Tarea 2 Ecuaciones No Lineales

 

Tarea No 2 Ecuaciones No Lineales Métodos Numéricos Profesora: Grecia Elizabeth Vásquez  Alumno: Carmona Jiménez Josué Problema 1  Calcule el volumen específco molar del metano a 200oC para los valores de presión dados en la siguiente tabla: P

50

55

58

62

65

70

77

83

87

94

96

99

100

120

V

La presión está dada en atm y el volumen en lt. Ulice la ecuación de estado de Gas Ideal como valor inicial y luego encuentre el volumen ulizando para ello la ecuación de estado de Van der Waals:

 P +   a2 (V −b )= RT ………..Ec. 1 V 

(

)

con los valores de n = 1mol, R= 0.08205 atm*L/mol*K a=2.2732 L2*atm/mol2  y b=0.04306 L/mol Use el método de Newton-Raphson con un numero máximo de iteraciones de 10 y ξ= 1.0E-4. Solución:

Primero acomodamos la ecuación desarrollando las operaciones

 a ab  PV − Pb +  − 2 = RT ………….Ec. 2 V  V 

Mulplicamos por V2 para simplifcar la ecuación obtenida

(

)

 a ab 2  PV − Pb +  −   2 = RT  ∗V  ………..Ec. 3 V  V 

Obtenemos la siguiente ecuación 3

2

2

 P V  − Pb V  + aV −ab = RT V  …………..Ec. 4 Acomodando la ecuación e igualando la (x)=0 tenemos

f  ( ( x )= P V  −V  ( Pb + RT )+ aV −ab =0………….Ec. 5 3

Derivando la Ec 5 tendríamos

2

 

f ' ( x )=3 P V  −2 V ( Pb + RT )+ a =0………Ec 6 2

Antes de sustuir las ecuaciones 5 y 6 en el metodo de Newton-Raphson calculamos en Vinicial para cada uno de los valores de presión dados en la tabla con la ecuación de gas ideal despejada para V PV=nRT

→

V=nRT/P

Tabla de Resultados para V inicial de cada presión sin el metodo de Newton-Raphson P

50

55

58

62

65

70

77

83

87

94

96

99

100

120

V

0.776 4

0.705 9

0.669 3

0.626 2

0.597 3

0.554 6

0.504 2

0.467 7

0.446 2

0.413 0

0.404 4

0.392 1

0.388 2

0.323 5

Sustuyendo los valores conocidos para la primera presión V=1mol*( 0.08205 atm*L/mol*K)473.15K/50atm V=0.7764

Ahora sustuimos (x), ’(x) y el valor de V obtenido la cual será V inicial en el método de NewtonRaphson

V final =V inicial−

f  ( ( v ) f '  ( v ) 3

 2

 P V  −V  ( Pb + RT )+ aV −ab

V final =V inicial−

2

3 P V 

−2 V   (( Pb+ RT )+ a

Sustuyendo los valores conocidos obtenemos la V fnal y pasamos a calcular el error o tolerancia de 0.0001 ulizando |V final−V inicial| Vfnal=0.76374 Aplicando la norma de iteración ε =|V final−V inicial|

ε =|0.7637 −0.7764|=0.0096877 Como aun es muy grande se itera nuevamente cambiando ahora el Vinicial por el VFinal y repemos el paso hasta encontrar un número menor en la norma a 0.0001 Para

P=50

No de iteración

V0

(x)

'(x)

V

X-X0

1

0.77644

0.36916

29.07274

0.76374

0.01269797

2

0.76374

0.01207

27.17976

0.76330

0.00044407

 

3

0.76330

0.00001

27.11444

0.76330

5.3501E-07

4

0.76330

0.00000

27.11436

0.76330

7.7605E-13

En la iteración No 3 podemos notar que se cumple la norma ya que 0.0001>0.0000005 Así que el volumen que buscamos para una presión de 50 seria V=0.76330 

Tablas de iteraciones para cada valor de P No de iteración 1 2 3

4

   

2 3 4

2 3 4

2

3 4

0.705 85 0.693 45

0.326 71 0.011 48 0.004 49

26.33 248 17.57 557

0.693 0.01240   45 695 0.692 0.00065   79 331

17.49 326

0.693 0.00025   05 644 0.692 0.00010

0.001

17.52

05

77

555

 

Para

   

3

4

0.278 77 0.010 68 0.002 66 0.000 67

23.23 863 17.15 182

0.614 0.01199   16 59 0.613 0.00062   54 278

17.07 025

0.613 0.00015   70 577

3

17.09 064

0.613 3.9348E   66 -05

4

Para

P=70

V0

f(x)

f'(x)

Vf

Xf-X0

0.554 60 0.543 08 0.542 56 0.542 56

0.235 72 0.009 80 0.000 02 0.000 00

20.46 049 18.76 876 18.69 342 18.69 327

0.543 08 0.542 56 0.542 56 0.542 56

0.01152 085 0.00052 207 1.0523E -06 4.271E12

Para

f'(x)

0.669 34 0.657 11

0.304 74 0.011 14

24.91 510 23.10 285

0.657 0.01223 11 131 0.656 0.00048 63 202

 

0.656 63

0.000 02

23.03 250

0.656 7.3631E 63 -07

 

0.656

0.000

23.03

0.656

1.717E-

63

00

239

63

12

   

 

1

 

2

 

3

 

4

f(x)

f'(x)

Xf-X0

 

0.467 73

0.183 47

17.08 822

0.457 0.01073   00 668

1

 

0.457 00

0.008 44

15.52 639

0.456 0.00054   45 332

2

 

0.456

0.000

15.44

0.456 1.3634E

45 0.456

02 0 ..0 000

888 15.44

45 -06   0 0..456 8.5743E

3 4

Para

Xf-X0

P=65 f(x)

f'(x)

0.597 26 0.585 44

0.261 38 0.010 35

22.11 669 20.37 483

0.585 0.01181 44 842 0.584 0.00050 93 782

 

0.584 93

0.000 02

20.30 120

0.584 9.2103E 93 -07

 

0.584 93

0.000 00

20.30 107

0.584 93

   

       

No de iteración

V0

 

Vf

V0

No de iteración

P=83 Vf

2

P=58 f(x)

Xf-X0 1

Para V0

No de iteración

0.626 16 0.614 16

0.613 70

Vf

126  

2

f'(x)

 

 

P=62

 

1

f(x)

0.613 54

 

95

 

Xf-X0

V0

 

No de iteración 1

f'(x)

0.693

 

No de iteracion

f(x)

 

Vf

 

V0

0.692 79

No de iteración 1

P=55

 

No de iteración 1

Para

Para

Vf

Xf-X0

3.027E12

P=77

V0

f(x)

f'(x)

Vf

Xf-X0

0.504 18 0.493 08 0.492 54 0.492 54

0.205 39 0.009 05 0.000 02 0.000 00

18.50 316 16.88 146 16.80 455 16.80 437

0.493 08 0.492 54 0.492 54 0.492 54

0.01110 051 0.00053 63 1.2276E -06 6.4243E -12

Para

P=87

V0

f(x)

f'(x)

Vf

Xf-X0

 

0.446 23

16.25 335

0.435 0.01049 74 229

 

0.435 74

12.60 307

0.458 0.02302 76 539

 

0.458

0.170 53 0.290 19 0.036

15.77

0.456 0.00228

76 0.456

06 0 .0 .000

916 15.45

48 521 0. 0 .456 2.4214E

 

45 No de iteración 1 2 3 4

       

No de iteración 1 2 3

4

     

 

No de iteración 1 2 3 4

   

00

8 86 69

Para

4 45 5

-12

48

P=94

V0

f(x)

f'(x)

0.413 00 0.402 94 0.402

0.150 55 0.007 35 0.000

14.96 330 13.51 094 13.43

39 0.402 39

02 0.000 00

400 13.43 378

Para

Vf

No de iteración

Xf-X0

0.402 0.01006   94 103 0.402 0.00054   39 43 0.402 1.5593E   39 -06 0.402 1.2779E   39 -11 P=99

f(x)

f'(x)

0.392 14 0.382 39 0.381 85

0.138 00 0.006 88 0.000 02

14.15 353 12.75 082 12.67 479

0.382 0.00975   39 016 0.381 0.00053   85 991 0.381 1.6198E   85 -06

0.381 85

0.000 00

12.67 456

0.381 1.4558E   85 -11

Xf-X0

f(x)

f'(x)

0.323 52 0.307 25

0.186 86 0.009 82 0.000 49 0.000 03

11.48 939 9.227 19

0.307 0.01626 25 329 0.306 0.00106 19 414

9.085 81

0.306 5.3587E 24 -05

9.092 91

0.306 3.1292E 24 -06

0.306 19

 

0.306 24

3 4

     

1 2 3

4

     

 

214

45 45

Para

-05

P=96

V0

f(x)

f'(x)

0.404 40 0.394 46 0.393

0.145 37 0.007 16 0.000

14.62 927 13.19 678 13.12

0.394 0.00993 46 696 0.393 0.00054 92 289 0.393 1.5859E

92 0.393 91

02 0.000 00

015 13.11 993

91 -06 0.393 1.3513E 91 -11

Para

Vf

Xf-X0

P=100

V0

f(x)

f'(x)

Vf

Xf-X0

0.388 22 0.378 53 0.377 99

0.135 64 0.006 79 0.000 02

14.00 130 12.60 850 12.53 271

0.378 0.00968 53 77 0.377 0.00053 99 868 0.377 1.6295E 99 -06

0.377 99

0.000 00

12.53 248

0.377 1.4888E 99 -11

P=120

V0

 

2

 

No de iteración

V0

Para

Vf

1

37

Vf

Xf-X0

  Tabla de Resultados de P y V después de aplicar el método mét odo de Newton-Raphson P Vf nal

50

55

58

62

65

70

77

83

87

94

96

99

1 10 00

1 12 20

0.76 33

0.69 29

0.65 66

0.61 37

0.58 49

0.54 26

0.49 25

0.45 65

0.45 65

0.40 24

0.39 39

0.38 18

0.37 80

0.30 62

Problema 2 Para calcular el radio hidráulico r en un canal abierto, Francis propuso la siguiente ecuación

v =c √ ℜ

 

c=

 

75

0.45

+

 m √ r

Donde m = 1.05, e = 0.002 y v = 5.5 Realice un máximo de 10 iteraciones con el método de 

Newton-Raphson para aproximar una raíz de la ecuación con el valor inicial r(0) = 4.1 y  = 0.1 Solución Sustuir c en v y obtener la unción (r)

v=

  75

 m 0.45 + √ r

∗√ ℜ

f  ( ( r )=2.475 + ' 

f  ( r )=

5.775

√ r

−1.667

−75∗√ 0.002 0.002∗r =0

− 2.88 1.5

√ r

r

Aplicando el método de Newton-Raphson

r 1= r 0− 2.475

+

r 1= r 0−

5.775

√ r

−75∗√ 0.002 0.002∗r

−1.667

√ r No de iteración

r0

1

4.1

2

2.84851178

3

2.99712373

4

2.99982992

5

2.99981804

  f  ( r ) f ' ( r )

−

2.88

r

La tabla de iteraciones queda de esta manera

1.5

(r) '(r) 1.46446964 1.17018253 0.23581102 1.58675678 0.00410787 1.51795891 -1.8012E05 1.51677358 8.6088E-08 1.516 .51677 7787 878 8

r1 x1-x0 2.8485117 8 1.25148822 2.9971237 3 0.14861195 2.9998299 2 0.00270618 2.9998180 4 1.1875E-05 2.9 .999 9981 8181 81

Dando como resultado una r de

5. 5.6 675 757E 7E-0 -08 8

 

r= 2.9998≈3

Problema 3.- Una mezcla equimolar de Monóxido de carbono y Oxígeno alcanza el equilibrio a

300°K y una presión de 5 atm. La reacción teórica es: CO + 0.5O2  CO2 La reacción química real se escribe como: CO + O2  xCO + 2 1 (1 + x )O2 + (1 – x )CO2 La ecuación de equilibrio químico para determinar la racción del CO restante x se describe como:

(1 − x )( 3 + x )  /  Kp=  x ¿ ¿

1 2

0