Taller Señales y Sistemas Transformada de Laplace Usando Matlab

TALLER SEÑALES Y SISTEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE USANDO MATLAB

SEBASTIAN EUGENIO PINZON

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER FACUNTAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIAS BUCARAMANGA 2017

TALLER SEÑALES Y SISTEMAS TRANSFORMADA DE LAPLACE USANDO MATLAB

SEBASTIAN EUGENIO PINZON DOCENTE: DOCENTE: WILSON VLADIMIR VLADIMIR ANGARITA MACIAS MACIAS

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER FACUNTAL DE CIENCIAS NATURALES E INGENIERIAS BUCARAMANGA 2017

Tabla de Contenido Objetivos .............................. .......................................................... ........................................................ ....................................................... ........................... 4 Introducción.............. Introducción ............................... ............................................ ....................................................... ................................................... ....................... 5 Taller Transformada de Laplace.................................................... Laplace.............................................................................. .......................... 6 Desarrollo ............................................ ............................................................ ............................................ .................................................... ........................ 7 Desarrollo en MATLAB....................................................... MATLAB................................................................................... ................................... ....... 10 Código .............................. .......................................................... ....................................................... ....................................................... .............................. .. 10 Resultados Command Windows ............................... ........................................................... ............................................ ................ 11 Conclusiones................ Conclusiones ........................................... ........................................... ............................................ .............................................. .................. 13 Bibliografía ............................... ........................................................... ....................................................... ................................................. ...................... 14

Objetivos Desarrollar habilidades habilidades para el manejo de la herrami herramienta enta de de Matlab, Matlab, para · Desarrollar resolver problemas propuestos sobre la transformada de Laplace y todas sus posibles derivaciones y aplicaciones. propuesto sobre transformada transformada de Laplace, transformada transformada · Desarrollar el taller propuesto inversa de Laplace y análisis de sistemas LTI mediante transformada de Laplace de forma escrita y de forma virtual mediante la herramienta de Matlab. Utilizar diversos diversos comandos de Matlab para realizar diferentes diferentes operaciones operaciones · Utilizar para calcular aspectos adicionales de la transformada transformada de Laplace como lo son polos, ceros y los coeficientes para aplicar la transformada inversa de Laplace.

Introducción Matlab que es la abreviac abreviación ión de MATrix MATrix LABoratory LABoratory que es un softw software are de carácter  carácter  interactivo, con el propósito de resolver problemas matemáticos de alta alta complejidad en los campos de la ingenierí ingeniería a y la ciencia; ciencia; que se basan todos sus cálculos cálculos en matrice matrices. s. Con Con Matlab Matlab los los cálculo cálculos s se facil facilita itan n porque porque no no se necesi necesitan tan saber saber de program programaci ación ón para para resolve resolverlo rlos s porque porque solo se debe de coloca colocarr el problem problema a en el entorno de trabajo de forma que Matlab lo entienda de forma adecuada como es el caso de Laplace que es una operación de matemática avanzada que es de amplio uso en la resolución resolución de ecuaciones ecuaciones diferencial diferenciales es para el análisis análisis de señales y sistemas que de ser una operación matemática avanzada se resuelve solo aplicando un comando a la expresión de la señal.

UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER

Taller Transformada Transformada de Laplace Laplace

I.

Propi ropied edad ades es de la la tra tran nsfor sform mada ada de de La Laplac place. e.

1. (Val Valor 1.5) 1.5) Dado la señal x(t) tiene transformada X(s) expresa la transformada de Laplace de las siguientes señales.

 1 () 5 ( ) = 5 (− )

( ) =

( ) = ( ) =

II. II.

()

( ) ∗

()

Anál Anális isis is de sist sistem emas as LTI LTI Util Utiliz izan ando do Lapl Laplac acee

2. (Val Valor 2.0) 2.0) Considere un sistema LTI en el cual la entrada x(t) x(t) y la salida y(t) están relacionadas mediante la ecuación diferencial

( )  5 +

()

− 6 ( ) =

a. Dete Determ rmin ine e H(s) H(s) y el pat patró rón n de pol polos os y cero ceros. s. b. Determ Determine ine h(t) h(t) para para los sigu siguien ientes tes casos. casos. · El sistema es causal · El sistema es estable · El sistema no es causal y no es estable

()

+2 ( )

III. III.

Tran Transf sfor orm mada ada de de Lap Lapllace ace

3. (Val Valor 1.5) 1.5) La entrada y salida de un sistema LTI causal y estable está relacionado por la ecuación diferencial.

( )  6 + Determine y(t) si la entrada

()

( ) =

+ 8 ( ) = 2 ( ) ()

Desarrollo I.

Propiedades

de la Transformada de Laplace

1⁄5 [ ] > −3 +3 1 1 1 ( ) =  ( 5) = 5 − +3 − +3 1 [ ] > 3 ( )= − +3

( ) =

( )=− ( )=

1⁄5 ( + 3) 3)

( ) = 1( ) ( ) =

1⁄5 1⁄5 = ( + 3) +3 3)

[ ] > 3

[ ] > −3

[ ] > −3

2( ) =

1 − +3

⁄5 −3 < (− + 3)( 3)( + 3)

⁄5 (1⁄5) = −3 < ( + 3) (− + 3)( 3)( + 3) [ ] < 3

[ ] < 3

II. II.

a.

Anál Anális isis is de Sist Sistem emas as LTI LTI usa usand ndo o Lap Lapla lace ce

H(s)

( ) + 5 ( ) − 6 ( ) = ( ){

+ 5 − 6} = ( ){

( ) = b.

( )  = ( )

( )+2 ( ) + 2}

+2 +5 −6

Polos y Ceros.

+ 5 − 6 = ( + 6)( − 1) = −6; = 1 +2=0 = ±√  ± √ −2 −2 = ±√  ±√ 2 c.

H(t).

( ) = 1 + ( ) = 1 +

( + 6)

 3 7  38 ( ) = ( ) − 7 =−

38 ; 7

  −5 +8 +5 −6 +

( − 1)

=

 3 ( ) + 6

()

III. III.

Anál Anális isis is de sist sistem emas as LTI LTI Util Utiliz izan ando do Lapl Laplac acee

1 Re[ Re[s] > −2 s+2 s Y(s) + 6sY(s) + 8Y( 8Y(s) = 2X( 2X(s) X(s) =

Y(s){s + 6s + 8} = 2X(s) H(s) =

 Y(s) 2  = X(s) s + 6s + 8

Y(s) = H(s)X(s) 2 1 s + 6s + 8 s + 2 2 Y(s) = (s + 4)(s 4)(s + 2) Y(s) =

Y(s) =

A B1 B2  +  + (s + 4) s + 2 (s + 2) 2)

 1 1 A = ; B1 = 1; B2 = − 2 2 1⁄2 1 −1⁄2 Y(s) =  +  + (s + 4) s + 2 (s + 2) 2) ( ) =

 1 2

( ) +

 1 ( ) − 2

()

Desarrollo en MATLAB Código disp('I.Transformada disp('I.Transformada de Laplace') Laplace') syms t syms t s X(t)= 1/5*exp(-3*t); X1(t)= laplace(X); x2(t)=5*X(-t); X2(t)=laplace(x2); x3(t)=t*X(t); X3(t)=laplace(x3); X4(t)=X2(t)*X3(t)*s; pretty(X1(t)) pretty(X2(t)) pretty(X3(t)) pretty(X4(t)) disp('II. disp('II. Funcion h(s)') h(s)') a(s)=s^2+2; b(s)=s^2+5*s-6; h(s)=a(s)/b(s); pretty(h(s)) disp ('Ceros ('Ceros y Polos') Polos') num=[1 0 2]; den=[1 5 -6]; Ceros=roots(num) Polos=roots(den) disp('Transformada disp('Transformada Inversa de Laplace') Laplace' ) H(t)=ilaplace(h(s)); pretty(H(t)) disp('III. disp('III. Y(s) apartir de X(s)') X(s)') xa(t)=exp(-2*t); Xa(t)=laplace(xa(t)); pretty(Xa(t)) b2(s)=s^2+6*s+8; h2(s)=2/b2(s); pretty(h2(t)) Y(s)=Xa(t)*h2(s); pretty(Y(s)) disp('Transformada disp('Transformada Inversa de Laplace') Laplace') Y(t)=ilaplace(Y(s)); pretty(Y(t))

Resultados Command Windows

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Conclusiones ·

El uso de herramientas web como de software, software, resulta muy práctica para el desarrollo desarrollo de problema problemas s matemáticos matemáticos con es el caso de la transform transformada ada de Laplace ya que involucra graficación y análisis de señales porque Matlab nos ofrece una perspectiva visual y exacta del problema.

·

La complejidad de las señales a las que se busca su transformada en Matlab, Matlab, se ve reflejado reflejado en la complejidad complejidad del del código que se emplee emplee para expresar expresar dicha señal, ya que no es simplement simplemente e colocar literalmen literalmente te la señal; para obtener obtener su transformada transformada de Laplace Laplace sino expresar expresar la señal en Matlab Matlab de forme que el programa programa la entienda de la forma que el usuario usuario quiere y no generar errores ni transformadas de señales erróneas.

Bibliografía ·  Ambardar, Ashok. Procesamiento digital de señales analógicas y digitales. Segunda edición. THOMSON LEARNING, México, 2002. Oppenhe im, Alan S. Willsky, S Hamid Nawab. Señales y sistemas. ·  Alan V. Oppenheim, Segunda edición. PREANCE HALL, México, 1994. Edward W. Kamen, Bonnie Bonnie S.Heck. Fundamentos Fundamentos de señales señales y sistemas sistemas · Edward usando usando la Web y MATLAB. MATLAB. PEARS PEARSON ON EDUCATI EDUCATION, ON, México México,, 2008. 2008.