Tarea 1 Formas Canonicas

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación ESIME-ZACATENCO Departamento de Ingeniería Eléctrica Análisis de Sistemas Lineales

Tarea Número 1

Elaboro:

Dr. David Romero Romero

Profesor:

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

………………………………………..3

F. CANONICA OBSERVADOR

………………………………………..4

F. CANONICA CONTROLADOR

………………………………………..6

F. CANONICA OBSERVABILIDAD

………………………………………..8

F. CANONICA CONTROLABILIDAD

………………………………………..9

F. CANONICA JORDAN

………………………………………..10

F. CANONICA DIAGONAL

………………………………………..16

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

INTRODUCCION MODELOS DE ESTADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Los modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias de un circuito o sistema reflejan relaciones diferenciales entre la entrada de un sistema y la salida del mismo. Por ejemplo si indica una entrada escalar y una salida escalar, y si , entonces un modelo de ecuación diferencial ordinaria de nth orden tiene la forma ̇

̇

De aquí en adelante, las condiciones iniciales serán consideradas de valor cero. La ecuación 4.1 describe un modelo tipo entrada-salida a menudo llamado una descripción externa del sistema. La clave del asunto es poder elegir variables de estado y construir modelos de estado significativos para sistemas representados por modelos externos. La forma de la ecuación 4.1 sugiere hacer que la elección sea una combinación lineal de las variables derivadas de las entradas y salidas. Así como es la derivada de mayor orden que aparece, hay una necesidad de variables de estado. Se pueden tomar diferentes decisiones elecciones respecto a las variables de estado por lo tanto se producirán diferentes modelos de estado. En consecuencia, un modelo de estado para un sistema dado o circuito no es único. De todas las elecciones posibles para formar un modelo de estado hay algunas que caben dentro de la clasificación de formas canónicas, entre las mas conocidas están:    

Forma canónica observador Forma canónica controlador Forma canónica observabilidad Forma canónica controlabilidad

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

FORMA CANÓNICA OBSERVADOR Mediante el siguiente ejemplo se mostrará la aplicación de la forma canónica observador para la descripción externa del sistema siguiente: ⃛

̈

̇

̇

̈

Considérese para el presente que todas las condiciones iníciales son cero. Como una notación conveniente, se define

como el operador derivada. El

operador análogo inverso , representa al operador integral. Entonces con esta notación, la ecuación 4.5 se convierte en

Combinando términos en potencias de D en el lado derecho y luego multiplicando a la izquierda por da [

]

[

]

[

]

Definiendo la variable de estado y entonces diferenciando la ecuación 4.7 por la multiplicación D en la izquierda se obtiene [ ̇ Después de sustituir

]

[

]

por , definimos implícitamente [ ̇

[

por medio de la ecuación ]

Por lo tanto, [

]

[

]

[

]

[

]

Lo que implica que ̇ Definiendo

de forma similar a

obtenemos ̇

[

]

[

]

Y en consecuencia ̇

]

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas Recordando que y combinando las ecuaciones 4.9, 4.12, y 4.13 en una descripción de matriz genera la forma canónica observador de un modelo de estado para la ecuación 4.5:

̇ [ ̇ ] ̇

[

[

][ ]

[ ]

][ ]

El diagrama de simulación análogo asociado con la ecuación 4.14 aparece en la figura 4.1 u

b3

+ ẋ1 +

-a3

b1

b2

∫

+

x1

+

ẋ2

∫

+ + -a2

x2

ẋ3

x3

∫

+

y

+ -a1

Figura 4.1 Diagrama de bloques forma canónica observador de la ecuación 4.5

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

FORMA CANÓNICA CONTROLADOR Mediante el siguiente ejemplo se mostrará la aplicación de la forma canónica controlador o estándar de un modelo de estado representación de la ecuación 4.5. El primer paso es desarrollar el modelo canónico de estado para el sistema auxiliar ̂

̂

̂

̂

Donde los coeficientes a1, a2, y a3 coinciden con aquellos en la ecuación 4.5 y la respuesta ̂ resultado de la entrada u. Entonces asumimos que todas las condiciones iníciales son cero, la respuesta de la descripción del sistema dada por la ecuación 4.5 es la superposición de las respuestas del sistema auxiliar dadas por la ecuación 4.16, a las entradas b3 , b2D , y b1D2 . En particular ̂ ̂ ̂. Manteniendo esta consideración en mente, el siguiente paso es construir el modelo canónico de estado para la ecuación 4.16. En términos del operador diferencial D, la ecuación 4.16 tiene la representación equivalente. [

̂

̂]

̂

̂, lo que implica que

Como tal definimos la variable de estado ̇ Ahora definimos

[

̂

̂

]

̇ lo que implica que ̇

De forma similar, definimos

[

] ̇ a partir de la ecuación 4.18, se obtiene

̇ De esta discusión al principio del ejemplo y la elección precedente de variables de estado,

Por lo tanto, las ecuaciones 4.19 y 4.20, junto con las equivalencias ̇ y dan el modelo de estado canónico controlador dado por la ecuación 4.15

̇ ,

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

̇ [ ̇ ] ̇

[

][ ]

[

[ ]

][ ]

Note que las variables de estado x1, x2, y x3, en la ecuación 4.15 corresponden a diferentes entidades de aquellas en la ecuación 4.14

+

y

+

b1

u

ẋ3

+ +

+ +

∫

b2

ẋ2

x3

x2

-a1

b3

ẋ1

∫

-a2

+

∫

x1

-a3

Figura 4.2 Diagrama de bloques forma canónica controlador de la ecuación 4.5

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

FORMA CANÓNICA OBSERVABILIDAD A continuación se bosquejara los puntos más importantes. Repitiendo los puntos finos de las dos previas deducciones. Para bosquejar la deducción de la ecuación 4.21, rescriba la ecuación 4.5 como la integral de la ecuación [

]

[

]

Identificando como la variable de estado definir por ̇ Identificando

[

]

(es decir, definir

), implícitamente

con la parte apropiada de Dy, se define implícitamente [ ̇

como

]

en tal caso ̇

[

]

Dejando las ecuaciones de 4.22 a 4.24 dan el modelo canónico de estado dado por la ecuación 4.21. La representación canónica de estado observabilidad tiene la forma

̇ [ ̇ ] ̇

[

[

][ ]

[

]

][ ]

Las cantidades y son llamados a parámetros de Markov del sistema y están dados por y El diagrama de simulación análogo correspondiente a la ecuación 4.21 aparece en la figura 4.3.

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

u

β3

+ +

β1

β2

ẋ3

∫

+

+

x3

ẋ2

∫

+

+

ẋ1

x2

x1

∫

+

y

+

-a1 -a2 -a3

Figura 4.3 Representación en diagrama de bloques forma canónica de observavilidad

FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD Por dualidad, la forma canónica de controlabilidad de la ecuación 4.5 tiene la representación de modelo de estado ̇ [ ̇ ] ̇

[

[

][ ]

[ ]

][ ]

+ + +

β1

u

ẋ1

+ +

-a3

β2

x1

∫

ẋ2 + +

-a2

x2

∫

y

β3

ẋ3

+

x3

∫

+

-a1

Figura 4.3 Representación en diagrama de bloques forma canónica de controlabilidad

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

FORMA CANÓNICA DE JORDAN Controlabilidad y observabilidad son invariantes bajo cualquier transformación equivalente. Si una ecuación de estado es transformada en la forma de Jordan, entonces las condiciones de controlabilidad y observabilidad se vuelven muy simples y a menudo pueden ser revisadas por inspección. Considere la ecuación de estado ̇

(6.47)

FIGURA 6.8 REDES Donde J esta en la forma de Jordan. Para simplificar la discusión, asumiremos que J tiene solo dos distintos eigenvalores y y pueden ser escritos como

Donde J1 consiste en todos los bloques de Jordan asociados con y J2 consiste en todos los bloques de Jordan asociados con . Otra vez para simplificar la discusión asumimos que J1 tiene tres bloques de Jordan y J2 tiene dos bloques de Jordan o

La fila de B correspondiente a la última fila de Jij es denotada por blij. La columna de C correspondiente a la primera columna de Jij es denotada por cfij

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

Teorema 6.8 1. La ecuación de estado en (6.47) es controlable si y solo si los tres vectores de la fila son linealmente independientes y los dos vectores de la fila son linealmente independientes. 2. La ecuación de estado en (6.47) es observable si y solo si los tres vectores de la columna son linealmente independientes y los dos vectores de la columna son linealmente independientes. Nosotros discutiremos primero las implicaciones de este teorema. Si la ecuación de estado esta en la forma de Jordan, entonces la controlabilidad de estas variables de estado asociadas con un eigenvalor pueden ser revisadas independientemente de aquellas asociadas con diferentes eigenvalores. La controlabilidad de las variables de estado asociadas con los mismos eigenvalores depende solo de las filas de B correspondientes a la última fila de todos los bloques de Jordan asociados con el eigenvalor. Todas las demás filas de B no juegan un rol en la determinación de la controlabilidad. Las mismas observaciones se aplican a la parte de observabilidad excepto que las columnas de C correspondientes a la primera columna de todos los bloques de Jordan determinan la observabilidad. Podemos usar un ejemplo para ilustrar el uso del teorema 6.8. Ejemplo 6.10 Considere la ecuación de estado en la forma Jordan

̇ [

]

[

[

]

]

La matriz J tiene dos eigenvalores distintos y . Existen tres bloques de Jordan, con orden 2, 1, y 1, asociado con . Las filas de B correspondientes a la ultima fila de los tres bloques de Jordan son [1 0 0], [0 1 0], y [1 1 1]. Las tres filas son linealmente independientes. Hay solo un bloque de Jordan con orden 3, asociado con . La fila de B correspondiente a la ultima fila del bloque de Jordan es [1 1 1], la cual es distinta de cero y es por lo tanto linealmente independiente. Debido a eso nosotros concluimos que la ecuación de estado en (6.48) es controlable.

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

Las condiciones para (6.48) sea observable son que las tres columnas [1 1 1]´, [2 1 2]´, y [0 2 3]´ sean linealmente independientes (lo son) y la columna uno [0 0 0]´ sea linealmente independiente (no lo es). Por lo tanto la ecuación es no observable. Antes de probar el teorema 6.8, dibujamos un diagrama de bloques para mostrar como surgen las condiciones en el teorema. La inversa de (sI-J) es de la forma mostrada en (3.49), cuyas entradas consisten únicamente de 1/(s- )k. Usando (3.49), nosotros podemos dibujar un diagrama de bloques para (6.48) como se muestra en la figura 6.9. Cada cadena de bloques corresponde a un bloque de Jordan en la ecuación. Debido a que (6.48) tiene 4 bloques de Jordan, la figura tiene cuatro cadenas. La salida de cada bloque puede ser asignada como una variable de estado como se muestra en la figura 6.10. Permítanos considerar la última cadena en la figura 6.9. Si , la variable de estado xl21 no esta conectada a la entrada y no es controlable no importa que valores y se tomen. Por otra parte, si es distinto de cero, entonces todas las variables de estado en la cadena son controlables. Si hay dos o más cadenas asociadas con los mismo eigenvalores, entonces nosotros requeriremos la independencia lineal del primer aumento de vectores de esas cadenas. Las cadenas asociadas con diferentes eigenvalores pueden ser analizadas por separado. Toda la discusión se aplica a la parte de observabilidad excepto que el vector columna cfij juega el rol de vector fila blij. Demostración del teorema 6.8 Nosotros probamos el teorema usando la condición de que la matriz [A-sIB] o [sI-A B] tiene todas las filas llenas a cada eigenvalor de A. A fin de no ser abrumado por la notación, asumimos [sI- J B] para ser de la forma

[

]

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u

u

1 s  1

b1l11

cl11

bf12

1 s  1

xl12

u

bf13

1 s  1

xl13

bl21

cf12

1 s  2

u

xl21

y

b121

x221

1 s  2

+

cl21

y

cf11

y

cf13

b221

y

x111 1 s  1

+

xl11

u

u

u

b111

x121

1 s  2

+

cf21

c221

y

y

y

FIGURA 6.9 DIAGRAMA DE BLOQUE DE (6.48). 

1 s  i

x

=

+

x

1 s i

Figura 6.10 Estructura interna de 1/(s-

)

x

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

La forma Jordan con matriz J tiene dos eigenvalores distintos bloques de Jordan asociados con y uno asociado con . Si vuelve

[

y

. Hay dos (6.49) se

]

El rango de la matriz no cambiara por medio de operaciones elementales entre columnas. Agregamos el producto de una segunda columna de (6.50) por al ultimo bloque de la columna. Repitiendo el proceso para la tercera y la quinta columna, podemos obtener

[

]

Debido a que y son distintos es distinto de cero. Agregamos el producto a la séptima columna y a la última columna y entonces se usa la sexta columna para eliminar las entradas del lado derecho para obtener

[ ] Esta claro que la matriz en (6.51) tiene un rango de filas llenas si y solo si y son linealmente independientes. Procediendo similarmente para cada eigenvalor, podemos establecer teorema 6.8. Q. E. D. Considere una ecuación de estado n-dimensional de la forma Jordan con p entradas y q salidas. Si hay m, con m>p, bloques de Jordan asociados con el mismo eigenvalor, entonces m numero de 1 x p vectores fila nunca pueden ser linealmente independientes y la ecuación de estado nunca puede ser controlable. Así una condición necesaria para que la ecuación de estado sea controlable es . Para

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el caso de una entrada o una salida, entonces tenemos los siguientes corolarios (evidencia). Corolario 6.8 Una ecuación de estado forma-Jordan de una entrada es controlable si y solo si hay un bloque de Jordan asociado con cada eigenvalor distinto y cada entrada de B correspondiente a la ultima fila de cada bloque de Jordan es diferente de cero. Corolario 6.8 Una ecuación de estado forma-Jordan de una salida es observable si y solo si hay un bloque de Jordan asociado con cada eigenvalor distinto y cada entrada de C correspondiente a la primera columna de cada bloque de Jordan es diferente de cero. Ejemplo 6.11 Considere la ecuación de estado

̇

[

]

[

[

]

]

Ahí están dos bloques de Jordan uno con orden 3 y asociado con un eigenvalor 0, el otro de orden 1 y asociado con un eigenvalor -2. La entrada de B correspondiente a la última fila del primer bloque de Jordan es cero: por lo tanto la ecuación de estado es no controlable. Las dos entradas de C correspondientes a la primera columna de ambos bloques de Jordan son diferentes de cero: por lo tanto la ecuación de estado es observable.

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FORMA CANÓNICA DE DIAGONALIZACIÓN Una vez más considere el sistema homogéneo

Suponga que la matriz A del sistema tiene un conjunto completo de eigenvectores linealmente independientes e1, e2, e3 con sus correspondientes eigenvalores . Los eigenvalores pueden o no ser distintos. Se mostrará como estos n eigenvectores pueden ser usados para definir sistemas separados de primer orden. Este procedimiento es a veces de beneficios computacionales directos, pero quizás mas importante como ayuda conceptual. Dejemos un valor arbitrario de estado x(k) para ser específicos. Desde que ahí n eigenvectores, este estado puede ser expresado como una combinación lineal de los eigenvectores en la forma

Donde , son escalares. Usando el hecho de que multiplicación de (5-7) por la matriz A da

Por lo tanto, expresando en la forma

como una combinación lineal de eigenvectores

Vemos que los coeficientes escalares primer orden

. . .

satisfacen las ecuaciones escalares de

(5-9)

El vector de estado, por lo tanto, pude ser considerado a cada instante de tiempo para comprender una combinación lineal de eigenvectores. Con el cambio del tiempo, el peso de los coeficientes cambia (cada uno independientemente de los otros) por ello los pesos relativos quizás cambien. En consecuencia. El sistema

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puede ser visto como sistemas separados de primer orden, cada uno gobernando el coeficiente de cada eigenvector.

Cambio de Variable El análisis ya mencionado puede ser transformado directamente en una técnica de manipulación conveniente a través de la introducción formal del cambio de variable. Dejemos que M sea la matriz modal de A. Que es, M la matriz de cuyas columnas son los eigenvectores de A. para un dado , definimos un por

Esto es, por supuesto, la representación del vector de la ecuación anterior (5-7) con las componentes del vector igual a la anterior . La sustitución de este cambio de variable en la ecuación del sistema da

O, su equivalente

Esto define un nuevo sistema que esta relacionado con el sistema original por el cambio de variable La matriz del nuevo sistema es la matriz del sistema correspondiente al sistema que rige como se expreso antes en (5-9). En consecuencia, quizá se puede escribir , donde es la matriz diagonal con los eigenvalores de A en la diagonal. La matriz modal M define un nuevo sistema de coordenadas en donde A es representado por la matriz diagonal . Cuando se escriben en detalle (5_11) se convierte en

[

]

[

][

]

Que muestra explícitamente la forma diagonal obtenida por el cambio de variable.

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Sistemas continuos en el tiempo Esto puede ser aplicado a un sistema continuo en el tiempo. Suponga que el estima esta gobernado por ̇ Donde A es una matriz de con eigenvectores linealmente independientes. Con M como la matriz modal tal como se ha mencionado, el cambio de variable

Transformando el sistema a ̇ Cuando se escribe en detalle esto es ̇ ̇

[ ̇

]

[

][

]

El vector de estado a cualquier tiempo es una combinación lineal de los eigenvectores. En el caso de tiempo continuo, los coeficientes de cada eigenvector satisfacen una simple ecuación diferencial de primer orden. Por lo tanto otra vez el sistema puede ser considerado para estar separado en sistemas de primer orden.

Interpretación del diagrama La interpretación del diagrama del proceso de diagonalización es sencilla y útil. Cuando es expresado en las nuevas coordenadas (con componentes ) el diagrama del sistema se rompe en sistemas separados. El resultado se ilustra en la figura 5.3 para sistemas de tiempo discretos, pero exactamente el mismo diagrama es aplicado en tiempos continuos con retrasos remplazados con integradores. Los son los coeficientes de los varios eigenvectores tal como se combinan para generar el vector de estado. Los eigenvectores por si solos no se muestran explícitamente en este diagrama, aunque ellos deben ser usados para obtenerlo.

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Finalmente, deber ser remarcado que el rol del proceso de diagonalización es al menos tan conceptual como computacional. Aunque los cálculos de la matriz de transición de estado pueden ser facilitados si los eigenvectores son conocidos, el problema de computar los eigenvalores y eigenvectores para un sistema grande es en si mismo una tarea formidable. A menudo esta forma de análisis detallado no esta justificado en el ámbito de la motivación al estudiante. En realidad, cuando se restringe a los métodos numéricos es usualmente muy sencillo de evaluar algunas soluciones particulares directamente por recursión. Una colección completa de eigenvectores en forma numérica no siempre es muy iluminador. Por otra parte, desde un punto de visto conceptual, el proceso de diagonalización es invaluable, puesto que revela y fundamenta la simplicidad de los sistemas lineales. Armados con este concepto, sabemos, cuando nos enfrentamos con lo que parece ser un sistemas complejo interconectado, que hay un forma de verlo, a través de uno lentes distorsionado con cambios de variables, asi eso aparece como una colección de sistemas de primer orden. Incluso si nosotros nunca hallamos la transformación de diagonalización, el conocimiento de que uno existe influye profundamente en nuestra percepción de un sistema y enriquece nuestra metodología de análisis. z1

+

λ1

z2

+

λ2

zn

+

λn

Figura 5.3 Diagrama diagonal