Taller Sobre Conjuntos y Logica de Proposiciones 2017

TALLERES SOBRE CONJUNTOS Y LÓGICA DE PROPOSICIONES

CONJUNTOS Definir por Comprensión los siguientes conjuntos: 1. A =  1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, 1/36  2. B = 1, 3, 5,7, 9, 11, 13, 15,........ 15 ,........  3. C =  -10,-9,-8,..............,8,9,10 -10,-9,-8,..............,8,9,10  4. D =  -2,3,0,7  Definir por extensión o tabulación los siguientes conjuntos: 1. B =  1/(x+y)/  1/(x+y)/ ( y = x + 2 O x = y + 2 ), x  I >1  2. C = x/x  D , D  F , F = a, b, c, d, e, f  H = a, b, c, d, e, f, g  , D  H 3. M = 1/x/ z = 2x + 3, y z  E  , E =  1, 2, 3, 0.5, 1.5  4. W =  ( t/ ( t + 1) 1 ) / t  B y ( t  D y t  C  , C  ( B y D ) B = 1/x / y = ( ½ - x)/x, 0  y  3, yI  0  D =  z/( z = 2 + 3x ) O ( x = z - 4 ), 0  x  4, x  I  ¿Tiene un conjunto infinito un subconjunto finito? ¿Por qué? Determinar el conjunto potencia potencia de A={ { 1 }, 1 }, B={} Hallar el conjunto cuyo conjunto potencia está dado por: 1. ={{},{4,5,6},{4,5},{4,6},{5,6},{ ={{},{4,5,6},{4,5},{4,6},{5,6},{4},{5},{6}} 4},{5},{6}} Determine los elementos de A y B si se conoce que: Emplear diagramas de Venn tantas veces como sean necesarios, para sombrear cada uno de los conjuntos que a continuación se indican: 1. ( P'  Q' )  ( Q'  R' )  ( P'  R' ) 2. [ ( A  B' )  ( A'  B ) ]  ( A  B ) 3. { [ (P'  Q' )  ( P  Q' ) ]  [ ( P'  Q )  ( P'  Q' ) ] } 1

Represente mediante diagramas de Venn los siguientes conjuntos: 1.

U = { x / -5

B={x/5

  x 

15 , x

  x   12

R}

y

,x

R} ;

2. C = { x / 7

  x   13

,x

R}

3.  A = { x /

0

  x   10

,x

I}

C={x/0

  x   11

,x

R}

A = { x / -2

  x   8

,x

I}

B={x/1

  x   8

,x

R} ;

; y

U={x/x

;

R}

4.  A  B; B y C son intersecantes; B y D son intersecantes; C y D son no intersecantes y no comparables; A y D son no intersecantes; A y C son no intersecantes. 5. Ay B, B y C, C y D son intersecantes y no son comparables. Son no intersecantes A y C, A y D, y B y D. Supóngase que el conjunto universo consta de todos los puntos (x,y) cuyas coordenadas son enteros y quedan dentro o sobre el contorno del cuadrado acotado por las rectas x = 0, y = 0, x = 6, y = 6. Indique los elementos de los siguientes conjuntos: A = {(x,y) / x² + y²   6 } 1. B = { (x,y) / x   y² } 2. Bajo que condiciones las siguientes proposiciones son verdaderas: 1. M ∩ L ‛ = M 2. M U L = M ∩ L 3. (A U B ) ∩ B ‛= A 4. M ∩ L = L 5. (A ∩ B ‛) U B = A U B 6. A ∩ A ‛= Ø Muestre gráfica y analíticamente que: 1. ( A – B ) U ( B – A ) = ( A U B ) – ( A ∩ B ) 2. A – ( A – B ) = A ∩ B 3. A ‛ U B = ( A – B  )‛ 4. [ ( A U B ) ‛ U B ] ∩ [ B ‛ U ( A U B ) ] = ( A – B )‛ 5. [ A – ( B U C)] U (B – A ) = [ (A U  B) – (A ∩ B)] - ( A ∩ C) 2

6. AUBUC = (A∩ B ‛)U(B ∩ C ‛)U(C ∩ A ‛) U [(A ∩ B) ∩ (CUB ‛)] 7. (AUBUC)‛ U [(B ∩ C) – A] = [( B U C)‛ U(B ∩ C)] - A

Determinar el Número de elementos de los siguientes conjuntos: 1. A-(B U  C) = 2. B - (B ∩ C) = 3. (A U B U C)' = Dadas las siguientes condiciones:  x/x A y ( x (B o C) )  = d, k, a, e  x/x (B o C)  = a, b, c, d, e, f,...........,j, k  U = a, b, c, d, e, f,...................,m, n, o   x/xB y ( xC) = d, g, h, i, j, k   x/x (B y C)  = a, b, c, d, g, h, i, j, k, l, m, n, o   x/x (A o B o C)  = n, o Dadas las siguientes condiciones: A - C = {2,3,7} C – (A ∩ B ) = {4,5} C – A' = {4,8,9} B – C = {1,2,3,6} C  (A U B ) Determinar: 1. n (( A U B ) ∩ B') 2. n ( A U B U C) 3. { x/x ε[ (A-B ) - C ] } Determinar los elementos de los conjuntos A, B, si se conoce que: ( A – B ‛ ) ‛ = { 1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10 } ( B ‛ U A ) = { 7, 8, 9, 10, 4, 5 } ( A ∩ A ‛ ) ‛ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } ( A U B  )‛ = { 7, 8 } Resolver los siguientes problemas: 1. Suponga que Juan toma huevos o tocino (o ambos) para su desayuno cada mañana durante el mes de enero. Si come tocino 25 mañanas y huevos 18 mañanas, ¿Cuántas mañanas come huevos y tocino? 3

2. De un grupo de 1000 hombres se sabe que: 800 llevan reloj; 800 llevan paraguas; 800 llevan corbata; y 800 llevan sombrero. Se pregunta: ¿Cuál es el número mínimo de hombres que llevan las cuatro cosas? 3. A una reunión asistieron 26 personas, entre ellas había: 20 militares; 13 Universitarios; 17 mexicanos; 8 militares universitarios; 12 militares mexicanos; y 11 universitarios mexicanos. Se pregunta: a) ¿Cuántos mexicanos eran militares y universitarios a la vez? b) ¿Cuántos mexicanos eran militares o universitarios, pero no las dos cosas a la vez? 4. De un grupo de 84 personas, existe igual número de mujeres que de hombres; 29 personas son trabajadoras: 10 mujeres y seis hombres son sólo inteligentes; 9 mujeres son sólo habladoras; 8 mujeres sólo trabajan. El número de personas que son habladoras e inteligentes, es igual al número de personas que son inteligentes y trabajadoras; 17 personas son sólo habladoras; 5 mujeres y ocho hombres no son inteligentes ni habladores peor aún trabajadores. No hay personas que sean inteligentes, habladoras y trabajadoras. Se pide: a) ¿Cuántas personas son inteligentes y habladoras? b) ¿Cuántas personas son inteligentes? c) ¿Cuántos hombres son sólo trabajadores? 5. 86 personas pueden elegir entre las siguientes distracciones, Cine, Fútbol, y Básquet, los tres espectáculos se llevan a cabo el día domingo a diferentes horas, por lo que una persona puede asistir a los tres espectáculos. Al día siguiente se encuesta a estas personas y se conoce que: 22 personas de las cuales 7 son mujeres permanecieron en sus casas; el número de personas que fueron al Fútbol y al Cine, es igual al número de personas que fueron sólo al Fútbol o sólo: al Fútbol y al Básquet; y es igual al número de hombres que fueron sólo al Cine; ningún hombre asistió al Básquet; hay dos mujeres que asistieron a los tres espectáculos; cinco mujeres fueron al Fútbol y al Básquet; diez mujeres fueron 4

al cine pero no al Fútbol; el número de mujeres que asistieron sólo al Cine igual al de mujeres que fueron al Cine y al Básquet; 25 mujeres fueron al Fútbol o al Básquet; 9 mujeres fueron sólo al Básquet; once mujeres fueron sólo al Básquet o sólo al Fútbol; además se determinó que de los encuestados 40 son adultos hombres, y 8 son niños. Se pregunta: a) ¿Cuántas personas asistieron sólo: al Fútbol y al Cine? b) ¿Cuántas personas asisten sólo al Fútbol? c) ¿Cuántas mujeres asisten sólo al Fútbol o sólo al Cine? d) ¿Cuántos hombres asistieron a los dos espectáculos? e) ¿Cuántas mujeres asistieron al Fútbol o al Cine? 6. El departamento de personal de una empresa clasifica a sus empleados según el sexo, escolaridad, el departamento en que trabaja y la edad. Una vez tabulados los datos, se obtuvo la siguiente información: 20 personas son hombres, bachilleres, efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años; 32 personas son hombres, bachilleres, efectúan trabajos administrativos; 30 personas son hombres, bachilleres y tienen menos de 40 años; 35 personas son hombres, efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años 45 personas son bachilleres, efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años; 59 personas son hombres, bachilleres; 65 personas son hombres, con menos de 40 años; 67 personas son bachilleres que efectúan trabajos de administración; 96 personas efectúan trabajos administrativos y tienen menos de 40 años; 59 personas son hombres y efectúan trabajos administrativos; 144 son bachilleres y tienen menos de 40 años; 240 personas son bachilleres; 134 son hombres; 153 efectúan trabajos administrativos; 225 tienen menos de 40 años; 30 personas no reúnen ningunos de los cuatro atributos señalados. Se pregunta: a) ¿Cuántos empleados hay en la empresa? b) ¿Cuántas personas son bachilleres hombres? c) ¿Cuántas personas tienen menos de 40 años? d) ¿Cuántos efectúan trabajos administrativos? 7. Se reparte 180 productos del tipo A, B y C entre 125 personas de tal manera que cada persona le corresponde al menos un 5

producto. 15 personas recibieron productos sólo del tipo A y B ; 35 recibieron (A y C) o (B y C); el número de personas que recibieron sólo A excede en 10 al número de personas que recibieron sólo B. El número de personas que recibieron A es igual al número de personas que recibieron B y es igual al número de personas que recibieron C. Se pide: a) ¿Cuántas personas recibieron los tres tipos de productos? b) ¿Cuántas personas recibieron sólo productos del tipo C? c) ¿Cuántas personas recibieron productos del tipo A y B? 8. En una encuesta a 200 estudiantes, se halló que: 20 estudiantes se comportan bien y no son inteligentes, 13 se comportan bien y no son habladores, 15 se comportan bien y son habladores pero no son inteligentes, 68 se comportan bien, 138 son inteligentes, 160 son habladores, 120 son habladores e inteligentes. Se pregunta: a) ¿Cuántos estudiantes no se comportan bien, no son habladores y no son inteligentes? b) ¿Cuántos estudiantes son habladores e inteligentes pero no se comportan bien? c) ¿Cuántos estudiantes son sólo habladores o sólo inteligentes? 9. En una investigación referente a los hábitos de fumar del consumidor, se efectuó una encuesta y se obtuvo la siguiente información: 55 % fuman cigarrillos P; 50% fuman cigarrillos Q; 40% fuman cigarrillos R; 10% fuman las tres marcas de cigarrillo; 20% fuman las dos primeras pero no la tercera; 18% no fuman las dos primeras pero si la tercera; 7% no ninguna de las marcas mencionadas o no fuma. Se pregunta: a) ¿Qué porcentaje fuma por lo menos dos marcas de cigarros? b) ¿Qué porcentaje fuma exactamente dos de las marcas?

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PROPOSICIONES Decidir si las proposiciones siguientes son verdaderas o falsas y explique el porqué: Siendo Ø = conjunto vacío 1. { Ø, 0, 1 } = { Ø, 1 } 2. { Ø } = { 0 } 3. { x/x N, x < 3 } = { 2, 1 } 4. Ø = { x/x N, ( x + 2 )( x ) = 0 } 5. { {1,1,1}, {1, 1 }, { 1 }, 1 } = { { 1 }, 1 }

Si ( p Λ q ) ↓  p es verdadero; determinar la tabla de valores de verdad de: ( q → t ) ↔ p es : Formar la Negación de  Ɐx (p(x) ↔ (~q(x))) y determinar su valor de verdad en ambos casos. Demostrar que: La negación de para algún valor de x p(x) es lógicamente equivalente a para todo x ~p(x) Qué cuantificador transforma a la siguiente Función Proposicional en verdadera. ( p(x) ↔ q(x) ) ↓  r(x) si: U = { x / x ε  N} y p(x): ( 0 ≤ x ≤ 10 ) ; q(x): ( 5 ≤ x ≤ 12 ) ; r(x): ( 8 ≤ x ≤ 15 ) Luego negar la Proposición y determinar su valor de verdad. Comprobar que se cumplen los siguientes problemas mediante tablas de valores de verdad. 1. (~p V ~q ) Λ ~[ (p Λ q) Λ ~( ~q Λ p ) ] es lógicamente equivalente a: ~(~p → q) 2. ( t  ~p )  s es lógicamente equivalente a ( p  t ) V s 3. ( t  p )  ~ ( s  t ) es lógicamente equivalente a: t V ( p V s) Si ( p Λ q ) ↓  p es verdadero; determinar la tabla de valores de verdad de: ( q → t ) ↔ p es :

Si : p v q es verdadero ; q  t es falso ; p v s es verdadero Determinar la tabla de valores de verdad de :  ( s  (r v t ))  p   (q  u ) 7

Si: ( p → ~q ) ; ~( r ↔  s ) y ( p Λ t ) son todas falsas. Determinar la tabla de valores de verdad de: [ ( p Λ s )  r ] ↔ ( t Λ q ) Si (p v t) es verdadero y (t   q) es falso, que valor de verdad tiene: { [ ( s ↔ q ) v t ] Λ p }  w Si: ( p ↔ q)   p es una tautología; ( t Λ q ) y ( s  t ) son una falsedad , qué valor de verdad tiene: [ ( p  q ) v t ] Λ s Sí (p ↔q ) es tautología, y (p  q) es una contradicción; determinar la tabla de valores de verdad de: { (t  p) v s} ↔ ~q Formar la Negación de  Ɐx (p(x)  (~q(x))) y determinar su valor de verdad en ambos casos si: p(x): ( 0 ≤ x ≤ 10 ) ; q(x): ( 5 ≤ x ≤ 12 ) : U = { x / x ε I } Escriba con símbolos, niegue y determine el valor de verdad en ambos casos: a) Todo valor de y es mayor que cero, si y sólo si existen algunos valores de z tal que z + 12 = 16 b) Ni existen valores que hacen que ( x + 3 ) 2 = x2 + 6x + 9, ni para todo valor de y, y2 – 4 = 0 c) 42 = 16 si y solamente si 3x5 = 15 d) Si todo número natural es mayor que cero, entonces hay algunos que son impares. e) Todos los caminos van a Roma y algunos caminos son impracticables. f) Algunos hombres son soldados o todos los hombres son esclavos. g) Ni algún hombre es mortal, ni todos los hombres son jóvenes.

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