Tarea 2 Control Analogo

 

TAREA 2 – ANÁLISIS DE LGR Y D DISEÑO ISEÑO DE COMPENSADOR CONTROL ANÁLOGO

LEIDER TORRES Código: 12436989

Grupo: 203040

Tutor:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Escuela: ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería Curso: Control Análogo Valledupar  2019

 

INTRODUCCIÓN La compensación es la modificación en la dinámica del sistema, realizada para satisfacer unas condiciones predeterminadas. Compensar Compen sar un sistem sistema a dado es establecer en su funci funcionamie onamiento nto de acuerdo con unos requisitos o especificaciones. En esta parte se analizan los cambios que se pueden lograr en un dispositivo al añadir un nuevo polo y un nuevo cero al sistema, que se introduce en un lazo de control. Variar la ganancia del sistema es el primer paso para llevar al sistema a un comportamient comport amiento o satis satisfacto factorio, rio, Sin embargo embargo,, en muchos incremen incrementar tar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario, pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad En estos casos, es necesario volver  a diseñar el sistema (modificando la estructura o incorporando dispositivos o componentes adicionales) para alterar el comportamiento general, de modo que el sistema se comporte como se desea.

 

Tarea 2 – Análisis de LGR y Diseño de Compensador  Control Análogo Competencia por desarrollar:  El diseña compensadores mediante el método del lugar geométrico de lasestudiante raíces y software de simulación para el control automático de procesos

Temáticas por desarrollar:   

Lugar geométrico de las raíces de sistemas de control Compensadores en adelanto

Actividades a desarrollar  Cada estudiante deberá desarrollar de manera individual y subir al foro la solución a propuest o. Posteriormente, Posteriorme se realiz realizará ará un debate académi académico co en el cada foro, ejercicio donde lospropuesto. integrantes del gruponte, colaborativo acordarán para cada punto, cuál de las soluciones es más completa y está mejor presentada para integrarla al archivo final. El documento final sólo deberá tener una solución por cada ejercicio. Los ejercicios a resolver son los siguientes:  

1. Para el desarrollo del primer punto, se debe tener en cuenta el número del grupo colaborativo. El grupo cuyo número termina en impar deberá trabajar con el sistema siguiente:

Sistema No. 2 grupos impares

 

a). Grafique el lugar geométrico de las raíces del sistema (use Matlab u octave)

Solución Para el lugar geométrico de las raíces del sistema utilizamos el comando rlocus de Matlab

Grafica

Podemos observar que el sistema en lazo abierto tiene dos pol polos os reales, un polo en 0 y un polo en -1, además de tener dos ceros reales en -3 y -2. Los polos en la gráfica se identifican con la” x” mientras que los ceros se identifican con “o”.

 

b). Identifique en la gráfica obtenida los diferentes rangos posibles para K. Utilizamos en criterio de routh hurwitz para determinar para que k el sistema es estable, sabemos que nuestro sistema es: G=

k ( s + 2 ) ( s + 3 ) s ( s+1)

Retroalimentamos la función Gs=

  G 1 + G∗1

2

Gs=

+ 5 k s + 6 k  ( k +1 ) s +( 5 k +1 ) s +6 k    ks

2

Vemos que el denominador cumple con el criterio del polinomio en lazo cerrado

Donde a 0 , a1 … an  son números e enteros, nteros, armamos la matriz de routh hurwitz  2

s 1 s

0

s

 K + 1 > 0  K >−1 5 k + 1 > 0  K >

−1 5

  ¨ 

30 k + 6 k    >0 5 k + 1 30 k + 6 k > 0

k ( 30 + 6 )> 0 k > 0

El sistema es estable para toda k>0

 

k + 1 5 k + 1 30 k + 6 k    5 k + 1

6 k  0 0

 

 A continuación, escogemos tres valores de k para ver el comportamiento del sistema en lazo cerrado ante una entrada escalón. Hacemos rlocus con el sistema en lazo cerrado con una k = 1

Podemos observar que la ubicac Podemos ubicación ión de los polos cambia a dos polos complejos (1.5000 + 0.8660i) y -1.5000 - 0.8660i respectivamente. Y la ubicación de los ceros no cambia -3y-2. Con el comando zpk(Gs) podemos observar además de los polos y los ceros del sistema retroalimentado, su ganancia, en este caso una ganancia de 0.5.

 

Para una k = 10 .

Hacemos rlocus para ver la ubicación de los polos

Podemos observar que la ubicac Podemos ubicación ión de los polos cambia a dos polos complejos (2.3182 + 0.2839i) y (-2.3182 - 0.2839i) respectivamente. Y la ubicación de los ceros no cambia -3y-2. Con el comando zpk(Gs) podemos observar además de los polos y los ceros del sistema retroalimentado, su ganancia, en este caso una ganancia de 0.9.909.

Para una k = 20

 

Podemos observar que la ubicación de los polos cambia a dos polos reales -2.667 y -2.143 respectivamente. Y la ubicación de los ceros no cambia -3y-2. Con el comando zpk(Gs) podemos observar además de los polos y los ceros del sistema retroalimentado, su ganancia, en este caso una ganancia de 0.95238.

 

c). Cada grupo deberá seleccionar un valor específico de K para cada rango encontrado. Una vez seleccionados dichos valores, con cada uno de ellos se deberá realizar la simulación de la respuesta del lazo cerrado ante una entrada escalón unitario.

 

Diligenciar la siguiente tabla Ran go de k

Valor  Ec. Característica del lazo Ubicación de los Coefic Frecuenci selec cerrado polos en lazo iente a natural no de ciona cerrado amorti amortigu do guami ada (wn) ento (ζ)

1-10

K=1

1120

K=10

2130

K=20

3

0.5

1. 1.91 9117 17

s ∗s( s++3 s)∗( +3 + )

-1.5000 +0.8660i ((-1.5000 - 0.8660i)

0.90909 ( s + 3 )( s + 2 )

-2.3182 + 0.2839i -2.3182 - 0.2839i

0. 0.87 8749 49

2. 2.41 413 3

Subamortiguado

-2.6667 -2.1429

0. 0.89 8958 58

2. 2.48 4808 08

Sobreamortiguado

G 1= G 2=

0. 0.78 7837 37

2

Tipo de sistema (subamortiguado, críticamente amortiguado, sobreamortiguado)

2

2

s

+ 4.636 s+ 5.455

Subamortiguado

 

G 3=

0.95238 ( s + 3)( s + 2)

( s + 2.667)( s+ 2.143)

Tabla 1. Valores del LGR del sistema

 

Sabemos que:

Con los datos de la gráfica podemos calcular el valor de zeta y de wn  zeta=  zeta=

lm ( mp ) √ ¿ ¿ ¿

  lm ( 0.019 )

√ ( π  +ln ( 0.019 ) ) 2

2

= 0.7837

  4 wn =  zeta∗ts wn =

 

4

(0.1922)∗ )∗((2.67 ) Para K = 10

 zeta=  zeta=

=1.9117

  lm ( mp )

√ ( π  + ln  ( mp )) 2

2

  lm ( 0.00343 ) 2

2

=0.8749

ln  ( 0.00343 ) ) √ ( π  +ln 

wn =   4  zeta∗ts

 

 

wn =

4

(0.8749 )∗(1.85 ) Para K = 20

=2.413

  lm ( mp )  zeta=  zeta=

√ ( π  + ln  ( mp )) 2

2

  lm ( 0.00178 )

ln  ( 0.00178 ) ) √ ( π  +ln  2

2

=0.8958

  4 wn =  zeta∗ts wn =

 

4

(0.8958 )∗( 1.8)

=2.4808

d) Diligenciar la siguiente tabla. En ella se consignarán los valores solicitados de la respuesta a escalón unitario del sistema en lazo cerrado con cada valor de k seleccionado:

Valor  de K K=1

Sobreimpulso (%) 1.9%

Tiempo de establecimiento 2.67

Valor  Error en estado final estacionario 1 No tiene error de posición K=10 0.343% 1.85 1 No tiene error de posición K=200 0.178% 1.8 1 No tiene error de posición Tabla 2. Parámetros característicos de la dinámica del sistema

Cada campo diligenciado debe argumentarse detalladamente; es decir, se debe demostrar matemáticamente o con ayuda del software cada valor diligenciado; en caso contrario, no se dará validez a la tabla

Para K = 1

 

Para K = 10

Para K = 20

 

e) Anali Analizar zar los resultados obtenid obtenidos os y respond responder er las siguientes pregunt preguntas as usando palabras propias sin copiar textualmente de libros o páginas de internet: 

¿Qué indica el lugar geométrico de las raíces de un sistema?

Indica el lugar donde se encuentran ubicado lo polos y ceros del sistema. 

¿En qué influye directamente el valor de la ganancia en cada caso sobre el sistema?

La ganancia puede hacer que un sistema responda más rápido, pero aumenta su sobre pico, además puede que la ganancia haga a un sistema pasar de la estabilidad a un estado oscilatorio oscilatorio continuo o a la inestabilidad. Todo depende la ubicación delsistema polo, ennos este caso estas al tener un polo en cero y polos complejos la ganancia gananci a del permite opciones, opcion es, caso contrar contrario io a un sistema de polos reales en el cual el valor de la ganancia nunca haría inestable el sistema. ¿Si se desea diseñar un compensador tipo proporcional (sólo ganancia) utilizando el lugar geométrico de las raíces, en qué casos no se podrían usar las ganancias que nos arroja la gráfica directamente? Con la gráfic gráfica a del lugar geométr geométrico ico de las raíces podemos ver si nuestro siste sistema ma de puede hacer inestable y con qué valor de ganancia, no se utilizaría cuando tenemos raíces complejas cercanas a cero puesto que valores muy altos de

ganancia estabilizarían nuestro sistema.

2. Dado el siguiente sistema:

G p ( s ) =

  1 s ( 10 10ss +1 )

 

a. Se debe diseñar un compensador usando el método del lugar geométrico de las raíces de tal forma que al imple implementar mentarlo, lo, el nuevo sistem sistema a en lazo cerrado tenga un coeficiente de amortiguamiento ζ =0.4  y una frecuencia natural no amortiguada de ω n=2 rad / seg   Se debe mostrar el proceso detallado, con gráficas de lgr y plano complejo donde se muestre el aporte de cada cero y polo del sistema, de lo contrario no se hará válido el diseño para la calificación del trabajo colaborativo. b. A partir de la frecuenc uenciia nat atu ural no amortiguad ada a y coeficiente de amortiguamiento deseados, calcule los parámetros de la respuesta a escalón unitario del sistema compensado (sobreimpulso, tiempo pico, tiempo de subida, tiempo de establecimiento). Cada parámetro se debe demostrar  matemáticamente.

Solución punto b : Con los valore ress de amor orttigua guamiento ζ =0.4   y una frec ecu uen enccia natur ura al no amor am ortitigu guad ada a de ω n=2 rad / seg   de dete term rmin inam amos os lo loss pa parám rámet etros ros qu que e no noss pide pide el sistema sabiendo que

 MP =exp

( ∗ )=

−0.4∗π  ∗100% √ 1−0.4 2

 MP =0.2538

100%

25.3 25.3 %

Tiempo De Establecimiento ts=

Tiempo pico

  4 =5 seg 0.4∗2

wn∗ √ 1 −ζ  tp = ζ ∗wn

2

tp =

2∗√ 1− 0.42   =2.29 s 0.4∗2

 

Solución punto a: Diseñamos el compensador utilizando los parámetros de diseño dados en el ejercicio mp≥ 25 % y ts = 2s Paso 1 observamos los parámetros de nuestro sistema en lazo cerrado: G p ( s) =

  1 s ( 10 10ss +1 )  

Lazo cerrado Gs=

  1 10 s

2

+ s +1

 

Como po Como pode demo moss ob obse serv rvar ar nues nuestr tro o sist sistem ema a a me mejo jora rarr tien tiene e un tiem tiempo po de establecimiento de 73.1 segundos y un máximo sobrepico de 60.5%.

 

Ut Utililiiza zare remo moss el métod étodo o de bise bisect ctri rizz pa para ra dise diseña ñarr nu nues esttro co cont ntro rollad ador  or 

Código implementado con el método bisectriz. %% codigo leider torres %% Compensador metodo de bisectriz clear,clc s = tf('s' tf('s'); ); G = 1/(s*(10*s+1)); % función de transferencia zeta = 0.4; % valor de Zeta mp=exp((-zeta*pi)/sqrt(1-zeta^2)) % Max.sobrepico wn = 2; %Frecuencia natural ts = 4/(zeta*wn) %Tiem. de establecimiento sigma = 4/ts; %parte real polo deseado wd = wn*(1-zeta^2)^.5;% wn*(1-zeta^2)^.5;% parte imaginaria polo deseado sx = -sigma+wd*i % polo deseado Gsx = 1/(sx*(10*sx+1)); %evaluamos función en el polo deseado fi = 180 -angle(Gsx)*180/pi; % valores de desplazamiento del angulo teta = (asin(zeta)*180/pi); alfa = (90+teta)/2;

p = wd/tan(deg2rad(alfa-fi/2)); %polo compensador z = wd/tan(deg2rad(alfa+fi/2)); %cero del compensador Csx = (sx+(sigma+z))/(sx+(sigma+p)); % controlador evaluado en el polo deseado Kc = 1/(abs(Gsx)*abs(Csx)); % ganancia del controlador C = zpk(tf(Kc*[1 (sigma+z)],[1 (sigma+p)])) % Compensador Gs = feedback(G,1) Gc = feedback(C*G,1)

 

'Función sin compensar' compensar', ,'Función compensada') compensada') step(Gs,Gc),grid, legend ( ('Función

GRAFICA SISTEMA COMPENSADO VERSUS SIN COMPENSAR

Grafica de los parámetros de tiempo de establecimiento y máximo sobre pico de la función sin compensar versus la función compensada

Controlador k ( s + zero ) C = s + polo 67.932 ( s +1.155 ) C = ( s + 3.462 )  

 

  Sistema lazo abierto G=

 

1

s∗( 10 s + 1 )

Sistema lazo cerrado Gs=   21 10 s + s + 1

 

Sistema más controlador retroalimentado   6.7932 ( s + 1.155 ) Gc = (( s + 1.962 )( s2 + 1.6 s +4 ))

 Ajustamos el valor de Zeta para mejorar el sobrepico y el tiempo de establecimiento zeta = 0.9

 

 

CONCLUSIONES En este trabajo se pudo concluir que Añadir un polo desplaza el lugar de las raíces a la de dere rech cha, a, dism dismin inuy uye e la esta estabi bililida dad d re rela latitiva va y au aum menta enta el tiem tiempo po de establecimiento, mientras que si agregamos un cero al sistema se desplaza el lugar de las raíces a la izquierda, aumenta la estabilidad relativa y disminuye el tiempo de establecimiento. Por otro lado, Variar la ganancia del sistema es el primer paso para llevar al sistema siste ma a un compor comportamien tamiento to satisfacto satisfactorio, rio, Sin embargo embargo,, en muchos increment incrementar  ar  el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estacionario, pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad.

 

BIBLIOGRAFÍA    

OGATA, Katzuhiko. Ingeniería de Control moderna. KUO, Benjamín. Sistemas de Control Automático. 5 edición.  Azaran M.R. y García Duna Simulación y analisis de modelos estocasticos. Editorial McGrawHill Erwi Erwin n Kr Kreys eyszi zig g In Intr trod oducc ucció ión n a la est estad adis istitica ca ma mate temá mátitica ca,, pr prin inci cipi pios os y métodos Editorial Limusa.