ @ .r. r ( t ) kt 3@ .∤ r ( t ) kt , (`ufh a

a

r (t ) kt , ( `ufhqulnr vftir vftir `igstfgtn @ )

@ x r ( t ) kt 3@ x

∤ f

60.:.2

∤ f

Ng`ung trn nh kiclgli kn hf jug`lðg vn`tirlfh ∑t 

r ( t )3n l + `ist o + sng 1 t d 

Pihu`lðg? Ng hf `icpigngtn l ∑ t 

n

∑t 7 5 t 8 5

Ng hf `icpigngtn o `ist  t ∍ ⟭∑ ∗ , ∗ ⟬ 3 Q

Ng hf `icpigngtn d sng 1 t  t ∍ ⟭∑ ∗ , ∗ ⟬ 3 Q  Kic r ( t ) 3 Q ∑ {5 } QNUFPI : Ng`ungtrn hf jug`lig vn`tirlfh r(t) qun kns`rlan hf `urvf @ kn lgtnrsn``lig ngtrn hfs supnr`lns kfkfs. Klauon hf `urvf @. Ng`ungtrn nh pfrfcntri lgkl`fki

 

 x + y + z 36 , y 3 x , x 3t  Kntnrclgn sl hf jug`lig vn`tirlfh lgkl`fkf ns `igtlguf ng t 36

r ( t )3sngυtl + tfg υto + `is υt d  Pihu`lig? Ufrf priafr sl ns `igguf knancis kn nvfhufr r(6) ng tikfs hfs `icpigngtns y vnr sl sig `iggufs

r ( 5 ) 3 sng ( υ 5 ) r ( 5 )3 5

r ( 5 ) 3 tfg ( υ 5 ) r ( 5 )3 5 r ( 5 ) 3 `is( υ 5 ) r ( 5 )3 6 Gis pikncis kfr `ungtf qun hf jug`lig gi ns `igguf

QNUFPI 12 [rf`n hf `urvf `ig hf n`uf`lðg vn`tirlfh kfkf. Lgklqun `ig ugf hn`mf hf klrn``lðg ng hf qun sn lg`rncngtf t r ( t )3 ⟭ t  , t  ⟬ 0

1

0

 x 3t 

1

 y 3 t  t 3 5

 x 35 l y 35  p3 ( 5,5 ) ^g pug ti ng hf `urvf snrlf?   unbi kns`rlalcis ugf rn`tf pfrfhnhf f hf `urvf r 3(6,6 )

 

PRID IRPD L - @FUÃ[^ I 6>.;. 6>.;.6= 6= Pnf Pnf r( r(t) t) nh vn vn`t `tir ir kn pisl` pisl`lð lðg g kn ugf ugf pfrt pfrtã` ã`uh uhf f qun qun sn cunv cunvn n ng ug phfg phfgi  i  `iirkngfki. Kntnrclgn hf vnhi`lkfk, hf f`nhnrf`lðg y hf rfplknz kn hf pfrtã`uhf fh  tlncpi t. r ( t )3 1t   l + t   +0 6   o , t 31

PIH^@LIG ' 

r ( t ) 3 v ( t )3 v ( 1 )3

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t 

∑6 1

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( t + 6 )1

6 0

  l∑   o

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 o r ( t )3 0 l ∑ 0 ( t + 6 ) t  ' ' 

6 1

6 ;

r ( 1 )3 l +   o

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PRID IRPD L - @FUÃ[^ I 6>.;. 6>.;.6= 6= @fh`uhn hf `urvfturf kn hf `urvf ng U   x 3 sn sn`` t 4 y 3∟ t 4

PIH^@LIG  j  ( t )3 x ( t )3 sn`t  tfg  tfg t  ' 

' 

j '  ( t )3 sn`t  tfg  tfg t + sn` t  0

' 

' 

b (t )3 y 3 ' ' 

b ( t ) 3

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  ∑6

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0

t  ; t 

j '  t   b' '  t  b'  t  j ' '  t  d 3| ( ) ( ) ∑ ( ) 0( )|

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1

1 1

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(

sn sn`` t  tfg  tfg t  d 3

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t  ; t 

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t  1 ∟ t 

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(  ) )

 ( sn`t  tfg  tfg t ) +

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t  1 ∟ t 

1 0

 

PRID IRPD L - @FUÃ[^ I 6>.>. 6>.>.0 0 Iatngbf jircuhfs bngnrfhns pfrf hfs `icpigngtns tfgbng`lfhns y gircfh kn hf  f`nhnrf`lðg y pfrf hf `urvfturf kn hf hãgnf @ kntnrclgfkf pir r(t). r ( t )3; t l + t   o + 1 t  d  1

1

PIH^@LIG? r '  ( t ) 3 ; l + 1 t o + ; t d  1 1 |v|3 ∟ 6: 6: + ; t  + 6: t 

[ 3

  ; l + 1 t o + ; t d  6: + ; t  + 6: t  ∟ 6: 1

1

r ( t )31 l + ; d 3f ( t ) ' ' 

1  o + ; d  ∑6

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6  ( 6: + ; t 1 + 6: t 1 ) 1 (= t +01 t ) 1

|∟ 

  ; l + 1 t o + ; t d  1

6: 6: + ; t 

+ 6: t 1

|

1  o + ; d  ∑6

 G 3

6  ( 6: + ; t 1 + 6: t 1 ) 1 (= t +01 t ) 1 1 o

= l + 1 t  ∑6

 G 3 = l

(

+ 6: t 1 d 

) (

1   ( = t + 01 t ) t   o + ; 1 1 1 ( 6: + ; t  + 6: t  )

 ) (

 )

1   ( = t + 01 t )   ( = t + 01 t ) t  d  + 6: 1 1 1 1 1 ( 6: + ; t  + 6: t  ) 1 ( 6: + ; t  + 6: t  )

 

PRID IRPD L - @FUÃ[^ I 6>.2. 6>.2.6: 6: @fh`uhn hf `urvfturf kn hf hãgnf ng nh pugti U.  x

 y 3 x n 4 U ( 5.5 )

PIH^@LIG? r ( t )3t l + t n  o t 

r ( t ) 36 l + n ( 6 + t ) o ' 

t 

r ( t )3n + n ( 6+ t ) o ' ' 

t 

t 

|v|3 ∟ 6 + n 1 t (6 +t )1

‚r ( t ) r ' ' (t )‚ d 3 ' 

v

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6 l + n ( 6+ t )  o ( n t 

d 3

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  6+ n

d 3

0 1 t 

n

 l + n ¹ ¹

( ∟ 6 + t )

PIRI PDL ‐ Qnvlsl Qnvlslðg ðg =‐ 60. Hf f`nhnrf`lðg kn ugf pfrtã`uhf ng civlclngti ns?  f ( t )3∟ 1slg 1 slg (t ) l + ∟ 1`is 1 `is ( t )  o υ  Kfki qun hf vnhi`lkfk y hf pisl`lðg kn hf pfrtã`uhf ng t 3  sig ? ;

v

()  υ  ;

3∑l+ o + d 4 r

()  υ  ;

3l + 1 o +

() υ  ;

d 

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0 υ  9  ;

.) Pn lgtnbrfræ hf f`nhnrf`lðg pfrf iatngnr nh vn`tir vnhi`lkfk, y sn lgtnbrfræ nh vn`tir vnhi`lkfk pfrf iatngnr nh vn`tir pisl`lðg. 1 slg ( t ) l + ∟ 1`is 1`is ( t )  o S . kt  ∤ f ( t ) . kt 3∤ T ∟ 1slg

6¹

 

v ( t )3∑∟ 1`is 1 `is ( t ) l + ∟ 1slg ( t )  o + @ 6

Ufrf mfhhfr hf `igstfgtn, sn lbufhf nh kfti kn v

v

()  υ  ;

3∑l + o + d 3∑∟ 1`is 1 `is

()  υ  ;

l + ∟ 1slg 1 slg

( )3∑ + +  υ 

l  o d  `ig  `ig hi iatnglki? 

;

( )+ υ  ;

 o @ 6

ngtig`ns ns ? @  6 ∑l + o + d 3∑l + o + @ 4 ngtig`  63d   Uir hi qun ? v ( t )3∟ 1`is ( t ) l + ∟ 1slg 1 slg ( t )  o + d  1 `is ( t ) l + ∟ 1slg ( t )  o + d  S . kt  ∤ v (t ) . kt 3∤ T ∟ 1`is

1¹

r ( t )3∟ 1slg ( t ) l ∑ ∟ 1`is 1 `is ( t )  o + t d + @  1  1

Ufrf mfhhfr hf `igstfgtn, sn lbufhf nh kfti kn r

()  υ  ;

3l + 1 o +

iatnglki? 

r

()  υ  ;

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l + 1  o +

 υ  ;

() υ  ;

d 3∟ 1slg

(  ) υ  ;

l ∑ ∟ 1`is 1 `is

( ) (  ) +  υ  ;

 o +

( )+

d 3l ∑ o +

 υ  ;

. )  ) Nvfhufgki nh nh vn`tir pisl`lðg pfrf pfrf t 3

r

(  ) (  ) ( 0 υ  ;

0 υ  r ;

3 ∟ 1slg 1 slg

0 υ  0 υ  0 υ  d   o + l + 0∑ ∟ 1`is 1 `is ; ; ;

(   )) (  )

∑ 1 1 3 ∟ 1 ∟  l + 0∑ ∟ 1 ∟   o + 1

3l + ;  o +

(  )

0 υ   ? ;

(  )) (  )

(  ) (

(  ) 0 υ  ;

0 υ  ; d 

(  )

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d  @  1  1 4ngtig`ns ? @ 1 30  o

 Uir hi qun ? r ( t )3∟ 1slg 1slg ( t ) l + ( 0 ∑ ∟ 1`is 1`is ( t ) )  o + t d 

r

υ 

0 υ  d  ;

d  @ 1

() υ  ;

d  `ig hi

 

61.0.61 Ng his priahncfs knh 6 fh =, r ( t ) ns nh vn`tir kn pisl`lðg kn ugf pfrtã`uhf ng civlclngti. Brflqun hf `urvf y his vn`tirns kn vnhi`lkfk y f`nhnrf`lðg ng nh tlncpi lgkl`fki. Ng`ungtrn hf rfplknz ng nsn tlncpi. ;. r ( t ) 31`is ( t ) l + ( 6 + slg ( t ) )   o 4 t 3

υ  0

.) Ufrf `fh`uhfr hf vnhi`lkfk, sn `fh`uhf hf prlcnrf knrlvfkf knh vn`tir pisl`lðg r ( t )?  r ( t ) 3 v ( t )3∑1slg ( t ) l + `is ( t )  o ' 

() ()

υ   υ   υ  6  o 3∑ ∟ 0 l +   o l + `is  Nvfhufgki ng t 3  ? v ( t )3∑1slg 0

0

1

0

.) Ufrf brfl`fr nh vn`tir vnhi`lkfk, sn ticf ng `ungtf nh pugti r

()  υ  0

 y nh pugti y nh 

( ( ) (  ))

 pugti r

 υ  0

+v

υ  0

.) Ufrf `fh`uhfr hf f`nhnrf`lðg, sn `fh`uhf hf snbugkf knrlvfkf kn r ( t  , ), qun ns hf knrlvfkf kn v ( t )?  v ( t ) 3f ( t )3∑1`is ( t ) l ∑slg ( t )  o ' 

() ()

 υ   υ   υ  ∟ 0  o 3∑l ∑   o l ∑slg  Nvfhufgki ng t 3  ? f ( t ) 3∑1`is 0

0

0

.) Ufrf brfl`fr nh vn`tir f`nhnrf`lðg, sn ticf ng `ungtf nh pugti r

nh pugti r  υ  + f υ 

( ( ) (  )) 0

0

1

()  υ  0

 y nh pugti y

 

Kngg ls _lhh ‐ 61.0.1: Ng his nonr`l`lis knh 6 fh ;, nvfhufr nh hãcltn kfki i ngug`lfr qun ìstn gi nxlstn.

T

0

;

>

 S

6.hlc t  l + t   o + t  d  t↑1

.) Pn hhnvf f `fai nh hãcltn lgknpngklngtncngtn lgknpngklngtncngtn ng `fkf pfræcntri kn hf `urvf? 

T

0

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>

0

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>

hlc t  l + t   o + t  d  3 hlc t  l ++ hlc t   o + hlc t  d  t ↑1

T

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T

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>

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0

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>

S

hlc t  l ++ hlc t   o + hlc t  d  31 l + 1  o + 1 d 3 = l + 6:   o + 01 d  t ↑1

t↑1

t ↑1

 Uunkn rnprnsngtfrsn rnprnsngtfrsn `ici ? = ( l + 1 o + ; d )

Kngg ls _lhh ‐ 61.;.1 Ng his priahncfs knh 60 fh 11, brfl`fr hf `urvf trfzfkf pir hf jug`lðg vn`tirlfh qun  sn lgkl`f. 15. r (t )3t l + t   o + t d  0