tarea 3 2010B

TAREA 3 1.- Un problema importante en la ingeniería civil estructural es determinar las fuerzas y reacciones asociadas con una estructura estáticamente determinada. En la figura se muestra un ejemplo de este tipo de estructuras: 1000 lb

1 F1

30º

F3

90º

2

3 F2 V2

V3

Las fuerzas F representan, ya sea la tensión o la comprensión de los elementos de la estructura. Las reacciones externas H2, V2, y V3 son fuerzas que caracterizan como interactúa la estructura con la superficie de soporte. El apoyo en el nodo 2 puede permitir ambas fuerzas, horizontal y vertical a la superficie, mientras que el rodillo en el nodo 3 transmite solo fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa de 1000 lb se distribuye a lo largo de varios elementos de la estructura. 2.- Una armadura es una estructura que se utiliza para soportar cargas como en puentes o edificios. La armadura esta integrada en su totalidad por miembros rectos dispuesto de modo que forman un o mas triángulos dando estabilidad a la estructura; como se muestra la figura. La armadura a analizar consta de seis articulaciones (nodos) y nueve miembros. La fuerza que actúan en cada articulación se resuelve en sus componentes x y. Las fuerzas que actúan sobre la armadura están indicadas a lo largo de cada uno de los miembros. Se considera que la fuerzas actúan hacia el centro del miembro lejos de la articulación. Hay nueve fuerzas en los miembros. Al hacer cero todas las fuerzas que actúan horizontal o verticalmente en cada una de las articulaciones es posible escribir un sistema de ecuaciones de 9 * 9 para encontrar su valor.

1000 ton

F4 F1

F3 F2

F5

500 ton F7

F6

F9 F8

Sistema de ecuaciones Cos 45º F1 – F4 – cos 30º F5 = 0 Sen 45º F1 + F3 +Sen 30º F5 = -1000 F2 – F6 = 0 -F3 = 0 F4 – Sen 45º F9 = 500 F7 + Cos 45º F9 = 0 Sen 30 F5 + F7 = 500 F8 + Cos 45 F9 = 0 3.- Se tiene la siguiente red eléctrica

donde la fuente E1 tiene una resistencia interna de 5Ω, E2 una resistencia interna de 4Ω , y E3 una resistencia interna de 5Ω. Encuentre la magnitud y dirección de las corrientes que pasan por cada elemento de la red, incluyendo fuentes y resistencias internas.

4. La ecuación de Laplace nos modela el fenómeno de conducción de calor en un cuerpo, la cual es una ecuación diferencial parcial de segundo orden con la forma: δ2T δ2T δ2T δ T ------- + ------- + -------- = -------δy 2 δz 2 δt δx 2 si resolvemos esta ecuación en el estado estacionario, para una placa de espesor pequeño, es decir, en dos dimensiones, nuestro problema se convierte en:

δ2T δ2T ------- + ------- = 0 δy 2 δx 2 la cual puede convertirse en un sistema algebraico al aplicar en cada una de las derivadas una aproximación numérica, este procedimiento se conoce como método de diferencias finitas, la ecuación general que nos queda es la siguiente T i j-1 - 2 T I j + T I j+1 T i-1 j - 2 T I j + T I+1 j ------------------------- + ------------------------- = 0 (∆ x )2 (∆ y )2 si escogemos ∆x y ∆y de tal forma que sean iguales, el problema se convierte en: T i-1 j + T I+1 j - 4 T I j + T i j-1 + T I j+1 = 0 lo cual se interpreta como que, la temperatura en un punto cualquiera de la placa se puede calcular como el promedio aritmético de las cuatro temperaturas adyacentes.

j+1 j j–1

i–1

i

Pero para obtener un buen mapeo es necesario tomar un gran numero de nodos, es decir, unos valores muy pequeños de ∆x y de ∆y. Esto origina el formar sistemas lineales de gran tamaño, varios cientos de ecuaciones con varios cientos de incógnitas.

i+1

Resolver el problema de conducción de calor en un placa, en estado estacionario, para el siguiente diagrama T = 50 ° C

j = 18

T=0°C

j=0

i=0

T = 100

T = 200 ° C

i = 42