Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Matemática Aplicada II
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010G MATEMÁTICA APLICADA II Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 5E
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s o d a v r e s e R . Monitor Editorial Ltda. a Editora d Rua dos Timbiras, 257/263 – São Paulo – SP – 01208-010 Aline Palhares a Tel.: (11) 33-35-1000 / Fax: (11) 33-35-1020 z i Desenvolvimento de conteúdo,
[email protected] r mediação pedagógica eo www.institutomonitor.com.br t design gráfico u Equipe Técnico Pedagógica Impresso no Parque Gráfico do Instituto Monitor do Instituto Monitor a Rua Rio Bonito, 1746 – São Paulo – SP – 03023-000 Tel./Fax: (11) 33-15-8355 o ã
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[email protected] p ó C Todos os direitos reservados Lei nº 9.610 de 19/02/98 Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio, principalmente por sistemas gráficos, reprográficos, fotográficos, etc., bem como a memorização e/ou recuperação total ou parcial, ou inclusão deste trabalho em qualquer sistema ou arquivo de processamento de dados, sem prévia autorização escrita da editora. Os infratores estão sujeitos às penalidades da lei, respondendo solidariamente as empresas responsáveis pela produção de cópias.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 5ª Edição - Novembro/2006
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Índice
s. i a r to 7 Apresentação............................................................................................................. u a Lição 1 - Logaritmos s Introdução................................................................................................................. 9 to i 1. Definição.......................................................................................................... 9 re i 2. Propriedades do Logaritmo.......................................................................... 11 d Exercícios Propostos............................................................................................... 13 s o Lição 2 - Noções de Trigonometria s o Introdução............................................................................................................... 15 d o 1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. ...................................... 15 t 16 1.1 Teorema de Pitágoras.............................................................................. s o 1.2 Relações Trigonométricas....................................................................... 17 d 1.3 Uso da Calculadora Científica................................................................ 18 a v 19 2. Conversão de Unidades................................................................................. r 2.1 Conversão de Graus emeRadianos.......................................................... 19 2.2 Conversão de Radianos es em Graus ......................................................... 20 R Exercícios Propostos............................................................................................... 21 . a d Lição 3 - Números Complexos Introdução............................................................................................................... 27 za i r 1. Definição........................................................................................................ 27 ocom Números Complexos........................................................... 28 t 2. Operações 2.1 Adição au e Subtração.................................................................................. 28 3. Módulo o e Argumento..................................................................................... 28 ã 3.1 28 n Módulo...................................................................................................... 3.2 Argumento. . .............................................................................................. a4. Forma Trigonométrica ou Polar do Número Complexo............................. 28 i 29 p ó 5. Multiplicação e Divisão de Números Complexos C na Forma Trigonométrica ou Polar............................................................. 30 5.1 Multiplicação........................................................................................... 30 5.2 Divisão...................................................................................................... 30 Exercícios Propostos............................................................................................... 31 Resolução dos Exercícios Propostos...................................................................... 35 40 Cópia Bibliografia.............................................................................................................. não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G/
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Apresentação
s. i a r to u ahisTodo conhecimento científico acumulado no decorrer de nossa s o tória é permeado pela matemática, e as respostas para muitastperguntas i são dadas por ela. Mas não estamos diante de uma ciência exclusiva para e a usamos r cientistas; a matemática faz parte de nosso dia-a-dia, porque di cálculos comde forma intuitiva, já que, mesmo sem perceber, fazemos s intuitivo. Mas, plexos. Esse uso da matemática pode ser definido o como para nossa vida profissional, é preciso sistematizar s esse conhecimento; e é aí que entra a matemática como disciplinaoteórica. d o t Para quem já domina as operações básicas de adição, subtração, s multiplicação e divisão; que já conhece frações, potenciação, equações o d do primeiro e do segundo grau; enfim, para quem já possui um conhea os temas deste fascículo poderão cimento elementar da matemática, v r parecer um pouco complexos, e mas nada que você não possa vencer, com um pouco de esforço e dedicação. es R . Ainda que, em alguns momentos, tenhamos a impressão de estar a tratando de algo muito diferente do que já aprendemos, é preciso ter d a consciência de que está na base das operações de logaritmos, triiz o que r gonometria e números complexos são os tais conhecimentos elementares o Quer dizer, para um bom desempenho nessa matéria, da matemática. t não podemos au perder de vista tudo aquilo que aprendemos antes. o Éãimportante lembrar que, mesmo diante de estudos mais complexos, n o fascínio do desafio. E a matemática é uma disciplina fascinante, existe a envolve raciocínio e criatividade. Caso você tenha ainda alguma ique p ó dúvida sobre como a matemática pode ser encantadora, recomendamos C o excelente livro O Homem que Calculava, de Malba Tahan.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G/
lição
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1
s. i a r Obs.: quando a base é 10, ela pode Introdução to ser omitiu da. Por exemplo: log2, lê-se logaritmo de 2 a na base 10. A idéia de logaritmo é transformar operas ções complexas, como potenciação e radito i Exemplos: ciação, em operações mais simples. Por isso a re importância de seu estudo, já que constitui uma i d • log 4 ferramenta para diversas disciplinas, como, s por exemplo, as telecomunicações. Veremos, o Leitura: logaritmo de 4 na base 2. nesta lição, o que são logaritmos e as suas pros priedades operatórias. o d Paraocalcular este logaritmo, faremos: t 1. Definição log 4 = c ⇔ 2 = 4 s o Logaritmo de um número positivo numa d Isto é, seguimos a definição de logaritmo. base real positiva e diferente de 1 é o expoen-va 2 = 4 é uma equação denominada exponencial. r te a que tem de se elevar esta base para a obe Para resolvê-la, temos que deixar as bases iguais. tenção do número. es Para tanto, fatoramos o número 4, assim: R . Sua notação é: a 4 2 d a 2 2 log a = c iz 1 4 =2 r o t base b é igual a c. Leitura: logaritmo de a na u Na equação exponencial, substituímos o 4 Significado: estamos a procurando um número por 2. o c de tal forma queãb = a. n 2 =4 a Então, temos por definição: i 2 =2 óp C log a = c ⇔ b = a Nessa igualdade, observamos que as ba○
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Logaritmos
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2
○
c
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2
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c
○
2
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○
○
b
2
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○
c
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c
2
○
○
c
○
c
○
○
b
○
ses são iguais e, portanto, os expoentes são iguais:
○
○
○
○
Onde: • a é o logaritmando, sendo um número maior que zero; • b é a base do logaritmo, também um número maior que zero e diferente de 1; • c é o logaritmo.
○
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c = 2
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Então, log2 4 é 2, ou seja, log2 4 = 2
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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
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010G/9
○
Instituto Monitor
Cópiao logaritmo não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Leitura: de 4 na base 2 é igual a 2. Vejamos outras situações para o cálculo de logaritmo: • log3 81 • log4 32 c Faremos log3 81 = c ⇔ 3 = 81 Para efetuarmos este cálculo, continuaTrabalhando com a equação exponencial mos aplicando a definição de logaritmo, ou c c 3 = 81, temos: seja, log4 32 = c ⇔ 4 = 32. c 4 3 =3 Neste caso, temos que fatorar os números c=4 4 e 32. Portanto, log3 81 = 4
2
s. i a r to u a
5
s o Leitura: o logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4. it Fazendo a substituição na equação exe r ponencial encontrada, temos: • log 1 di 81 4 =o 32s (2 ) s= 2 3 =1 o 81 d toEliminamos os parênteses fazendo a 3 =1 smultiplicação dos expoentes 2 e c, que reo sulta 2c: 3 d a 2 =2 v Sabemos que 1 = 3 , portanto: r e 3 E continuamos normalmente, considees rando apenas a igualdade entre os expoenR 3 =3 tes: . a c=-4 d 2c = 5 a Logo, log 1 = - 4 iz c=5 r 81 2 o t u Leitura: o logaritmo de 1ana base 3 é igual a - 4. Portanto, log 32 = 5 o 81 2 nã • log 27 ia p ó log 27 = c ⇔ 9 = 27 C 4=2
e
32 = 2
3
c
2 c
c
5
c
4
2c
5
-4
4
c
-4
3
4
9
c
9
2 c
3
(3 ) = 3 2c 3 3 =3 2c = 3 c=3 2
Antes de continuar seu estudo, faça o exercício 1 desta lição.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G/10
Instituto Monitor
○
○
Cópia os odireitos 1 não autorizada. Reservados todos Registramos número 12, autorais. em seguida apertamos a tecla log e aparecerá no visor o número: 1,079181.
○
27
○
○
• log9
○
○
log9 1 = c ⇔ 9c = 1 27 27
○
○
Então log 12 = 1,079181
○
Ou seja, 101,079181 ≅ 12
○
(3 ) = 13 3 32c = 3-3 |2c = -3 c=-3 2
2. Propriedades do Logaritmois.
○
○
○
○
○
2 c
○ ○ ○ ○ ○ ○
logb 1 = 0
○
Em Telecomunicações ao estudar, por exemplo, as relações de potência de sinais, usamos os logaritmos na base 10.
○
○
○
Exemplos:
○
○
log5 1 = 0
os
s o it e r di
log3 1 = 0
○
• Vamos escrever logaritmo de 100 na base 10: log 100, ou seja, quando a base do logaritmo for 10, não precisamos escrevê-la.
a r to u a
• Logaritmo de 1 em qualquer base será sempre igual a 0.
○
○
s o d o t
○
○
○
○
• Logaritmo de um número qualquer, cuja base é o mesmo número, será sempre igual a 1.
s log a = 1 o d a Exemplos: 10 = 10 v r log 5 = 1 e c=2 s e log 6 = 1 R a Usando a calculadora científica. para determinação dos logaritmos decimais: a • Logaritmo de uma potência qualquer, em d que a base corresponde à base da potência, a o número z 1) No cálculo de log 100, digitamos será sempre igual ao expoente da potência. i r 100, em seguida apertamos a tecla log e o t aparecerá no visor o número 2. log a = m au Exemplos: Então log 100 =o2 ã log 5 = 3 Isto é, 10 =n100 a i p log 7 = 4 2) Usando a calculadora, vamos determinar ó log 12: C ○
○
O cálculo efetua-se normalmente:
○ ○
2
○
○
c
a
○
log 100 = c 10c = 100
○
○
○
5
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○
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6
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m
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○
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a
3
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2
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5
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4
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7
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Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
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○
010G/11
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos g) log3 243 =
○
○
○
○
○
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○
○
○
1 - Calcule: a) log2 32 =
1 = 243
○
○
○
h) log3
○
b) log7 49 =
○
○
○
○
○
○
s o d o t
os
s o it e r di
s. i a r to u a
○
○
si) log 1.024 = o d a v r e s e R . a j) log 343 = d a iz r o t au ○
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1 = c) log7 49
7
○ ○ ○
○
○
○
○
○
2 - Calcule: a) log8 32 =
○
○
○
○
a i óp C
○
e) log5 125 =
o ã n
○
○
○
○
○
○
○
○
d) log 100 =
○
1 = 16
○
○
b) log27 243 =
○
○
○
○
f) log2
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/13
○
Cópia todos 1 não autorizada. Reservados c) log 1000 = os direitos autorais. ○
d) log25
1 = 125
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
8
○
=
c) log4
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
d) log 10.000=
○
○
○
○
e) log49 343 =
○
○
e) log 0,1 =
○
○
○
○
○
○
s o d o t
○
s o d a v f) log 0,01 = r e s e R . a d a iz r o t g) log 0,001 = u a ○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
f) log4 8 =
os
s o it e r di
s. i a r to u a
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
a i óp C
o ã n
○
○
○
○
○
○
○
3 - Calcule: a) log 10 =
h) log 0,0001 =
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
b) log 100 =
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/14
lição
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
2
Noções de Trigonometria
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s. i a r No triângulo retângulo, fixando Introdução to um ânguu lo agudo, por exemplo Â, podemos estabelecer a as relações trigonométricas seno (sen), cosseno A trigonometria está relacionada com o ess (cos) e tangente (tg) do o tudo da medição de triângulos. Problemas retângulo agudo Â, assim i definidas: lacionados à topografia, navegação, indústria de re moldes, entre muitos, exigem a resolução de i d oposto ao ângulo  cateto triângulos. A trigonometria é uma ferramenta sen = s importante para a eletrônica, pois permite, eno hipotenusa tre outras operações, estabelecer relações ens tre tensão, corrente e resistência elétrica. o cos d = cateto adjacente ao ângulo  o hipotenusa t 1. Razões Trigonométricas s no Triângulo Retângulo o cateto oposto ao ângulo  tg  = d a cateto adjacente ao ângulo  O triângulo retângulo é caracterizado porv r ter um ângulo interno reto, ou seja, um ângulo e Exemplo: de 90 graus. es R A Considerando o triângulo retângulo: . a d A a z ri o t u a 5 cm B C 4 cm o ã No encontrondos lados AB com BC, temos a .Uma vez localizado o ângulo o ângulo de i90 p oposto a ele é denominado de 90 , oólado C B 3 cm hipotenusa, C e os outros dois lados são os catetos: ○
○
o
○
○
○
○
o
○
○
A
○
○
Determinaremos o seno, o cosseno e a tangente do ângulo Â.
○
○
Hipotenusa
○
Cateto
Cateto
○ ○
Cópia não autorizada. B
○
○
○
○
O lado AC, por ser oposto ao ângulo de 90 graus, é a hipotenusa e sua medida é 5 cm. Os outros dois lados, ABdireitos e BC, são os catetos. Como Reservados todos os autorais. C estamos fixando o ângulo agudo Â, o lado opos○
○
○
○
○
010G/15
Instituto Monitor
Cópia nãoé denominado autorizada. todoscateto os direitos autorais. oposto ao ângulo C to a este ângulo catetoReservados oposto, tgC = no caso o lado BC, que mede 3 cm. O lado cateto adjacente ao ângulo C que está formando o ângulo  junto com a hipotenusa é o cateto adjacente, no exemplo, tgC = 4 o lado AB, que mede 4 cm. 3 Calculando:
s. i a r to u a
sen = cateto oposto ao ângulo  hipotenusa sen = 3 5
s o it cos = cateto adjacente ao ângulo  e r 1.1 Teorema de Pitágoras hipotenusa di s Dado ootriângulo retângulo: cos = 4 sA 5 o d o tg = cateto oposto ao ângulo  t 12 s cateto adjacente ao ângulo  o d a tg = 3 v r 4 e B C s 16 e Observamos ainda que é possível R fixar o Vamos calcular o seno, o cosseno e a ângulo C. Dessa forma, o cateto oposto ao ân. tangente do ângulo agudo Â. Verificamos, a mede 3 gulo C mede 4 cm, o cateto adjacente d porém, que não é fornecida a medida da cm e a hipotenusa, como vimos,amede 5 cm. hipotenusa. Para determiná-la, utilizamos o iz r Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “o o e tangente do Calculando seno, cosseno t quadrado da medida de hipotenusa é igual ângulo agudo C, temos:u à soma dos quadrados das medidas dos caa tetos”. Ou seja, o senC = catetoãoposto ao ângulo C n hipotenusa (hipotenusa) = (cateto) + (cateto) ia senC =p4 ó Designando por x a medida da hipo C 5 2
2
2
tenusa, obtemos:
cosC = cateto adjacente ao ângulo C hipotenusa
x2 = 122 + 162 x2 = 144 + 256 x2 = 400 x = √400 x = 20
cosC = 3 5
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. Portanto, a medida da hipotenusa é 20.
010G/16
Instituto Monitor
○
○
Cópia não autorizada. Reservados direitos autorais. Com essa informação, podemos normal1.2 todos Relações os Trigonométricas ○
○
mente calcular seno, cosseno e tangente do ângulo Â.
○
○
○
A tabela abaixo apresenta as relações trigonométricas com os ângulos de 30o, 45o e 60o. A partir dos valores de seno, cosseno e tangente, é possível calcular as medidas dos catetos e hipotenusa.
○
○
○
cateto oposto ao ângulo  hipotenusa
○
sen =
○
s. i Relação trigonométrica 30 ra 45 60 t1o 2 3 cateto adjacente ao ângulo  Seno u cos = a 2 2 2 hipotenusa s 12 3 3 2 1 cos = = Cosseno to 20 5 i 2 2 2 e r 3 cateto oposto ao ângulo  Tangente 1 3 di tg = 2 s cateto adjacente ao ângulo  o s o Vejamos, de forma prática, como aplicar 16 4 d tg = = esseo conhecimento. 12 3 t s o Uma escada está apoiada num muro, forEm circuitos de corrente alternada em série, d mando com o solo um ângulo de 30 . Qual a fazemos uso do triângulo retângulo, por exemplo: a v altura do muro, se a escada tem 10 metros de r comprimento? e s e R aaaaaa Z (impedância) . aaaaaa 10 m a aaaaaa aaaaaa d X aaaaaa a (Reatâncias) Muro aaaaaa z x aaaaaa ri aaaaaa R (Resistência) o aaaaaa t aaaaaa 30 u aaaaaa a aaaaaa Podemos através do Teorema de Pitágoras o encontrar o valor da hipotenusa, representada nãesta caracteriza um imporpela impedância, a que estudaremos no curso. tante fator elétrico, i Considerando o muro, a escada e o solo, óp C temos um triângulo retângulo, com hipotenusa ○
○
○
16 4 = 20 5
o
o
o
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○
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sen =
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o
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○
○
○
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o
medindo 10m e um ângulo de 30o. Queremos determinar o valor do cateto oposto a esse ângulo. Para isso, vamos utilizar a fórmula do seno:
○
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○
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○
○
○
Antes de continuar os estudos, faça o exercício 3 desta lição.
○ ○ ○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados ○
○
○
cateto oposto ao ângulo de 30o hipotenusa todos os direitos autorais. o
○
○
010G/17
sen 30 =
Instituto Monitor ○
os direitos todos não aautorizada. Cópia adjacente autorais. o seno cateto tabela, vemos queReservados Consultando o ○
cos60 =
○
○
. A altura do muro será x.
hipotenusa
○
1 2
○
de 30o é igual a Assim:
○
x 1 = 2 25 2x = 25 25 = 12,5 x= 2
○
cateto oposto ao ângulo de 30o seno 30 = hipotenusa
○
○
○
o
○
s. i a r cm. Portanto, o valor de x é 12,5 to Resolvendo a igualdade, temos: u 1.3 Uso da Calculadora Científica a 2. x = 1 . 10 s Em Eletrônica, iremos 2x = 10 to estudar a potência i circuito de corrente alterreal em qualquer e 10 x= rforça i sobre cargas elétricas nada e, também a 2 d entre outros conceitos, onde em movimento, x=5 é necessária osa determinação do seno, cosseno s de um determinado ângulo, sendo e tangente Portanto, o muro tem 5 metros. o científica, um excelente instrua calculadora d o mento Vamos, agora, pensar numa pilha de lit na agilização dos cálculos. vros apoiada numa estante, com o livro mais s o • Ao se determinar o seno do ângulo de 65 , próximo da lateral da estante formando um d faremos: ângulo de 60 com a mesma, assim: a v r Digitamos 65 e apertamos a tecla sin e lemos e no visor 0,9063 es R Então, sen 65 = 0,9063. . a • Ao se determinar o cosseno do ângulo de 65 , d a faremos: z i 60 r Digitamos 65 e apertamos a tecla cos e lemos o x t no visor 0,4226 u a Então, cos 65 = 0,4226. o • Ao se determinar a tangente do ângulo de 65 , nã faremos: a i Digitamos 65 e apertamos a tecla tan e lemos óp no visor 2,1445 C ○
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1 x = 2 = 10
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Então, tg 65o = 2,1445.
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• Ao se determinar o seno do ângulo de 82o, A altura do triângulo formado pelo livro, faremos: se considerarmos este ângulo, estará corresDigitamos 82 e apertamos a tecla sin e lemos pondendo ao cateto adjacente, e temos a hipono visor 0,9902 tenusa que vale 25 cm. Assim, a fórmula a ser utilizada autorais. Cópiaé:não autorizada. Reservados todos 82o =direitos Então, senos 0,9902. ○
○
○
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○
010G/18
Instituto Monitor
não autorizada. Reservados todos osdedireitos •Cópia Ao se determinar o cosseno do ângulo de 2. Conversão Unidadesautorais. o 82 , faremos: Vejamos a medida de um arco usando Digitamos 82 e apertamos a tecla cos e lemos o radiano (rad) como unidade. Observe as no visor 0,1392 figuras: Então, cos 82o = 0,1392. • Ao se determinar a tangente do ângulo de 82o, faremos: Digitamos 82 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 7,1154
360o
o
Então, tg 82 = 7,1154.
2π rad
A calculadora pode facilmente dar a medida do ângulo, tendo o valor do seno, cosseno ou tangente. Assim, se tivermos sen = 0,9063, com o uso da função arco seno ou sin-1, teremos a indicação no visor 64,9989.
s o d o t
Dessa forma o ângulo  ≅ 65o
os
s o it e r di
s. i a r to u a
180o
270o
3π rad 2
90o
s o π rad d π rad 2 1) Sabendo que cos = 0,4226, determine a va π r 2 medida do ângulo Â. e 2.1 Conversão de Graus em Radianos es Na calculadora, usaremos arco cosseno, R basta digitar 0,4226 e apertar a tecla cos e . Para converter graus em radianos, utilia aparecerá no visor 65,0011. d zamos a regra de três simples, considerando Então, o ângulo  ≅ 65 za a equivalência: i r 2) Sabendo que tg = 2,1445. determine a o • 360 equivale a 2π radianos medida do ângulo Â.ut a 3π Na calculadora,ousaremos arco tangente. • 270 equivale a 2 radianos Digitamos 2,1445ãe apertamos a tecla tan e n 64,9999. aparecerá no visor • 180 equivale a π radianos a i Então,po ângulo  ≅ 65 • 90 equivale a radianos ó C Outros exemplos:
-1
o
o
o
-1
o
o
o
Antes de continuar seus estudos, faça o exercício 4 desta lição.
Por exemplo, para converter 60o em radianos, procedemos assim: Graus Radianos 180..................................................... π 60 ................................ x
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G/19
Instituto Monitor
○
○
Cópia Reservados direitos Por se não tratar autorizada. de grandezas diretamente 2.2 todos Conversãoos de Radianos em autorais. Graus ○
○
proporcionais, basta multiplicá-las em cruz:
○
Para transformar radianos em graus, fazemos o processo inverso. Exemplos:
○
60π , simplificando temos: 180
○
1) Converta π rad em graus: 5
s. i a Graus Radianos r 180 .............................. π to auπ x ................................. s 5 o it cruz temos: Multiplicando e em r dπ i πx = 180s. o 5 πx =s36π x =o36 d o t
○
○
x=
○
○
○
○
180x = 60π
○
○
○
○
○
π x= rad 3
○
○
○
π rad 3
○
○
Portanto, 60o =
○
○
○
○
○
Façamos mais um exercício: o de converter 70o em radianos.
○
○
○
○
Graus Radianos 180 .............................. π 70 ................................ x
○
○
○
o
2) Converta 3π rad em graus: s o d Graus Radianos va 180 .............................. π ○ ○
○
○
x ................................. 3π
○
○
○
πx = 180 . 3π 180 . 3π x= π x = 540o
○
r e es R . a 7π d Portanto, 70 = rad 18 za i or t au o ã n a i p ó C
○
○
○
○
○
180 . x = 70 . π 180x = 70π 70π x= 180 7π x= 18
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/20
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
ia p ó C
o ã n
s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au
s o d o t
os
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ia p ó C
o ã n
s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au
s o d o t
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s o d o t
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o ã n
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s o d o t
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ia p ó C
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s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au
s o d o t
os
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lição
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3
Números Complexos • z = 8i
Introdução
• z = 5 – 7i
s. i a r to u a
s o Vamos, agora, identificar partes real e itnúmerosascomplexos: imaginária de alguns e ir d • – 8 + 5i Parte real: os– 8 s Parte imaginária: 5 o d 1. Definição • 5 t–o4i s Parte real: 5 Chamamos de complexo todo número o Parte imaginária: – 4 composto de duas partes: uma parte real e d a outra imaginária. v •6–i r e Parte real: 6 s A forma algébrica de um número compleParte imaginária: –1 e xo é dada por: R . •–6 a z = a + bi d Parte real: – 6 a Parte imaginária: 0 iz r Onde: o • a e b são números reais. t Antes de continuar seus estudos, faça o au e é igual à raiz qua• i é a unidade imaginária, exercício 1 desta lição. drada de (- 1), ou o seja, i = √- 1. Ao elevarmos ã i ao quadrado,nteremos: i = (√- 1 ) = - 1. iareal a é a parte real do número O número p complexoóz e o número real b é a parte imaC ginária do número complexo z. Os números complexos constituem uma extensão dos números reais; eles surgiram a partir da necessidade de se realizar operações que no campo real não tinham solução, como a extração da raiz quadrada de números negativos. Esse conhecimento é importante, por exemplo, em eletrônica.
2
2
Exemplos: • z = 3 + 5i • z = – 3 + 6i
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G/27
Instituto Monitor
Cópia não com autorizada. Reservados todos eos direitos autorais. 2. Operações 3. Módulo Argumento Números Complexos 3.1 Módulo
2.1 Adição e Subtração Para efetuarmos a adição de números complexos, somamos: parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária. Para subtrairmos, fazemos o mesmo: subtraímos parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária.
O módulo de um número complexo z = a + bi, representado por lzl, está associado a um ponto P representado num plano. Assim: y
b
Exemplos:
s o it e r di θ
s. i a r to u a P (a, b)
lzl
a) Dados os números complexos: z1 = 3 + 4i e z2 = – 5 + 7i. Efetue a soma:
0
os
z1 + z2 =
a
x
s o d Destacamos o módulo de z e indicamos o por t |z|, que corresponde à distância da oris gem até P. o d Fizemos a adição algébrica da parte real Assim, com a parte real (3 e – 5), o mesmo ocorrendo va r com a parte imaginária (4i e 7i). e s e z –z = R . (3 + 4i) – (–5 + 7i) = Exemplos: a d 3 + 4i + 5 – 7i = za 8 – 3i • O módulo do número complexo z = 4 – 3i é: i r osinais na hora de t Obs.: lembre-se da regra de 16 25 eliminar os parênteses, au(–) com (–) = (+). o ã • O módulo do número complexo z = 4 + i é: n ia p ó C Antes de continuar seus (3 + 4i) + (– 5 + 7i) = 3 + 4i – 5 + 7i = – 2 + 11i
1
2
estudos, faça os exercícios 1,2 e 3 desta lição.
3.2 Argumento
O argumento de um número complexo z é a medida do ângulo θ. Em Eletrônica, este ângulo poderá ser negativo, indicando desta forma a reatância capacitiva, diferenciando da reatância indutiva que tem ângulo positivo.
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G/28
Instituto Monitor
○
○
○
○
Cópia autorizada. os direitos autorais. Determinação da medida do ângulo θ 4. Forma não Trigonométrica ou Reservados todos (argumento), por arco tangente, representada Polar do número complexo ○
○
por arc tg.
Cálculo de arc tg b = a 1 arc tg = 1
○
○
○
○
○
Em Circuitos Elétricos, o número complexo na sua forma trigonométrica assume a seguinte representação |z| ∠ θ
○
s. i a r to O número complexo z = u 1 + i, expresso na Querendo escrevê-lo na forma |z| ∠ θ, tea forma |z| ∠ θ é √ 2 ∠ 45 s remos que determinar inicialmente, o módulo |z| e o ângulo θ . to Para efeito de ioperações de adição e e subtração, é conveniente fazer a conversão r i Cálculo do módulo de 4 + 3i ⇒ |z| = √ 4 + 3 = para a forma algébrica z = a + bi, e efetuar a d √ 16 + 9 = √ 25 = 5 operação. s o Onde a = |z| . cos θ e s Para a determinação da medida do ângulo o b = |z| . sen θ θ (argumento), podemos também recorrer a d arco tangente, representada por arc tg (conto siderando condições bem determinadas, é ins Exemplo: o versa à tangente). d Escrever o número complexo 4 ∠ 60 na a v Cálculo de arc tg b = forma algébrica a + bi. r a e arc tg 3 = es Vamos determinar os valores de a e b, 4 R sabendo que: . arc tg 0,75 = 37 a d a = |z| . cos θ aa calculadora Ao fazer arc tg 0,75, usando z científica, seguimos o processo: ri a = 4 . cos 60 o t a =4. 1 u a tecla tan , apareDigite 0,75 e pressione a 2 cerá no visor 36,8698976 ≅ 37 o a= 2 nã complexo z = 4 + 3i pode Assim, o número b = |z| . sen θ a forma |z| ∠ θ ficando, então, ser expresso ina 5 ∠ 37 óp b=4.√3 C 2 ○
Por exemplo, considere o número complexo z = 4 + 3i, vimos que ele se encontra na forma algébrica.
○
○
○
○
○
○
arc tg 1 = 45°
○
○
○
○
○
○
o
○
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
2
○
○
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
○
○
o
○
○
o
○
○
-1
○
o
○
○
○
○
○
o
○
○
○
○
o
○
○
○
Outro exemplo:
b= 2√ 3
○
○
○
Escrever o número complexo z = 1 + i, na forma |z| ∠ θ
○
○
Então, a forma algébrica de 4 ∠ 60o é 2 + 2√ 3 i
○
○
○
Cálculo do módulo de 1 + i ⇒ |z| = √ 12 + 12 = √1+1 = √2
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/29
Instituto Monitor
○
○
○
○
○
Cópia não autorizada. os direitos Agora vamos adicionar os autorais. argumentos 5. Multiplicação e Divisão de Reservados todos o o o 60 + 43 = 103 Números Complexos na Forma Trigonométrica ou Polar o ○
○
O resultado é: z1 . z2 = 18.000 ∠ 103
○
○
Utilizando a representação |z| ∠ θ ,vamos efetuar a multiplicação e a divisão dos números complexos.
○
○
5.2 Divisão
○
s. i a r e z =to2 ∠ 36 au
○
○
Neste caso, dividimos os módulos e subtraímos os argumentos:
○
○
5.1 Multiplicação
○
Sejam z1 = 6 ∠ 45o
o
2
○
○
○
Neste caso, multiplicamos os módulos e adicionamos os argumentos:
s o Sejam z = 120 ∠ 60 e z = 150 ∠ 43 it dividir os módulos Vamos inicialmente e r 6:2=3 Determine z . z . di s Agora ovamos subtrair os argumentos Vamos inicialmente multiplicar os módu45 36 = 9 s los 120 . 150 = 18.000 o d O resultado é z : z = 3 ∠ 9 o t s o d a v r e es R . a d za i or t au o ã n a i p ó C ○
Determine z1 : z2.
○
o
○ ○
2
2
○
○
○
1
○
○
○
1
°
o
o
○
○
○
o
○
o
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/30
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Exercícios Propostos
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
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○
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○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s. i a r 2 - Efetue as operações indicadas: 1 - Identifique a parte real e a parte imagito u nária dos números complexos: a a) (4 + i) – (7 + 3i) s a) 8 + 4i to i re i d s o s b) (3 + o 8i) + (10 + 14i) b) 6 – 10i d to s o d a v r c) 7 – 4i e s c) (– 2 + 7i) – (7 + 4i) e R . a d a z i d) 10 + 15i or t d) (6 – 8i) + (4 – 7i) au o ã n a e) – 8 + 4i i óp C ○
○
○
○
○
e) (– 8 – 10i) – (14 – 8i)
○
○
○
○
○
○
f) – 4 + 10i
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/31
○
○
Reservados todos os direitos autorais. b) 6 – 8i
○
○
○
○
○
○
○
○
○
autorizada. f)Cópia (8 + 5i) – não (–7 + 3i)
○
c) 3 + 4i
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
g) (1 + i) + (5 + 2i)
d) –3 + 2i
○
○
○
○
h) (3i) + (8 + 6i)
○
○
os
s o it e r di
s. i a r to u a
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s o d o 4 t- Dados os números complexos a seguir, i) (24 + i) – (14 – 2i) s o efetue as operações indicadas: d a a) Sejam z = 8 ∠ 30 e z = 4 ∠ 300 v r e Determine z . z . es R . j) (-3 + 7i) + (-2 + 10i) a d za i or t au 3 - Determine o módulo o dos números comã plexos: n a i a) 2 + 3i p ó C ○
o
o
2
○
○
○
1
2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
1
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/32
○
○
○
○
o Cópia todos direitos autorais. b) Sejam znão = 2 ∠autorizada. 45o e z2 = 3 ∠ 60Reservados 90 ∠ 65o e z2 = 15 ∠ 35o d) Sejam z1 = os 1
Determine z1 : z2.
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Determine z1 . z2.
○
○
○
c) Sejam z1 = 15 ∠ 45o e z2 = 5 ∠ 20o
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
Determine z1 : z2.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
a i óp C
o ã n
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
s o d a v r e s e R . a d a iz r o t au
s o d o t
os
s o it e r di
s. i a r to u a
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/33
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Resolução dos Exercícios Propostos ○
○
○
1 = 16
○ ○
○
1 16
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
3
a) log832 = 8c = 32 3 c 5 (2 ) = 2 3c 5 2 =2 3c = 5 5 c= 3
○ ○ ○ ○
b) log27243 = c 27 = 243 3 c 5 (3 ) = 3 3c 5 3 =3 3c = 5 5 c= 3 1 c) log4 = 8
○ ○
○
○ ○
c
c
4 =
1 8
2 c
(2 ) =
○ ○
2c
1 23 -3
○
○
2 =2 2c = -3 -3 c= 2
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
i) log21.024 = c 2 = 1.024 c 10 2 =2 c = 10
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
-5
○
e) log5125 = c 5 = 125 c 3 5 =5 c=3
c
3 =3 c = -5
○
a i óp C
o ã n
○
○
5
d) log 100 = c 10 = 100 c 2 10 = 10 c=2
7
c
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
c
○
○
○
○
○
c
○
1 72 7c = 7-2 c = -2 c
7 =
○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
3
s o d o t
○
g) log3243 = c 3 = 243 c 5 3 =3 c=5
s o d a v r e s e 1 R h) log = . 243 a d 1 3 = za i 243 or t 1 3 = u 3 a ○
1 = 49 1 c 7 = 49
c) log7
os
○
○
○
○
○
b) log749 = 7c = 49 c 2 7 =7 c=2
1 24 c -4 2 =2 c = -4 2c =
○
○
○
○
○
○
○
○
○
c
2 =
○
○
○
○
1 - Calcule: a) log232 = 2c = 32 c 2 = 25 c=5
○
f) log2
○
○
○
○
Lição 1
s. i a r j) log 343 =to 7 = 343 au 7 =s7 o ct = 3 i re i 2d- Calcule:
○ ○ ○
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/35
Instituto Monitor ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
-4
○ ○ ○
sen =
6 3 = 10 5
cos =
cateto adjacente hipotenusa
cos =
8 4 = 10 5
○
○
○
○
○
○
○
○
cateto oposto hipotenusa
○ ○ ○ ○ ○
cateto oposto cateto adjacente
tg =
6 3 = 8 4
○
○
tg =
○ ○ ○ ○ ○
b) cateto oposto hipotenusa
senC =
8 4 = 10 5
cosC =
cateto adjacente hipotenusa
cosC =
6 3 = 10 5
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
senC =
○ ○
tgC =
cateto oposto cateto adjacente
○
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○
○
8 4 Reservados todos os autorais. tgC =direitos = ○
○
sen =
○
5 13 cateto oposto tg = cateto adjacente 12 tg = 5 cos =
c) log 1000 = 10c = 1000 c = 103 autorizada. Cópia10não c=3 ○
○
○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○
○
○
○
○
13 cateto adjacente cos = hipotenusa
s. i 12 a cosC = r 13 to catetouoposto tgC = a cateto adjacente s 5o tgC = it re12 i d
○
○
○ ○ ○
○
○
○
○
○
c
○
○
10c = 100 102 = 100 c=2
○
a i ólogp 100 = b) C
○
o ã n
○
a) log 10 = 10c = 10 10c = 101 c=1
cateto adjacente hipotenusa
○
○
○
c
○
3 - Calcule:
cosC =
2s o a)
○
○
○
○
○
○
○
s o d o t h) log 0,0001s= o 10 = 0,0001 d 10 v =a 10 r ce= -4 s e2 Lição R . 1ada) a iz sen = cateto oposto r hipotenusa o t 12 sen = au ○
3 c= 2
5 13
○
○
○
○
g) log 0,001 = 10c = 0,001 10c = 10-3 c = -3
○
f) log48 = c 4 =8 (22)c = 23 2c 3 2 =2 2c = 3
senC =
○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○
○
○
○
○
f) log 0,01 = 10c = 0,01 10c = 10-2 c = -2
○
e) log49343 = c 49 = 343 2 c 3 (7 ) = 7 2c 3 7 =7 2c = 3 3 c= 2
cateto oposto hipotenusa
○
-3
5 =5 2c = -3 3 c=2
○
○
○
e) log 0,1 = 10c = 0,1 10c = 10-1 c = -1
○
2c
1 53
○
(52)c =
senC =
○
○ ○ ○ ○
1 125
○
c
25 =
○
10c = 10.000 10c = 104 c=4
○
=
○
125
○
d) log25
○
○
Cópia não autorizada. Reservados 1 d) log 10.000 = todos os b) direitos autorais.
○
○
○
○
○
010G/36
6
3
Instituto Monitor
3Cópia -
não autorizada. Reservados os direitos autorais. √3 todos y
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
2
x2 = 62 + 82
x2 = 100
y = 4√3 metros
x = 10
sen =
cateto oposto hipotenusa
sen =
8 4 = 10 5
5 - Converter: a) 40o em rad
6 3 = 10 5
tg =
cateto oposto cateto adjacente
tg =
8 4 = 6 3
x
aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa60 aaaaaa aaaaaa aaaaaa y aaaaaa aaaaaa o
cos60o =
a i óp C
cos60o = 1 x = 2 8
x 8
40
x
os
s o d a v b) 50 em rad r e s 8m 180 π e R . x 50 a d 180 x = 50 π Π za i 50 π 5π or x = rad = t 180 9 au o
c) 100o em rad 180
π
100
x
180 x = 100 π 100 π 5π x = rad = 180 9
cateto oposto hipotenusa
y o = sen60 Cópia 8
π
s o d o t
x = 4 metros sen60o =
180
s o it e r di
180 x = 40 π 40 π 2π x = rad = 180 9
cateto adjacente hipotenusa
o ã n
s. i a r to u a
Resposta: a altura do muro é de 4 metros e a distância do muro à base da escada é de 4√3 metros.
cateto adjacente cos = hipotenusa
4-
8
2y = 8√3
x2 = 36 + 64
cos =
=
não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
○
○
○
010G/37
Instituto Monitor ○
4π 3 π x = 240 π x = 240 o
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
8 - Usando a calculadora científica, dê o valor: a) ≅ 80
o
b) ≅ 74
○ ○ ○
c) ≅ 83
o
d) ≅ 37
o
○ ○ ○
o
e) ≅ 28 f) ≅ 44
○ ○ ○ ○
○
○
f) 0,9657
Lição 3
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
e) 0,8829
○ ○
1 - Identifique: a) 8 + 4i Parte real = 8 Parte imaginária = 4
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○
Cópia não autorizada. xReservados todos = 108 o ○
d) 0,6018
○
○
○
○
○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
3π 5 π x = 108 π π x = 180.
c) 8,1443
o
○ ○ ○ ○ ○
x
3π 5
b) 0,2756
o
○
○
o
s o it e r di a) 0,9848
7 - Usando a calculadora científica, dê o valor:
○ ○ ○ ○ ○ ○
○
○
○
○
○
○ ○ ○ ○ ○
○
○
○
○
○
s o d o t
s. i a r to u a
π x = 180.
○
○ ○
x = 216 o
○
○
os
○
○
○
○
6π π x = 180. 5 π x = 216 π
○ ○ ○ ○ ○
x = 120 o
○
○
4π π x = 180. 6 π x = 120 π
○
6
○
x
4π 3
○ ○
6π 5
○
x
○
π
○
180
s o d a 180 π v r 7π d) rad e em graus 3 s x 200 e R π 180 . 180 x = 200 π a 7π d 200 π 10 π x a x = rad = 3 180 9 iz r 7π o π x = 180. t 3 u 6 - Converter: a π x = 420 π o 4π x = 420 ã a) rad em graus n 6 a i 3π e) rad em graus p 180 π 5 ó C 4π π 180
f) 200o em rad
x
○ ○
○
○ ○ ○
6π rad em graus 5
○
c)
○ ○ ○ ○
○
180 x = 310 π 310 π 31 π x = rad = 180 18
π
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○ ○
x = 135 o
○
x
○
310
○
π
○
180
180
○
○ ○ ○ ○
3π 4 π x = 135 π
○
e) 310 em rad
rad em graus
○ ○
3π 4
○
x
○
o
3
○
π
○
180
π x = 180.
○
180 x = 120 π 120 π 2π = x = rad 180 3
f)
○
x
rad em graus
○
120
○
π
○
180
4
○
b)
○
○
○
autorizada. 3π Reservados todos os 4πdireitos autorais. ○
Cópia d) 120o em não rad
○
○
010G/38
b) 6 - 10i real = 6 autorais. osParte direitos Parte imaginária = - 10
Instituto Monitor
○
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
s o it e r di
s. i a r to u a
d) –3 + 2i |z| = √ (-3)2 + 22 |z| = √ 9 + 4 |z| = √ 13
○ ○
○ ○ ○ ○ ○
4 - Dados os números complexos a seguir, efetue as operações indicadas: a) z1 . z2 = 32 ∠ 330o
○ ○ ○ ○ ○
b) z1 . z2 = 6 ∠ 105o c) z1 : z2 = 3 ∠ 25o d) z1 : z2 = 6 ∠ 30o
○
○
○
○
○
○
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○
○
○
○
○
○
○
○
2
○
2
○
○
3 - Determine o módulo:
○
○
s o d o t
−3 + 7i − 2 + 10i = − 5 + 17i
s o a) z = 2 + 3i d a c) (−2 + 7i ) − (7 + 4i ) = |z| = √2v + 3 r −2 + 7i − 7 − 4i = − 9 + 3i |z| =e√4 + 9 e|z|s= √13 R . a d za i or t au o ã n a i p ó C 3 + 8i + 10 + 14i = 13 + 22i
os
c) 3 + 4i |z| = √ 32 + 42 |z| = √ 9 + 16 |z| = √ 25 |z| = 5
○
○ ○ ○ ○ ○
j) (−3 + 7i )+ (−2 + 10i ) =
○
b ) (3 + 8i )+ (10 + 14i ) =
24 + i − 14 + 2i = 10 + 3i
○
○
4 + i − 7 − 3i = − 3 − 2i
○
a ) (4 + i ) − (7 + 3i ) =
i) (24 + i ) − (14 − 2i ) =
○
○
2 - Efetue as operações:
○
○
○
3i + 8 + 6i = 8 + 9i
○
○ ○ ○ ○
h ) (3i )+ (8 + 6i ) =
○
f) - 4 + 10i Parte real = - 4 Parte imaginária = 10
○
1 + i + 5 + 2i = 6 + 3i
○
○ ○ ○
g) (1 + i )+ (5 + 2i ) =
○
○
8 + 5i + 7 − 3i = 15 + 2i
○
○
e) - 8 + 4i Parte real = - 8 Parte imaginária = 4
○
f) (8 + 5i ) − (−7 + 3i ) =
○
−8 − 10i − 14 + 8i = − 22 − 2i
|z| = √62 + (- 8)2 |z| = √36 + 64 |z| = √100 |z| = 10
○
○ ○ ○ ○
e) (−8 − 10i ) − (14 − 8i ) =
○
○ ○
6 − 8i + 4 − 7i = 10 − 15i
○
d) 10 + 15i Parte real = 10 Parte imaginária = 15
○
○
Parte real = 7 Parte imaginária = 4
○
○
○
Cópia direitos c) 7 - 4inão autorizada.dReservados z = 6 + 8i autorais. ) (6 − 8i )+ (4 − 7i ) = todos os b)
○ ○ ○
○
○
○
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
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○
○
010G/39
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
Bibliografia IEZZI, Gelson Fundamentos da Matemática Elementar Atual Editora, São Paulo, s/d. GIOVANNI, José Ruy BONJORN, José Roberto Matemática Editora FTD, São Paulo, s/d. DANTE, Luiz Roberto Matemática - Contexto & Aplicações Ática, São Paulo, s/d.
s o d BIANCHINI, Edwaldo a PACCOLA, Herbal v r Matemática e Editora Moderna, São Paulo, s/d.s e R . a d a iz r o t au o ã n a i p ó C
s o d o t
os
s o it e r di
s. i a r to u a
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. ○
○
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○
○
010G/40
Pesquisa de Avaliação
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 010G - Matemática Aplicada II Caro Aluno:
. s i Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um a r material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação. to Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalandou a a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA s alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito no to verso desta folha. i re Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se deijuntar sua(s) d pesquisa(s) respondida(s). s o O Instituto Monitor agradece a sua colaboração. s o A Editora. d o t Nome (campo não obrigatório): _______________________________________________________________ s o N de matrícula (campo não obrigatório): _____________________ d a Curso Técnico em: v r Eletrônica Secretariado Gestão de Negócios e s Transações Imobiliárias Informática Telecomunicações e Contabilidade R . QUANTO AO CONTEÚDO a d a 1) A linguagem dos textos é: iz muito a compreensão da matéria estudada. a) sempre clara e precisa, facilitando r o e precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada. b) na maioria das vezes clara t c) um pouco difícil, dificultando a compreensão da matéria estudada. au d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada. o e) outros: ______________________________________________________ ã n 2) Os temas abordados nas lições são: a a) atuais eiimportantes para a formação do profissional. b) atuais, ópmas sua importância nem sempre fica clara para o profissional. C mas sem importância para o profissional. c) atuais, Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar.
o
d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional. e) outros: ______________________________________________________ 3) As lições são: a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo. b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco. c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo. d) muito curtas e pouco aprofundadas. e) outros: ______________________________________________________
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais.
QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Cópia não autorizada. Reservados todos os direitos autorais. 4) Os exercícios propostos são: a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos. c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição. d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição. e) outros: ______________________________________________________
s. i a r to u a
5) A linguagem dos exercícios propostos é: a) bastante clara e precisa. b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto. c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la. d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios. e) outros: ______________________________________________________
s o it e 6) O material é: r a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando di o estudo bastante agradável. b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização. os c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão do mesmo. s d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica. o e) outros: ______________________________________________________ d to 7) As ilustrações são: s do texto. a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação o b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão ad do texto. c) malfeitas, mas necessárias para a compreensão v e fixação do texto. r d) malfeitas e totalmente inúteis. e e) outros: ______________________________________________________ es R seus comentários e sugestões, bem como apontar Lembre-se: você pode fazer . algum problema específico a encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade! d za i PAMD1 r o Sugestões e comentáriosut a o nã a i óp C QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA
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