Tarea 3 Calculo-1

 

TEMATICA 1 Áreas entre curvas. a. Utilice GeoGebra para realizar las gráficas de las curvas   y = e2 x  y  y =− x2 + 4 en el mismo plano cartesiano.

 

Hallar los puntos donde se intersecan (con tres cifras decimales de aproximación). Describir la integral que determina el área entre las dos curvas y solucionarla paso a paso.



Limites con base a y: 0≤ y≤4



Limites con base a x:

−2 ≤ x ≤ 0.63 

Se debe usar la fórmula integral de áreas: b

∫ ( f   (( x )− g ( x ) ) dx

 A =

a

f   (( x )=− x + 4 2

g ( x )=e 

2 x

Primer análisis: 2 x

∫

4

4

4 2

 A = 0 ( e −(− x +

2 x

4

2

4

) ) dx =∫ ( e + x − ) dx =∫ e 0

0

4

4 2 x

2

∫

4

∫

dx + ¿ 0  x dx − 0

dx ¿

 

1

2 x

 A = e 2

 A =

1 2

1 4 1 34 +  x −4 x 4 = ¿ 0 2 0 3 0

( e −e ) + 1 ( 4 ) −4 ( 4 ) = 1 ( e −1 ) + 1 ( 64 )−16 = 1 e − 1 + 64 −16 8

0

3

8

3

2

1

3

29

8

 A = e + 2



8

6

2

2

3

2

≈ 1495.3 u

Segundo análisis:

 A =

−1 3

3

 x

0.63

0.63

∫ (− x +4 −e ) dx =− ∫  x dx + ∫ 4 dx− ∫ e 2 x

2

2 x

2

−2

−2

−2

 A =

0.63

0.63

0.63

1

+ 4 x 0.63 − e  x 0.63 = −2 −2 2 −2 2

−1 3

dx

−2

( ( 0.63 ) − (−2 ) ) +4 ( 0.63−(−2 ) ) − 1 ( e 3

3

(

2 0.63

2

 A =1494.8 u

2

 Análisis final: final: 

Para buscar los puntos de intersección se aplica el método de igualación asi:

f   (( x )= g ( x ) 2 x

e = 4 − x 2

2

2 x

 x + e −4 =0 

Los valores de x de las intersecciones son (-1, 995; 0, 639) 2. (− 1 , 995 )

f   ((−1 , 995 ) =e

=0,018

El punto de intersección es (-1,995;0.018) 

 Ahora introducimos introducimos 0,639 en la función: función:

f  ( 0,639 )=e 2. (0,639 )= 3,591

El punto de intersección ahora es: (0,639;3,591) 

Calculamos la diferencia d(x)=f(x)-g(x)

e −( 4 − x 2 x

2 x

2

2

e + x −4 Los puntos (-1,995;0.018) y (0,639;3,591)

)

)

−e

2

( − 2)

)

 

Temática 2 – Sólidos de revolución. a. Determinar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por las gráficas de  y = 2 x + 5, y  y = x 2 + 2 x + 1 alrededor del eje x=2.



Se debe aplicar la formula del volumen. b

∫ π |(f   (( x )) −( g ( x )) |dx 2

V =

2

a



Remplazamos los valores 2

∫ π |(2 x + 5) −( x + 2 x +1 ) |dx 2

2

2

−2 2

∫|4 x +20 x +25−( x + 4 x +1 + 4 x + 2 x +4 x )|dx 2

π 

4

2

3

2

−2 2

∫|4 x +20 x +25− x −4 x −1−4 x −2 x − 4 x ¿|dx 2

π 

4

2

3

2

−2

2

∫|− x −4 x −2 x + 16 x +24|dx 4

π 

3

2

−2 2

4

3

2

∫|∫− x ∫ −4 x ∫ −2 x +∫ 16 x +∫ 24|dx

π −2

 

|

5 3 4 −  x 2 x − x − + 8 x 2 + 24 x ) π ∫ (

5

3

 2 −2

π ¿ 

Simplificamos la expresión y el resultado es: 1088 π =227.87019 15

Temática 3 – Longitud de arco y Teorema del valor medio.

Consultar en el entorno de aprendizaje el siguiente recurso: 2

a. Determine el valor medio de la función f  ( ( x )=( x − 3 )  en el intervalo [2,5]. Se aplica la formula de promedio de función. 

f avg=

  1

b −a

b

∫ f   (( x ) dx a

 

5

∫ ( x x −3 )

2

dx

2

3 

Damos solución a la expresión. 2



6

9

∫

 x − 3 x + dx

∫

 x −6 x + 9

∫

 x −6 x + 9

2

2

(

3

3

−3 x 2+ 9 x 5 2

)  |

3

Se remplaza la x por los dos intervalos.

(

3

5

3

2

−3 (5 ) + 9 ( 5 ) 3



dx

3

Se calcula la integral definida.  x



dx

3

)− (

3

2

3

2

−3 (2 ) + 9 ( 2) 3

Se resuelven las operaciones y se simplifica. 125 3

8

−30

− 33

3 35 9

+6

− 1

26 9

)

 

Temática 4 – Aplicaciones de las integrales. a.

Un verano húmedo y cálido causa una explosión en la población de mosquitos en un área lacustre de descanso. El número de mosquitos se incrementa a una rapidez estimada de (t )= )= 2200 + 10 e 0.8 t  por semana (donde t se mide en semanas). ¿En cuánto se incrementa la población de mosquitos entre las semanas quinta y novena del verano? f  ( ( t )=2200 + 10 e

0.8 t 

5≤x ≤9

0.8 =

 P

4 5

∫ ( 2200+10 e 9

m=

) dt 

4 t  5

5



Se integra por separado.

∫(

4

10 e

 t 

5

dt )= u=

∫e

10

4 t  5

4 t  5

dt 

 

4

du = dt  5

5 4  5 10. 4

50

u

∫ e du = 4

∫ (2200 +10 e 9

4 t  5

5



du =dt 

u

25

4 t  5

e=2 e

) dt =2200 t + 2 e 25

4 t  5

]

9 5

Se aplica el teorema fundamental del cálculo.

¿

[(

( )+

2200 9

25 2

( )

4 9

e

5

)(

− 2200 ( 5 ) +

25 2

( )

4 5

e

5

)]

¿ ( 19800 + 16742,8 )−( 11000 + 682,4 ) ¿ 36542,8−11682,4  Pm= 24860,4 mosquitos

La población total de mosquitos entre la semana 5 a la 9 está estimada en 24860 mosquitos.