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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO Capitulo 4: Probabilidad condicional e independencia Probabilidad Condicionada 4.41 Se lanza un dado equilibrado. Considere los eventos A={1, 3, 5}, B={2, 3, 5}, C={1, 2, 3, 4}. Encuentre: a) P(A^B) Y P(AUC) Rpta.

b) P(A/C) Y P(B/A) Rpta.

c) P(A/C) Y P(C/A) Rpta.

d) P(B/C) Y P(C/B) Rpta.

4.42 Se selecciona un dígito al azar del 1 al 9. Considere los eventos A={1, 3, 5, 7, 9}, B={2, 3, 5, 7}, C={6, 7, 8, 9}. Encuentre: a) P(A B) Y P(AUC) Rpta.

b) P(A/B) Y P(B/A) Rpta.

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c) P(A/C) Y P(C/A) Rpta.

d) P(B/C) Y P(C/B) Rpta.

4.43 Se lanza un par de dados equilibrados. Si las caras que aparecen son diferentes, halle la probabilidad de que: a) La suma sea par Rpta.

b) La suma excede 9 Rpta.

1 2 3 4 5 6 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x 5 x x 6 x x

4.44 Sea A y B eventos son P(A)=0.6, P(B)=0.3; P(A^B)=0.2. Encuentre: a) P(AUB) Rpta. 0.6 + 0.3 – 0.2

b) P(A/B) Rpta.

c) P(B/A) Rpta.

4.45 Con referencia al problema 4.44. Halle:

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO a) P(A^Bc) Rpta.

b) P(A/Bc) Rpta.

4.46 Sean A y B eventos de P(A)=1/3, P(B)=1/4 y P(AUB)=1/2. Encuentre: a) P(A/B) y P(B/A) Rpta. x

b) Son A y B independientes Rpta. No, porque la 4.47 Le reparten a una mujer 3 cartas de picas de un naipe ordinarias de 52 cartas. Si se le entregan más cartas, halle la probabilidad de que ambas cartas también sean picas.

4.48 Se selecciona dos canicas, una después de otra sin reposición de una caja que contiene 3 blancas y 2 rojas. Encuentre la probabilidad P de que: a) Las dos canicas sean blancas Rpta.

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO b) Las dos canicas sean rojas Rpta.

c) La segunda sea blanca si la primera es roja Rpta.

d) La segunda sea roja si la primera es blanca Rpta.

4.49 Realizar el ejercicio anterior con reposición Rpta.

4.50 Se seleccionan dos dígitos diferentes al azar entre dígitos de 1 hasta 5 S=(1,2,3,4,5) a) Si la suma es impar ¿Cuál es la probabilidad que el segundo sea uno de los números seleccionados? Rpta. S=(1,2) S=(3,2) S=(5,2)

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO b) Si dos es uno de los dígitos seleccionados ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea impar? Rpta. S=(2,1) S=(2,3) S=(2,5)

4.51 Un dado es alterado, para producir la siguiente distribución de probabilidad: Número Probabilidad

1 0.2

2 0.1

3 0.1

4 0.3

5 0.1

Sea A={1, 2, 3}, B={2, 3, 5}, C={2, 4, 6}. Encuentre: a) P(A), P(B), P(C) Rpta.

b) P(Ac), P(Bc), P(Cc) Rpta.

c) P(A/B), P(B/A) Rpta. P(A/B)=

6 0.2

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d) P(A/C), P(C/A) Rpta. P(A/C)=

4.53 En un club campestre, el 65% de los miembros juegan tenis, el 40% juegan golf y el 20% juegan tenis y golf. Se escoge un miembro al azar. Encuentre la probabilidad de que el miembro: a) Juegue tenis o golf Rpta.

b) No juegue tenis o golf Rpta.

c) Juegue golf si el o ella juega tenis Rpta.

d) Juegue tenis si el o ella juega golf Rpta.

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4.54 Suponga que el 60% de la clase de primer año de una pequeña universidad son mujeres. Además, suponga que el 25% de los hombres y el 10% de las mujeres de la clase están estudiando matemáticas. Se elige al azar un estudiante de 1er año. Halle la probabilidad de que: a) El estudiante este estudiando matemáticas Rpta.

b) Si el estudiante está estudiando matemáticas, determine la probabilidad de que el estudiante sea mujer Rpta.

Matemáticas

4.55 Se seleccionan 3 estudiantes al azar, uno después de otro de una clase con 10 niños y 5 niñas. Encuentre la probabilidad de que: B = {10 niños , 5 niñas} a) Los primeros dos sean niños y el tercero sea niña

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO Rpta.

b) El primero y el tercero sean niños y el segundo sea niña Rpta.

c) Los tres sean del mismo sexo Rpta.

d) Solamente el primero y el tercero sean del mismo sexo Rpta.

4.56 Se tiene dos cajas de la siguiente manera: La caja A contiene 5 canicas rojas, 3 canicas blancas y 8 canicas azules La caja b contiene 3 canicas rojas, 5 canicas blancas Se selecciona una caja al azar y se escoge aleatoriamente una canica, encuentre la probabilidad de que la canica sea: a) Roja Rpta. b) Blanca Rpta. c) Azul Rpta.

Procesos Estocásticos Finitos 4.57 Refiérase al problema 4.56. Encuentre la probabilidad de seleccionar la caja A si la canica es: a) Roja Rpta.

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO b) Blanca Rpta. d) Azul Rpta.

4.58 Considere la caja A y la caja B en el problema 4.56. Un dado equilibrado es lanzado; si aparece 3 o 6 se selecciona una canica aleatoriamente de A, de lo contrario se selecciona una canica de B. Encuentre la probabilidad de que la canica sea: a) Roja Rpta. b) Blanca Rpta. c) Azul Rpta.

4.59 Refiérase al problema 4.58. Encuentre la probabilidad de seleccionar la caja A si la canica es: a) Roja Rpta. b) Blanca Rpta. c) Azul Rpta.

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 4.60 Una caja contiene 3 monedas, 2 de ellas corrientes y una de dos caras. Se selecciona una moneda al azar y se lanza dos veces. Si aparece cara ambas veces ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda tenga dos caras? Rpta. Moneda 2 caras HH Dos veces cara HyH

4.61 Una caja contiene una moneda corriente y una moneda de dos caras. Se selecciona una moneda al azar y se lanza. Si cae cara entonces la otra moneda es lanzada; si aparece sello, entonces la misma moneda se lanza una segunda vez. Encuentre la probabilidad de que: a) Aparezca un acara en el segundo lanzamiento Rpta. b) Si aparece cara en el segundo lanzamiento ¿Cuál es la probabilidad de que esta aparezca también en el primer lanzamiento? Rpta.

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 4.63 Una ciudad es dividida en distritos A, B, C con 20%, el 40% y el 40% de los votantes registrados respectivamente, los votantes registrados que aparecen como demócratas son el 50% en A, el 25% en B y el 75% en C; se escoge un votante registrado aleatoriamente de la ciudad.

a) Encuentre la probabilidad de que el votante este inscrito como demócrata P(demócrata) = (0.2)(0.5)+(0.4)(0.25)+(0.4)(0.75) = 0.1 +0.1 + 0.3 = 0.5 = 50%

b) Si el votante esta inscrito como demócrata, encuentre la probabilidad de que provenga de B P( B  democrata ) 0.4 * 0.25 P(B\demócrata) = = =0.2 0.5 P(democrata ) = 20% 4.64 Refiérase al problema 4.63 suponga que se selecciona un distrito al azar y luego se selecciona aleatoriamente un votante registrado del distrito a) Encuentre la probabilidad de que el votante este inscrito como demócrata 1 1 .5 1 P(demócrata) = (0.5 + 0.25 + 0.75) = = = 0.5 3 3 2 = 50% b) Si el votante registrado está inscrito como demócrata, encuentre la probabilidad de que el votante proviniera del distrito A 1 * 0.5 P( A  democrata ) 1 P(A\demócrata) = = 3 = P(democrata ) 3 0.5

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 4.65 Las mujeres de una ciudad universitaria constituye el 60% de los estudiantes del 1er año, el 40% de los estudiantes de 2do año, 40% de los estudiantes de 3ro y el 45% de los estudiantes de último año. El 30% de la población escolar son estudiantes de 1er año, el 25% son de 2do año, el 25% son estudiantes de 3er año y el 20% son estudiantes de último año, Se selecciona al azar un estudiante de la ciudad universitaria

a) Encuentre la probabilidad de el estudiante sea mujer P(mujer) = (0.3)(0.6) + (0.25)(0.4) + (0.25)(0.4) + (0.2)(0.45) = 0.18 + 0.1 + 0.1 + 0.09 = 0.47 = 47% b) Si el estudiante es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de 2do año?

P(2do  mujer ) 0.25 * 0.4 = =0.212 0.47 P(mujer ) = 21.2%

P(2do\mujer) =

4.66 Refiérase al problema 4.65. Suponga que una de las cuatro clases se escoge aleatoriamente y luego se selecciona aleatoriamente un estudiante de la clase. a) Encuentre la probabilidad de el estudiante sea mujer 1 1.95 39 P(mujer) = (0.6 + 0.4 + 0.4 + 0.45) = = = 0.487 4 4 80 = 48.7 % b) Si el estudiante es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que sea un estudiante de 2do año? 1 * 0.4 0.1 P(2do\mujer) = 4 = = 0.205 0.487 0.487 = 20.5 %

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 4.67 Una compañía produce bombillos en tres fábricas A, B, C La fábrica A produce 40% del número total de bombillos, el 2% es defectuoso La fábrica B produce 35% del número total de bombillos, el 4% es defectuoso La fábrica C produce 25% del número total de bombillos, el 3% es defectuoso Se encuentra un bombillo defectuoso en la producción total. Encuentre la probabilidad de que este provenga de:

a) La fábrica A P(defectuoso) = (0.4)(0.02) + (0.35)(0.04) + (0.25)(0.03) = 0.0295 P(A\defectuoso) = b) La fábrica B P(B\defectuoso) = c) La fábrica C P(C\defectuoso) =

P( A  defectuoso ) 0.008 = =0.271 = 27.1% 0.0295 P(defectuoso ) P( B  defectuoso ) 0.014 = =0.474 = 47.4% 0.0295 P(defectuoso ) P(C  defectuoso ) 0.0075 = =0.254 = 25.4% 0.0295 P(defectuoso )

4.68 Refiérase al problema 4.67. Suponga que se escoge una fábrica aleatoriamente de sus bombillos es seleccionado. Si el bombillo es defectuoso encuentre la probabilidad de que este provenga de: 1 0.04 P(defectuoso) = (0.02 + 0.04 + 0.03) = = 0.03 3 3 a) La fábrica A P(A\defectuoso) = b) La fábrica B

2 P( A  defectuoso ) 0.0066 = =0.222 = 0.03 9 P(defectuoso )

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P(B\defectuoso) = c) La fábrica C P(C\defectuoso) =

4 P( B  defectuoso ) 0.0133 = =0.444 = 0.03 9 P(defectuoso ) 1 P(C  defectuoso ) 0.01 = =0.333 = 0.03 3 P(defectuoso )

4.71 Una caja A contiene S canicas rojas y 3 azules y la caja B contiene 2 rojas y 3 azules. Se sacan dos canicas aleatoriamente de cada caja. Encuentre la probabilidad P de que: a) Todas sean rojas = b) Todas sean del mismo color +

=

+

=

4.72 Sean A y B eventos independientes con P(A)=0.2, P(B)=0.3. Encontrar: a) P(A B) y P(AUB) P(A B) = P(A)*P(B) = 0.2 * 0.3 = 0.06 P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A B) = 0.2 + 0.3- 0.06 = 0.44 c b) P(A B ) y P(AUBc) Bc = 1- P(B) P(A) – (1- P(B)) = 0.2 * (1-0.3) = 0.14 P(AUBc) = P(A) + P(Bc ) - P(A Bc) = 0.2 + (1-0.3) - 0.14 = 0.76 c) P(A/B) y P(B/A) P(A/B) =

P( A  B) 0.06 = = 0.2 P( B) 0.3

P(B/A) =

P( B  A) 0.06 = = 0.3 P( A) 0.2

d) P(A/Bc) y P(Bc/A) 1.14 P( A  B^ c) P(A/Bc) = = = 0.2 P( B ^ c) 1  0.3 P(Bc/A) =

(1  0.3)(0.2) P(B^ c  A) = = 0.7 0.2 P( A)

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO 4.73 Sean A y B eventos independientes con P(A)=0.3, P(A^B)=0.3 y P(B)=L. Encuentre P si: a) A y B son mutuamente excluyentes A B= 0 P(B/A) = 0 P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A B) 0.5 = 0.3 + P(B) – 0 P(B) = 0.2 b) A y B son independientes P(AUB) = P(A) + P(B) – ( P(A) * P(B) ) P(A) * P(B) = -0.5 + 0.3 – P(B) 0.5 0 .3 P(A) =  + -1 P( B) P( B) -0.2 = (-0.7) * P(B) 2 P(B) = 7 4.74 La probabilidad de que A de en el blanco es ¼ y la probabilidad de B es 1/3. Cada uno de ellos dispara una vez en el blanco. Encuentre la probabilidad de que: a) Ambos den en el blanco 1 1 1 P(A B) = P(A) * P(B) = * = 4 3 12 b) El blanco sea alcanzado exactamente una vez 1 2 1 3 P(Bc) = 1 - = P(Ac) = 1 = 3 3 4 4 P(Ac Bc) = P(Ac) – P(Bc) =

2 3 1 * = 3 4 2

1 1 1 5 + P(A B) = + = 2 2 12 12

c) Si es alcanzado una vez ¿Cuál es la probabilidad de que A sea el que lo logre? =

-

=

2 5 9 = 3 48 16

4.75 La probabilidad de que A de en el blanco es ¼ y la probabilidad de B es 1/3. Cada uno de ellos dispara dos veces. Encuentre la probabilidad de que e en el blanco: S= {VF, FV, VF, FF} a) Al menos una vez P(VF, FV, VF) 1 1 1 P( + + ) 4 4 4

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P(V) =

3 4

b) Exactamente una vez P(Bc ) = 1- P(B) 1 2 =1- = 3 3 P(Ac ) = 1- P(A) 1 3 =1- = 4 4 P(Ac Bc) =

2 3 11 + - P(Ac Bc) = 3 4 12

4.76 La probabilidad de que 3 hombres den en el blanco son 0.3, 0.5, 0.4, respectivamente. Cada uno de ellos dispara dos veces. S= {12, 11, 13, 22, 33, 23} S={0.15, 0.09, 0.12, 0.25, 0.16, 0.2} a) Encuentre la probabilidad de que i) Todos den en el blanco P(S) = 0.97 ii) No den en el blanco P(S) = 0.03 b) Halle la probabilidad de que el blanco sea alcanzado i) Una vez al menos P(S) = 0.06 + 0.15 + 0.12 +0.2 P(S) = 0.53 ii) Exactamente una vez P(S) = 0.15 + 0.12 +0.2 P(S) = 0.47 c) Si solamente uno da en el blanco ¿Cuál es la probabilidad de que sea el primer hombre? P(S) = 0.15 4.77 Se lanzan 3 monedas equilibradas. Considere los eventos: A={Todas cara o todas sello} B={Al menos 2 caras} C={Máximo 2 caras} De los pares (A,B) (A,C) (B,C) ¿Cuáles son independientes? S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} A={todas caras o todas sellos} A={HHH, TTT} 2 1 P(A) = = 4 8

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B = {al menos dos caras} B = {HHH, HHT, HTH, THH} 4 1 P(B) = = 2 8

C = {máximo dos caras} C = { HHT, HTH, THH} 3 P(B) = 8

1 1 1 * = 4 2 8 1 3 3 P(A) P(C) = * = 4 8 32 1 3 3 P(B) P(C) = * = 2 8 16

P(A) P(B) =

P(A B) P(A C) P(B C)

Solamente A y B es independiente 4.78 Suponga que A y B son eventos independientes. Muestre que A y Bc son independientes y que Ac y B son independientes Condición 

P(A B) = P(A) * P(B)

P(A Bc) = P(A) * P(Bc) P(Bc) = 1 – P(B) 1 1 P(Bc) = 1 = 2 2 P(A Bc) =



1 1 1 * = 4 2 8

P( Ac B) = P(Ac) * P(B) P(Ac) = 1 – P(A) 1 3 P(Ac) = 1 = 4 4 P(A Bc) =

3 1 1 * = 4 2 4

4.79 Suponga que A, B, C son eventos independientes. Muestre que:

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Condición

P(A B

C) = P(A) * P(B) * P(C)

a) Ac, B, C son independientes P(Ac B

C) = P(Ac) * P(B) * P(C) =

3 1 3 9 * * = 4 2 8 64

b) Ac, Bc, C son independientes P(Ac Bc

C) = P(Ac) * P(Bc) * P(C) =

3 1 3 9 * * = 4 2 8 64

c) Ac, Bc, Cc son independientes P(Ac Bc

Cc) = P(Ac) * P(Bc) * P(Cc) =

3 1 5 15 * * = 4 2 8 64

4.80 Suponga que A, B, C son independientes. Muestre que A y BUC son independientes A (BUC) P(A) * ( P(B) + P(C) – P(B C) ) P(A) *[ P(B) + P(C) – ( P(B) * P(C) ) ] 1 * 4 1 * 4 11 64

4.81 Siempre que los caballos a, b, c compiten, sus probabilidades respectivas de ganar son 03, 0.5, 0.2. Ellos compiten 3 veces. a) Encuentre la probabilidad de que el mismo caballo gane las 3 carreras P(AAA o BBB o CCC) b) Encuentre la probabilidad de que a, b, c cada uno gane una carrera Cuando cada uno gane una carrera P(ABC, BAC, CBA, ACB, BCA, CAB) ( P(A) * P(B) * P(C) ) * 6 ( 0.3 * 0.5 * 0.2 ) *6 ( 0.03 * 6) 0.18

4.82 Un equipo gana (W) con probabilidad de 0.5 pierde (L) con 0.3 y empata (T) con 0.2. El equipo juega 2 veces. a) Determine el espacio muestral S y la probabilidad de cada evento elemental S = {WL, WT, WW, LW, TW, LT, LL, TT, TL}

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO S = {0.15, 0.1, 0.25, 0.06, 0.09, 0.04, 0.15, 0.1, 0.06} b) Halle la probabilidad de que el equipo gane por lo menos una vez P(S) = 0.15 + 0.1 + 0.25 + 0.06 + 0.09 P(S) = 0.65