TAPA Regresión y Correlación Lineal Simple – Ejercicios Resueltos
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8.- R eg r es ión y Corr C orre elación ci ón L i nea neal S impl imple jercicios ios R es uel ueltos – – E jercic
Estimación de los parámetros de Modelo de Regresión
Prueba de Hipótesis e Intervalos Intervalos de Confianza
Coeficiente de Determinación (R 2)
Aplicaciones
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
1. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra Deformación (en mm) Dureza Brinell (en kg/mm2)
1 6 68
2 9 67
3 10 66
4 11 53
5 13 52
6 15 50
7 18 48
8 22 44
9 26 40
10 28 37
11 33 34
12 35 32
Suponiendo validos los supuestos necesarios: 1.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión lineal, la cual relaciona la dureza Brinell con la deformación del acero, en el contexto del problema y estime la dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 mm. Justifique su respuesta 1.2) Estime con 90% de confianza, la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm.
= = ̂= + =72,407; =1,229 → ̂=72,4071,229 =1,229 ̂=15,5 =72,4071,229∙15,5=53,3575
1.1) Solución: Sean:
“Deformación, en mm”;
“Dureza Brinell, en kg/mm 2 ”
Respuesta: Pendiente (
): Cuando la deformación del acero aumenta en un milímetro la dureza Brinell disminuye en 1,229 kg/mm 2 .
Respuesta: La dureza Brinell de las muestras de acero cuando la deformación del acero es 15,5 m, corresponde a 53,3575 kg/mm 2 . 1.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
̅ 1 − = +±−; − ∙. 1 + + ∑ ̅ =26; 1=0, 9 0; =12; =9,8057; =12,6644; ̅ =18,8333 21 12,6644 1,229 9,8057 =4,0830 . = 21 ( )= 1122 ̅ = 2618,8333 =51,3616 ; ̅ = 1 =11∙ 9,8057 =1057,6693 , =72,4071,229∙26 ± ;, ∙4,0830 1 + 121 + 1057,51,36616693 ;, =1,8125; → , =[32,6012;48,2742] [32,6012;48,2742]
Con: Reemplazando, obtenemos:
Respuesta: El intervalo
contiene la dureza Brinell del acero, cuando la deformación del acero es de 26 mm, con un 90% de confianza.
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
2.- Se toma una muestra aleatoria de 10 piezas de plástico, utilizadas en cierta maquinaria. Se registra la resistencia (Y) a la fractura, en Newton (N) y la concentración (X) de un componente H, expresada en porcentaje, utilizada en la fabricación de las piezas de plásticos, obteniendo la siguiente información: Pieza X (% H) Y (Resistencia)
1 2,0 3,04
2 2,7 3,05
3 3,6 3,12
4 4,5 3,57
5 5,0 7,82
6 5,7 8,68
7 6,2 9,71
8 6,5 10,20
9 7,0 11,32
10 7,5 12,3
Suponiendo que existe asociación lineal entre X e Y: 2.1) Interprete la pendiente del modelo de regresión lineal, ajustado mediante el criterio de los mínimos cuadrados, que relaciona la resistencia con la concentración del componente H, en el contexto del problema y estime la resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%. Justifique su respuesta 2.2) Estime, con 95% de confianza, la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen 5,7% de concentración del componente H
== ̂= + =2,4110; =1,9116 → ̂=2,4110+1,9116 =1,9116 ̂=7, 2 =2,4110+1,9116∙7,2=11,3525
2.1) Solución: Sea:
“Concentración de un componente H, en porcentaje” “Resistencia a la fractura, en Newton”
Respuesta: Pendiente (
): Cuando la concentración del componente H aumenta en un 1%, la resistencia a la fractura de la pieza de plástico aumenta en 1,9116 Newton
Respuesta: La resistencia a la fractura de las piezas cuando la concentración del componente H es de 7,2%, corresponde a 11,3525 Newton. 2.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
̅ 1 . − = +±−; − ∙. + ∑ ̅ =5, 7 ; 1=0, 9 5; =10; =1,8524; =3,7289; ̅=5,07 01 3,7289 1,9116 ∙1,8524 =1,2395 . = 21 ( )= 1102 ̅ = 5,75,07 =0,3969 ; ̅ = 1 =9∙1,8524 =30,8825 (. ), =2,4110+1,9116∙5,7±−; − ∙1,2395 101 + 30,0,38969825 ;, =2,3060; → (. ), =[7,5249;9,4453] Con:
Reemplazando, obtenemos:
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
Respuesta: El intervalo
[7,5249;9,4453]
contiene la resistencia media a la fractura de las piezas que tienen un 5,7% de concentración del componente H con una confianza del 95%.
3. Se encontró la siguiente información entre la concentración de cierta sustancia, expresada en porcentaje, y la lectura en el colorímetro medido en lux, para una muestra aleatoria de tamaño 6. CONCENTRACIÓN (X) LECTURA (Y)
4 80
5 170
6 260
7 330
8 390
9 430
Bajo el supuesto que existe una relación lineal entre las variables 3.1) Encuentre un intervalo con una confianza del 95%, para estimar la lectura en el colorímetro de todas las sustancias que tengan una concentración de 5.5 por ciento. 3.2) Con = 0.10 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 67?
= = ̂= + =183,9048; =70,8571 → ̂=183,9048+70,8571 ̅ 1 − = +±−; − ∙. 1 + + ∑ ̅ =5, 5 ; 1=0, 9 5; =6; =1,8708; =133,8158; ̅ = 6,5 . = 21 ( )= 6621 133,8158 70,8571 1,8708 =20,4529 ̅ = 5,56,5 =1 ; ̅ = 1 =5∙ 1,8708 =17,4995 , =183,9048+70,8571∙5,5 ± ;, ∙20,4529 1 + 16 + 17,41995 ;, =2,7764; → , =[142,9898;268,6287] [142,9898;268,6287]
3.1) Solución: Sea:
“Concentración, en porcentaje”;
“Lectura en el colorímetro, en lux”
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con:
Reemplazando, obtenemos:
Respuesta: El intervalo
contiene la lectura en el colorímetro de las sustancias que tengan una concentración de 5,5%, con una confianza del 95%. 3.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
:: >67 =67 =12; . =20,4529; ∑ ̅ =17,4995 Con:
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
Entonces, el estadístico de prueba es:
70, 8 57167 = 67 = ∑67 = .− ̅ ,, =0,7889 √ =0, 1 0 ={ | >−; − } → ={ | >; ,} → = | >1,3722 ∈
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Como
, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 67 con un 10% de significación.
4. Los datos que se presentan a continuación muestran el contenido de carbono (%) y la resistencia a la tracción de cierto tipo de barra de acero Barra Carbono (%) Resistencia (kg/cm2)
1 2,0 43
2 2,4 46
3 2,2 45
4 2,3 44
5 2,5 45
6 2,8 48
7 2,2 43
8 2,7 47
9 2,4 44
10 2,3 45
11 2,0 42
12 2,2 44
En base a información obtenida, y suponiendo validos los supuestos necesarios: 4.1) Estime la ecuación de regresión lineal que permita predecir la resistencia a la tracción de las barras de este tipo de acero a partir del contenido de carbono. 4.2) ¿Es posible concluir con 5% de nivel significación que el contenido de carbono de las barras de este tipo de acero se asocia linealmente con la resistencia a la tracción? 4.3) Encontrar el porcentaje de variación la resistencia a la tracción de las barras de acero que no es explicada por el contenido de carbono.
== ̂= + =29,85; =6,35 → ̂=29,85+6,35 :: =0 ≠0 =12; =0,9071 1 22 = √ √1 2 → = 0, 91071√ 0,9071 =6,8149 =0, 0 5 = | −; − → ={ | ; ,} = | 2,2281 ∈
4.1) Solución: Sean:
“Contenido de carbono, en porcentaje”; “Resistencia a la tracción, en kg/cm 2 ”
4.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con:
Entonces, el estadístico de prueba es:
La Región Crítica (Con
Respuesta: Como
):
, se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 5% de significación, existe asociación lineal entre el contenido de carbono de las barras de este tipo y la resistencia a tracción.
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
4.3) Solución:
1 =10,9071 =0,1772
Respuesta: El 17,72% de variabilidad de la resistencia a la tracción está explicada por otros factores.
5. En la producción de herramientas, el método para deformar acero a temperatura normal mantiene una relación lineal con la dureza del mismo ya que, a medida que la deformación crece, se ve afectada la dureza del acero. Para investigar esta relación se evaluaron 12 muestras de acero, los resultados obtenidos se muestran a continuación: Muestra 1 Deformación (en mm) 6 Dureza Brinell (en kg/mm2) 70
2 9 68
3 10 66
4 12 55
5 14 52
6 15 50
7 18 48
8 22 44
9 26 40
10 28 37
11 33 35
12 35 30
Suponiendo validos los supuestos necesarios 5.1) Interprete el coeficiente de determinación en el contexto del problema. Justifique 5.2) Estime con 95% de confianza, la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm. 5.3) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 2,5% de nivel de significación?
= = ̂= + =74,6589; =1,3198 → ̂=74,65891,3198 =0,9624 = 0,9624 =0,9262
5.1) Solución: Sean:
“Deformación, en mm”;
“Dureza Brinell, en kg/mm 2 ”
Respuesta: El 92,62% de la variación de la dureza Brinell del acero está determinada por la deformación. 5.2) Solución: La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
̅ 1 . − = +±−; − ∙. + ∑ ̅ =33; 1=0, 9 5; =12; =9,6859; =13,2833; ̅ =19 21 13,28331,3198 9,6859 =3,7858 . = 21 ( )= 1122 ̅ = 3319 =196 ; ̅ = 1 =11∙ 9,6859 =1031,9832 (. ), =74,65891,3198∙33 ± ;, ∙3,7858 121 + 1031,1969832 ;[26,,6961;=2,35,25281;149] → (.), =[26,6961;35,5149] Con:
Reemplazando, obtenemos:
Respuesta: El intervalo
contiene la dureza Brinell media del acero, cuando la deformación del acero es de 33 mm, con un 95% de confianza.
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
5.3) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
:: 1,8125 ∈ =0,05
Luego, para determinar el estadístico de prueba, tenemos:
La Región Crítica
:
Respuesta: Como
, en conclusión hay información suficiente para rechazar la hipótesis nula, es decir, existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con . 7.2) Solución: Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
:: =0, 9 5 ≠0, 9 5 =0, 0 1 = | −; − → ={ | ; ,} = | 3,1693
La Región Crítica (Con
):
8. Se desea estudiar si la resistencia de una mezcla de cemento es explicada por el número de días de fragüe de dicha mezcla. Para ello se tomó una muestra de 10 mezclas, obteniéndose la siguiente información. Mezcla Días de fragüe Resistencia (kg/cm2)
1 1 20
2 2 21,9
3 3 29,8
4 7 32,4
5 2 24,5
6 3 24,2
7 7 30,4
8 7 34,5
9 3 26,2
10 2 24,5
Suponiendo validos los supuestos necesarios 8.1) Determinar el modelo de regresión lineal e intérprete el intercepto 8.2) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal inversa entre las variables en estudio, con un 5% de nivel de significación? 8.3) Con = 0.05 ¿Es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es igual a 1,78?
= = ̂= + =20,1623; =1,8048 → ̂=20,1623+1,8048 =20,1623
8.1) Solución: Sean:
“Número de días de fragüe”;
“Resistencia, en kg/cm 2 ”
Respuesta: Intercepto (
): Cuando la los días de fragüe es igual a cero, la resistencia de la mezcla de cemento es iguala 20,1623 kg/cm 2 8.2) Solución: Las hipótesis a contrastar para determinar si estas muestras están relacionadas linealmente:
:: 1,8125 ∈ =0,9815 =0,9633 Con:
Entonces, el estadístico de prueba es:
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Como
, no se rechaza la hipótesis nula, es por esto que es posible concluir que la pendiente de la ecuación de regresión es mayor que 0,8 con un 5% de significación. 10.3) Solución:
Respuesta: El porcentaje de la variación del nivel de carga que está determinado por la rapidez del calentamiento es 96,33%
10.4) Respuesta: La pendiente corresponde a 0,8605, esto significa que por cada grado Celsius que aumenta la rapidez de calentamiento, el nivel de carga aumente en un 0,8605%
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
Nivel de carga v/s Rapidez de calentamiento 0,4 ) % 0,3 ( a g r a 0,2 c e d l e 0,1 v i N
0 -0,05
0,05
-0,1
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
Rapidez de calentamiento (°C/min)
11.- Los datos de la producción de trigo en toneladas (X) y el precio del kilo de harina en pesetas (Y) en la década de los 80 en España fueron registrados por medio de sumatorias, las cuales se muestran a continuación:
= ∑ = ∑ = ∑∑= ∑ = =
11.1) ¿Es posible concluir que existe una relación lineal directa entre las variables en estudio, con un 10% de nivel de significación? 11.2) Estime con un 90% de confianza el precio medio de la harina, cuando la producción de trigo es de 18 toneladas 11.3) Encontrar el porcentaje de variación del precio del kilo de harina que no es explicada por las toneladas producidas por esta 11.1) Solución: Sean:
==
“ Producción de trigo, en toneladas ”; “ Precio del kilo de harina, en pesetas ”
Lo primero es determinar el coeficiente de correlación, el cual se encuentra dado por la siguiente fórmula:
3 54 = [ ∑ ∑∑][∑∑∑ ∑ ] = [10∙846810∙9286734286∙ ][10∙13268 354] =0,847 Luego, las hipótesis que nos interesan contrastar son:
:: ≤0 >0
Con:
=10; =0,847
08. R eg resión y correlación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S E STÁ DI STI CO
0,847√ 1802 √ 2 → = 10, = √1 =4,507 47 =0, 1 0 ={ | >−; − } → ={ | >; ,} → = | >1,8595 ∈
Entonces, el estadístico de prueba es:
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Como
, por lo que no se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 10% de significación, no existe asociación lineal directa entre las variables en estudio. 11.2) Solución: Es necesario determinar los coeficientes de la regresión a partir de las siguientes fórmulas:
9 734 10∙ 9 734286∙ 3 54 =74, 1 151 ; = 0 = 354∙10∙88468286∙ 1 10∙ 8 468 2862 =1,3537 468 2862 ̂= + =74,1151; 1 =1,3537 → ̂=74,11511,3537
Por lo tanto, la regresión queda dada por:
En seguida se calculan las desviaciones estándar y promedios de las muestras:
• ̅ = ∑ = 28610 =28,6 ; •= ∑ = 35410 =35,4 ̅ ∑ ∙ 846810∙ 2 8, 6 • = 1 = 9 =32,04 ∑ ∙ 1326810∙ 3 5, 4 • = 1 = 9 =81,8222 ̅ 1 . − = +±−; − ∙. + ∑ ̅ =18; 1=0, 9 0; =10; =32,04; =81,8222; ̅ =28,6 01 81,8222 1,3537 ∙32,04 =5,0987 . = 21 ( )= 1102 ̅ = 1828,6 =112,36 ; ̅ = 1 =9∙32,04=288,36 . , =74,11511,3537∙18± ; , ∙5,0987 101 + 112,288,3366 ;, =1,8595; → (. ), =[43,1141;56,3829]
La fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con: Reemplazando, obtenemos:
08. R eg resión y c orrelación lineal si mple – E jercicios R esueltos AN ÁL I SI S ESTÁDISTICO
[43,1141;56,3829] 1 =0,2826
Respuesta: El intervalo
contiene el precio medio de la harina cuando la producción de trigo es de 18 toneladas, con una confianza del 90% 11.3) Solución:
Respuesta: El 28,26% de variabilidad del precio del kilo harina están explicadas por otros factores.
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