Tarea 2
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Funciones crecientes y decrecientes
a) Supón que la función f (p) siguiente representa el crecimiento de la población mexicana. Señala si la función es cóncava, convexa, creciente o decreciente. ¿Por qué?
Empezaremos Empezaremos con la definición de función cóncava y convexa. Función Concava. Diremos que una función f es estrictamente concava en un conjunto M convexo si
todo segmento que une dos puntos de la gráfica está estrictamente estrictamente por debajo de la gráfica. Función Convexa. Sea f una función definida en un intervalo de R, diremos que dicha función es convexa
en el intervalo si todo segmento que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica. Si siempre queda estrictamente por encima decimos que la función es estrictamente convexa. Como se aprecia en la figura, todo segmento que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica, por lo tanto, por definición la función es convexa. Por otro lado, la función es creciente porque claramente se ve aprecia que en el intervalo que la comprende para cualquier elección de x1 y x2 en este intervalo, con x 1 < x2 tenemos f(x1) < f(x2).
Problemas útiles, 34 y 32
b)
Dada la función siguiente, z = 2x3 – 9x2 + 12x – 3, indica si en los puntos siguientes es creciente o decreciente:
• Cuando x ≤ 1 • Cuando 1≤ x ≤ 2 • Cuando x ≥ 2
Primero se obtuvieron los valores de f(x) para los rangos de interés x
f(x)
-5
-538
-4
-323
-3
-174
-2
-79
-1 0
-26 -3
1
2
2
1
3
6
4
29
5
82
6
177
7
326
Y se graficaron
Gráfica 400 300 200 100 0 -100 -200 -300 -400 -500 -600 -6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Tanto en la tabla de datos como en la gráfica de la función, se aprecia que • Cuando x ≤ 1. Es creciente • Cuando 1≤ x ≤ 2. Es decreciente y • Cuando x ≥ 2. Es creciente.
c) Muestra si las funciones siguientes son cóncavas o convexas: 3
x + 2x + 3
• •
4x2 + 2x + 2
La función x 3+ 2x + 3 tiene un intervalo cóncavo y otro convexo.
Para determinarlo procedemos de la siguiente manera:
1.- Hallamos la derivada segunda y calculamos sus raíces. f(x) = • x3+ 2x + 3
f''(x) = 6x 6x = 0 x = 0. 2.-Realizamos la derivada tercera, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada segunda y si: f'''(x) ≠ 0 Tenemos un punto de inflexión.
f'''(x) = 6 Será un punto de inflexión.
3.- Calculamos la imagen (en la función) del punto de inflexión. f(0) = (0) 3 + 2(0) + 3 = 3
Punto de inflexión (0,3).
Tabla y grafica de esta función
x
f(x)
-7
-354
-6
-225
-5
-132
-4
-69
-3
-30
-2 -1
-9 0
0 1
3 6
2
15
3
36
4 5
75 138
6 7
231 360
400 300 200 100 0 -100 -200 -300 -400 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Por lo tanto de x ≤ 0 la función es cóncava y de x ≥ 0 es convexa.
La función 4x2 + 2x + 2 es convexa, por definición, ya que todo segmento que une dos puntos de la gráfica queda por encima de la gráfica
x
f(x)
-7
184
-6
134
-5
92
-4
58
-3
32
-2 -1
14 4
0 1
2 8
2
22
3
44
4
74
5
112
6
158
7
212
250
200
150
100
50
0 -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
d) Señala si los siguientes enunciados son verdaderos (V) o falsos (F): • f ´( x ) ≥ 0 en (a,b)⇔ f ( x ) es creciente en (a,b). F • Una función es cóncava si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función no está nunca por encima de la gráfica. V • Una función es convexa si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función no está nunca por encima de la gráfica. F • Una función f es convexa en el intervalo L si para todo, a, b ∈ L y todo λ ∈ (0,1) se tiene que f ((1-λ)a + λb) ≤ (1 - λ) f (a) + λ f (b). F • Una función f es convexa si - f es cóncava. F
Aplicaciones a la economía: primera parte
Dado y = 5u2 + 8v, encuentra las derivadas parciales /, / (Cuando derive parcialmente con respecto a u deberás tomar a v como constante, y cuando derive parcialmente con respecto v, u se tomará como constante. Ejemplo =10)
Dada la función Q = KαL1-α encuentra las derivadas parciales /, / (Nota: esta función se conoce con el nombre de Cobb-Douglas y es muy empleada para medir productividades entre sectores. Hay muchos trabajos empíricos donde se utiliza este tipo de funciones.)
Para f(J, K, L) = AJ aKbLc muestra que JFJ + Kf K + Lf L = (a + b + c)f. Con A, a, b y c constantes.
Dada la función de costo total C = Q3 – 3Q2 + 6Q + 15, desarrolla una función de costo variable (CV). Encuentra la derivada de la función CV e interpreta su significado económico.
La función definida por f(x, y) = -2x – 2xy – 2y + 36x + 42y – 158 para todo ( x, y ) tiene un máximo. Encuéntrala. (Pista: para encontrar el máximo deberá derivar la función parcialmente con respecto a x y 2
2
con respecto a y , y en ambos casos igualar a cero y despejar cada variable.)
=5
La función de costos de una determinada empresa es la siguiente: =1/1002−10+1/3003−9+20,600 Demuestra que los valores que minimizan el costo son: x=500, y=30. (Pista: para hacer la demostración deriva parcialmente por x e y e iguala a cero. Es fácil comprobar que se trata de un mínimo.)
Los beneficios anuales (en millones de pesos) de una empresa están dados por: 2
2
Π(x, y) = -x – y + 22x + 18y - 102
Donde x es la cantidad invertida en investigación (en millones de pesos), y es el gasto en publicidad (también en millones de pesos). a) Encuentra los beneficios cuando x = 10, y = 8 y cuando x = 12, y = 10.
b) Encuentra los valores de x e y que maximizan los beneficios, junto con el beneficio correspondiente x y.
Una empresa produce dos tipos distintos (A y B) de un bien. La función de costos de producir x unidades de A e y unidades de B es: C(x, y) = 0.04x 2 + 0.01xy + 0.01y 2 + 4x + 2y + 500 Supón que la empresa vende toda su producción a un precio unitario de 15 pesos para el tipo A y 9 para el tipo B. Encuentra los niveles de producción x e y que maximizan el beneficio. (Pista: deberás derivar parcialmente el beneficio, Px * x + Py * x – C(x,y), con respecto a x y con respecto a y . En ambos casos deberás igualar a cero y despejar.)
Si y = u2 + 2u, con u = 6 x , encuentra
mediante
Si y = (5x 2 + 2)2, encuentra mediante la regla de la cadena.
la regla de la cadena.
Aplicaciones a la economía: segunda parte
Resuelve los siguientes ejercicios calculando lo que se pide: 1. Si se depositan $150 dólares en una cuenta de ahorro que gana un interés anual del 5% capitalizada continuamente, ¿cuál será el valor de la cuenta al paso de 4 años?
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