Tarea 3 Controlador y Observador Sistema MIMO

Tarea 3: Diseño de Controladores y Observadores de Estado para un Sistema MIMO Sea el siguiente proceso multivariable multivariable descrito por las ecuaciones diferenciales:

Donde

  ,

⃛ ̈ ̈  ̇           ⃛ ̈  ̈ ̇                        ̇   ̈    ̇   ̈ 

: las variables de salida;

: las variables de entrada

a) Eligiendo como variable de estado

Representaremos al sistema mediante variables de estado en tiempo continuo y con un muestreador de periodo T=0.04 seg y un retenedor de orden cero, discretizaremos el proceso. Llevando a matrices el siguiente sistema, tendremos:

̇̇           ̇̇               [̇̇ ] [      ] [] [  ]                  [] ̇            

En forma compacta el proceso se puede representar como

El tiempo discreto con muestreador de periodo T=0.04 seg. Las ecuaciones en el espacio de estado se convierten en

             Usaremos el MATLAB para convertir el sistema a Digital y hallar las matrices G y H.

Programa en MATLAB % a) Sistema continuo, luego retenedor de Orden Zero A=[0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;-8 -3 -4 -6 0 -5;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;-7 0 -6 -5 -2 4] B=[0 0 0;0 0 0;8 6 -2;0 0 0;0 0 0;6 8 -3] C=[1 0 0 0 0 0;0 0 0 1 0 0] D=[0 0 0;0 0 0] I=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1] Ts=0.04 [Gd Hd Cd Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,'zoh' Dd]=c2dm(A,B,C,D,Ts,'zoh') )

Respuesta del MATLAB >> Planta_SS Gd = 0.9999 0.0400 0.0008 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0057

0.9976

0.0372 -0.0043

0.0000 -0.0040

-0.2698 -0.1174

0.8728 -0.2033

0.0037 -0.2023

-0.0001 0.0000 -0.0001 0.9999 0.0400 0.0008 -0.0054 0.0001 -0.0048 -0.0039 0.9983 0.0437 -0.2672

0.0091 -0.2427 -0.1895 -0.0912

Hd = 0.0001

0.0001 -0.0000

0.0058

0.0041 -0.0014

0.2738

0.1913 -0.0624

0.0001

0.0001 -0.0000

0.0046

0.0064 -0.0024

0.2235

0.3205 -0.1214

Cd = 1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1.1971

Dd = 0

0

0

0

0

0

De aquí obtenemos las matrices Gd, Hd.

          [                      [  

                                              ]                    ]

b) Mediante el método de ubicación de polos para un sistema multivariable, diseñaremos un controlador en realimentación de estados de ganancia K para que el vector de salida y(kT) siga un vector de referencia r(kT) en estado estacionario corrigiendo el error en estado estacionario mediante una matriz de prealimentación

  



, con la siguiente ley de control

. Las variables de respuesta deben ser moderadas en el tiempo

transitorio y apropiadas en régimen permanente para que las variables de control u(kT) no presenten grandes magnitudes. Vamos a ver si el Sistema es Completamente controlable, esto significa que la matriz de controlabilidad M deberá tener un rango=6.

      Ingresando la ecuación para hallar M en MATLAB tenemos: M=[Hd Gd*Hd Gd^2*Hd Gd^3*Hd Gd^4*Hd Gd^5*Hd] rango_M=rank(M)

El MATLAB nos devuelve: M= Columns 1 through 7

  0.0001 0.0001 -0.0000 0.0005 0.0004 -0.0001 0.0012 0.0058 0.0041 -0.0014 0.0151 0.0100 -0.0032 0.0214 0.2738 0.1913 -0.0624 0.1931 0.1016 -0.0298 0.1260 0.0001 0.0001 -0.0000 0.0004 0.0006 -0.0002 0.0011 0.0046 0.0064 -0.0024 0.0130 0.0195 -0.0074 0.0208 0.2235 0.3205 -0.1214 0.2007 0.3367 -0.1300 0.1922

Columns 8 through 14 0.0008 -0.0003 0.0022 0.0013 -0.0004 0.0032 0.0017 0.0124 -0.0038 0.0253 0.0115 -0.0031 0.0269 0.0074 0.0193 0.0007 0.0681 -0.0612 0.0311 0.0157 -0.1452 0.0017 -0.0006 0.0021 0.0033 -0.0013 0.0034 0.0057 0.0336 -0.0129 0.0286 0.0499 -0.0194 0.0368 0.0695 0.3766 -0.1477 0.1972 0.4426 -0.1756 0.2162 0.5393

Columns 15 through 18 -0.0005 0.0043 0.0018 -0.0005 -0.0013 0.0265 -0.0002 0.0020 0.0633 -0.0346 -0.2380

0.0995

-0.0022 0.0050 0.0089 -0.0035 -0.0271 0.0461 0.0936 -0.0368 -0.2157 0.2505 0.6731 -0.2706

rango_M = 6

Ahora usaremos la matriz aleatoria Ks:

La Matriz

   

             

Usando el siguiente código en Matlab: Ks=[1 -3 4 5 6 -5;4 13 -4 2 -2 4;1 -2 4 0 -3 2] G0=Gd-Hd*Ks m=eig(G0)

Matlab nos devuelve: Ks = 1

-3

4

4

13

-4

1

-2

4

5 2 0

6

-5

-2 -3

4 2

G0 = 0.9996 0.0394 0.0008 -0.0006 -0.0004 0.0001 -0.0267

0.9584

0.0362 -0.0415 -0.0304

0.0110

-1.2463 -1.9074

0.7924 -1.9549 -1.4438

0.5265

-0.0004 -0.0010 0.0002 0.9995 0.0397 0.0009 -0.0332 -0.0741 0.0121 -0.0395 0.9764 0.0458 -1.6515 -3.7303 m= 0.3798 1.2977 + 0.2744i 1.2977 - 0.2744i 0.9625 0.9925 1.0713

0.6311 -1.9481 -1.1555

1.2754

             

Vemos que los valores propios de la matriz

Sea

 son distintos, esto es:

 entonces la matriz

El código en Matlab sería: v=[1 -4 2]' H0=Hd*v

Matlab nos regresa: v= 1 -4 2 H0 = -0.0002 -0.0135 -0.6161 -0.0003 -0.0258 -1.3015 Sean los polos en tiempo continuo:

      En tiempo discreto los polos serán (usando Matlab): s=[-5+5i -5-5i -3+3i -3-3i -10 -12] z0=exp(Ts*s)

Matlab nos regresa: s= -5.0000 + 5.0000i -5.0000 - 5.0000i -3.0000 + 3.0000i -3.0000 - 3.0000i -10.0000

-12.0000

z0 = 0.8024 + 0.1627i 0.8024 - 0.1627i 0.8805 + 0.1062i 0.8805 - 0.1062i 0.6703 Las matrices

     

representan un sistema de simple entrada y con el espectro de polos en lazo

cerrado se obtiene la matriz Luego de hallar

0.6188

.

 hallaremos la matriz deseada de realimentación

   

Código en MATLAB: K0=place(G0,H0,z0) K=Ks+v*K0 eig(Gd-Hd*K)

Matlab nos devuelve: K0 = 37.9981

6.7827 -0.3967 -52.6251 -6.4576 -0.7807

K= 38.9981

3.7827

3.6033 -47.6251 -0.4576 -5.7807

-147.9924 -14.1310 -2.4133 212.5003 23.8306 76.9962 11.5655

3.2066 -105.2501 -15.9153

7.1229 0.4385

ans = 0.6188 0.6703 0.8024 + 0.1627i 0.8024 - 0.1627i 0.8805 + 0.1062i 0.8805 - 0.1062i Entonces la matriz K:

                                            Vemos que los autovalores coinciden con los polos de lazo cerrado propuestos.

La matriz de Prealimentación

 () 

 tiene dimensión 3x2 se determina utilizando la siguiente

representación obtenida en estado estacionario

Con la matriz D=0 se consigue:

La matriz

       

de dimensión 2x3, por lo tanto no es posible despejar la matriz

directamente, entonces se debe determinar la pseudoinversa de la matriz F que viene a ser:



Evaluando en Matlab se obtiene: F=Cd*(I-Gd+Hd*K)^-1*Hd Kr=F'*(F*F')^-1

Matlab nos devuelve: F= 0.1414

0.0299 -0.0027

0.0991

0.0248 -0.0036

Kr = 40.4359 -47.6288 -151.6189 216.5228 67.8678 -96.1976 Entonces tendríamos las matrices F y Kr:

                             Tambien es posible determinar la matriz de realimentación de estados utilizando la función “place” del MATLAB directamente: K=place(Gd,Hd,z0) eig(Gd-Hd*K) F=Cd*(I-Gd+Hd*K)^-1*Hd Kr=F'*(F*F')^-1

MATLAB nos regresa: K= 61.9203 21.3595

4.1105 -30.2407 -15.6371 -4.8131

-35.8564 -10.6509 -2.8546 41.1216 17.9169 19.7899

6.0904

4.8849

1.5170 -19.7836 -8.7956 -2.4373

ans = 0.8805 + 0.1062i 0.8805 - 0.1062i 0.8024 + 0.1627i 0.8024 - 0.1627i 0.6188 0.6703 F= 0.0273

0.0170 -0.0053

0.0242

0.0352 -0.0133

Kr = 62.7100 -29.5970 -35.5946 41.2589 19.7341 -19.7965

c)

Con el diseño de la parte b) graficaremos el vector de Salida y(kT), el vector de estado x(kT) y el vector de control u(kT) ante un vector de referencia r(kT) de un escalon unitario y un vector de estado de tiempo inicial

      

El código en Matlab para obtener la Salidas y(kT) Gr=Gd-Hd*K; Hr=Hd*Kr; Cr=Cd; Dr=[0 0;0 0]; X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]'

.}

N=100; k=0:N-1; [Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N); [Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N); [Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N); Y=(Y1+Y2+Y3); X=(X1+X2+X3); hold off stairs(k*Ts,Y(:,1)) grid on hold on stairs(k*Ts,Y(:,2)) hold on

Matlab nos devuelve el siguiente gráfico:

Para observar los vectores de estado x(kT): Gr=Gd-Hd*K; Hr=Hd*Kr; Cr=Cd; Dr=[0 0;0 0]; X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]' N=100;

k=0:N-1; [Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N); [Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N); [Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N); Y=(Y1+Y2+Y3); X=(X1+X2+X3); hold off stairs(k*Ts,X(:,1)) grid on hold on stairs(k*Ts,X(:,2)) hold on stairs(k*Ts,X(:,3)) hold on stairs(k*Ts,X(:,4)) hold on stairs(k*Ts,X(:,5)) hold on stairs(k*Ts,X(:,6)) hold on

Matlab nos ofrece el siguiente gráfico:

Para la señal de control U:

La respuesta del sistema usando el K usando la función “place”:

El código en Matlab para obtener la Salidas y(kT) Gr=Gd-Hd*K; Hr=Hd*Kr; Cr=Cd; Dr=[0 0;0 0]; X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]' N=100; k=0:N-1; [Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N); [Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N); [Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N); Y=(Y1+Y2+Y3); X=(X1+X2+X3); hold off stairs(k*Ts,Y(:,1)) grid on hold on stairs(k*Ts,Y(:,2)) hold on

Matlab nos devuelve el siguiente gráfico:

Para observar los vectores de estado x(kT) : Gr=Gd-Hd*K; Hr=Hd*Kr; Cr=Cd; Dr=[0 0;0 0]; X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]' N=100; k=0:N-1; [Y1,X1]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,1,N); [Y2,X2]=dstep(Gr,Hr,Cr,Dr,2,N); [Y3,X3]=dinitial(Gr,Hr,Cr,Dr,X0,N); Y=(Y1+Y2+Y3); X=(X1+X2+X3); hold off stairs(k*Ts,X(:,1)) grid on hold on stairs(k*Ts,X(:,2)) hold on stairs(k*Ts,X(:,3)) hold on stairs(k*Ts,X(:,4)) hold on

stairs(k*Ts,X(:,5)) hold on stairs(k*Ts,X(:,6)) hold on

Matlab nos ofrece el siguiente gráfico:

Para la señal de control U:

d) Diseñaremos un observador de estados de ganancia Ke usando el método de reubicación de polos para que la dinámica o respuesta de estimación sea lo suficientemente rápida respecto del controlador diseñado en (b). Hallamos en primer lugar la matriz de observabilidad N, lo cual ayudándonos del MATLAB nos da una matriz de orden 6, por tanto la observabilidad del sistema es completa. Sean los polos ubicados en el plano S para el observador:

      El código en MATLAB es: %Matriz de Observabilidad N=[Cd;Cd*Gd;Cd*Gd^2;Cd*Gd^3;Cd*Gd^4;Cd*Gd^5] rank(N) se=[-20+4i -20-4i -16+6i -16-6i -30 -40] ze=exp(se*Ts)

MATLAB nos devuelve: >> observador N= 1.0000 0

0 0

0 0

0

0

0

1.0000

0

0

0.9999 0.0400 0.0008 -0.0001 0.0000 -0.0001 -0.0001 0.0000 -0.0001 0.9999 0.0400 0.0008 0.9994 0.0797 0.0029 -0.0004 0.0000 -0.0004 -0.0006 0.0000 -0.0005 0.9996 0.0798 0.0036 0.9982 0.1192 0.0064 -0.0014 0.0000 -0.0015 -0.0019 0.0001 -0.0018 0.9987 0.1193 0.0088 0.9961 0.1580 0.0111 -0.0029 0.0002 -0.0036 -0.0045 0.0003 -0.0043 0.9968 0.1582 0.0169 0.9931 0.1961 0.0172 -0.0053 0.0004 -0.0072 -0.0088 0.0008 -0.0087 0.9939 0.1962 0.0289 ans = 6 se = -20.0000 + 4.0000i -20.0000 - 4.0000i -16.0000 + 6.0000i -16.0000 - 6.0000i -30.0000

-40.0000

ze = 0.4436 + 0.0716i 0.4436 - 0.0716i 0.5122 + 0.1253i 0.5122 - 0.1253i 0.3012

0.2019

Los polos en el plano Z resultan ser:

     

La ganancia Ke del observador la determinaremos usando el algoritmo del diseño del controlador para sistemas multivariables teniendo en cuenta el criterio de “Sistema Dual”. Para esto es necesario usar las matrices

  

 del sistema original.

La matriz Kes arbitraria para el sistema dual de dimensión 2x6 es:

La matriz

   

       :

Usando el Matlab: Kes=[2 50 5 0 1 -1;1 3 40 0 -1 4] Ge0=Gd'-Cd'*Kes m=eig(G0)

El Matlab no regresa: Kes = 2

50

5

0

1

-1

1

3

40

0

-1

4

Ge0 = -1.0001 -50.0057 -5.2698 -0.0001 -1.0054

0.7328

0.0400 0.9976 -0.1174 0.0000 0.0001 0.0091 0.0008

0.0372

0.8728 -0.0001 -0.0048 -0.2427

-1.0001 -3.0043 -40.2033

0.9999

0.9961 -4.1895

0.0000 0.0000 0.0037 0.0400 0.9983 -0.0912 -0.0001 -0.0040 -0.2023 0.0008 0.0437 1.1971 m= 0.3798 1.2977 + 0.2744i 1.2977 - 0.2744i 0.9625 0.9925 1.0713

Por tanto la Matriz :

    [

    

Los valores propios de la matriz

      

   

   

 son distintos, por lo tanto la matriz Kes es v álida. El vector v de

transformación a un sistema de una entrada puede ser:

La matriz

La matriz

   

   numericamente es:

v=[-1 2]' C0=Cd'*v Ke0=place(Ge0,C0,ze) Ke=Ks+v*Ke0

El MATLAB nos regresa: v= -1 2 C0 = -1 0 0 2

                           

 de realimentación para el sistema univariable

El código en MATLAB será:

        ]

 es:

0 0 Ke0 = -0.4777

3.3170 -51.6385

0.5867

8.8016 74.2686

Ke = 2.4777 46.6830 56.6385 -0.5867 -7.8016 -75.2686 0.0446

9.6339 -63.2770

1.1734 16.6031 152.5372

Por lo tanto la matriz de ganancia multivariable se obtiene como:

                [  ]

del estimador u observador de estados

Aplicando la función “place” del MATLAB se obtiene Ke=place(Gd',Cd',ze)

El MATLAB regresa: Ke = 1.5758 17.3814 51.7124

0.0199 -0.4734 -34.0778

-0.2203 -7.7137 -132.5347

2.0753 33.8543 319.8262

   ̃      

e) Con diseño del observador de estados de la parte d) graficaremos el vector de error entre el vector de estado real

 y el vector de estado estimado

un vector de estado real de tiempo inicial el vector de estado estimado inicial nulo.

El Código en MATLAB para los gráficos sería: X0=[-0.2 0.05 0 0.2 -0.05 0]'; N=20; k=0:N-1; e0=X0;

 considerando

 y

e(:,1)=[0 0 0 0 0 0]; e(:,2)=(Gd-Ke'*Cd)*e0; for i=2:19 e(:,i+1)=(Gd-Ke'*Cd)*e(:,i); end hold off plot(k*Ts,e(1,:)) grid on hold on plot(k*Ts,e(2,:)) hold on plot(k*Ts,e(3,:)) hold on plot(k*Ts,e(4,:)) hold on plot(k*Ts,e(5,:)) hold on plot(k*Ts,e(6,:)) hold on

El Matlab nos regresa el siguiente Gráfico:

El gráfico que nos da el MATLAB usando la función “place”: