Tarea 3 Calculo-1
February 21, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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TEMATICA 1 Áreas entre curvas. a. Utilice GeoGebra para realizar las gráficas de las curvas y = e2 x y y =− x2 + 4 en el mismo plano cartesiano.
Hallar los puntos donde se intersecan (con tres cifras decimales de aproximación). Describir la integral que determina el área entre las dos curvas y solucionarla paso a paso.
Limites con base a y: 0≤ y≤4
Limites con base a x:
−2 ≤ x ≤ 0.63
Se debe usar la fórmula integral de áreas: b
∫ ( f (( x )− g ( x ) ) dx
A =
a
f (( x )=− x + 4 2
g ( x )=e
2 x
Primer análisis: 2 x
∫
4
4
4 2
A = 0 ( e −(− x +
2 x
4
2
4
) ) dx =∫ ( e + x − ) dx =∫ e 0
0
4
4 2 x
2
∫
4
∫
dx + ¿ 0 x dx − 0
dx ¿
1
2 x
A = e 2
A =
1 2
1 4 1 34 + x −4 x 4 = ¿ 0 2 0 3 0
( e −e ) + 1 ( 4 ) −4 ( 4 ) = 1 ( e −1 ) + 1 ( 64 )−16 = 1 e − 1 + 64 −16 8
0
3
8
3
2
1
3
29
8
A = e + 2
8
6
2
2
3
2
≈ 1495.3 u
Segundo análisis:
A =
−1 3
3
x
0.63
0.63
∫ (− x +4 −e ) dx =− ∫ x dx + ∫ 4 dx− ∫ e 2 x
2
2 x
2
−2
−2
−2
A =
0.63
0.63
0.63
1
+ 4 x 0.63 − e x 0.63 = −2 −2 2 −2 2
−1 3
dx
−2
( ( 0.63 ) − (−2 ) ) +4 ( 0.63−(−2 ) ) − 1 ( e 3
3
(
2 0.63
2
A =1494.8 u
2
Análisis final: final:
Para buscar los puntos de intersección se aplica el método de igualación asi:
f (( x )= g ( x ) 2 x
e = 4 − x 2
2
2 x
x + e −4 =0
Los valores de x de las intersecciones son (-1, 995; 0, 639) 2. (− 1 , 995 )
f ((−1 , 995 ) =e
=0,018
El punto de intersección es (-1,995;0.018)
Ahora introducimos introducimos 0,639 en la función: función:
f ( 0,639 )=e 2. (0,639 )= 3,591
El punto de intersección ahora es: (0,639;3,591)
Calculamos la diferencia d(x)=f(x)-g(x)
e −( 4 − x 2 x
2 x
2
2
e + x −4 Los puntos (-1,995;0.018) y (0,639;3,591)
)
)
−e
2
( − 2)
)
Temática 2 – Sólidos de revolución. a. Determinar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de y = 2 x + 5, y y = x 2 + 2 x + 1 alrededor del eje x=2.
Se debe aplicar la formula del volumen. b
∫ π |(f (( x )) −( g ( x )) |dx 2
V =
2
a
Remplazamos los valores 2
∫ π |(2 x + 5) −( x + 2 x +1 ) |dx 2
2
2
−2 2
∫|4 x +20 x +25−( x + 4 x +1 + 4 x + 2 x +4 x )|dx 2
π
4
2
3
2
−2 2
∫|4 x +20 x +25− x −4 x −1−4 x −2 x − 4 x ¿|dx 2
π
4
2
3
2
−2
2
∫|− x −4 x −2 x + 16 x +24|dx 4
π
3
2
−2 2
4
3
2
∫|∫− x ∫ −4 x ∫ −2 x +∫ 16 x +∫ 24|dx
π −2
|
5 3 4 − x 2 x − x − + 8 x 2 + 24 x ) π ∫ (
5
3
2 −2
π ¿
Simplificamos la expresión y el resultado es: 1088 π =227.87019 15
Temática 3 – Longitud de arco y Teorema del valor medio.
Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: 2
a. Determine el valor medio de la función f ( ( x )=( x − 3 ) en el intervalo [2,5]. Se aplica la formula de promedio de función.
f avg=
1
b −a
b
∫ f (( x ) dx a
5
∫ ( x x −3 )
2
dx
2
3
Damos solución a la expresión. 2
6
9
∫
x − 3 x + dx
∫
x −6 x + 9
∫
x −6 x + 9
2
2
(
3
3
−3 x 2+ 9 x 5 2
) |
3
Se remplaza la x por los dos intervalos.
(
3
5
3
2
−3 (5 ) + 9 ( 5 ) 3
dx
3
Se calcula la integral definida. x
dx
3
)− (
3
2
3
2
−3 (2 ) + 9 ( 2) 3
Se resuelven las operaciones y se simplifica. 125 3
8
−30
− 33
3 35 9
+6
− 1
26 9
)
Temática 4 – Aplicaciones de las integrales. a.
Un verano húmedo y cálido causa una explosión en la población de mosquitos en un área lacustre de descanso. El número de mosquitos se incrementa a una rapidez estimada de (t )= )= 2200 + 10 e 0.8 t por semana (donde t se mide en semanas). ¿En cuánto se incrementa la población de mosquitos entre las semanas quinta y novena del verano? f ( ( t )=2200 + 10 e
0.8 t
5≤x ≤9
0.8 =
P
4 5
∫ ( 2200+10 e 9
m=
) dt
4 t 5
5
Se integra por separado.
∫(
4
10 e
t
5
dt )= u=
∫e
10
4 t 5
4 t 5
dt
4
du = dt 5
5 4 5 10. 4
50
u
∫ e du = 4
∫ (2200 +10 e 9
4 t 5
5
du =dt
u
25
4 t 5
e=2 e
) dt =2200 t + 2 e 25
4 t 5
]
9 5
Se aplica el teorema fundamental del cálculo.
¿
[(
( )+
2200 9
25 2
( )
4 9
e
5
)(
− 2200 ( 5 ) +
25 2
( )
4 5
e
5
)]
¿ ( 19800 + 16742,8 )−( 11000 + 682,4 ) ¿ 36542,8−11682,4 Pm= 24860,4 mosquitos
La población total de mosquitos entre la semana 5 a la 9 está estimada en 24860 mosquitos.
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