Taller Regresión1

Universidad Nacional de Colombia Departamento de Estadística Probabilidad y Estadística Fundamental - Grupo 1 Taller de Regresión 1. Emilio Lucero Loza (2548898) 1. Los siguientes datos corresponden a las calificaciones de 6 alumnos seleccionados al azar Calif. De Matemáticas Calif. De Inglés

70 74

92 84

80 63

74 87

65 78

83 90

Tabla 1

   

Hallar los coeficientes de regresión 𝛽0 y 𝛽1 . Interprete los resultados Plantee el resultado Halle Y estimado Hallar coeficiente de correlación lineal.

SOLUCIÓN AL EJERCICIO

𝑋, calificación de matemáticas 𝑌, calificación de Inglés

Llamamos

De la tabla 1 se obtiene la tabla 2 Total 𝑿

70

92

80

74

65

83

464

𝒀

74

84

63

87

78

90

476

𝑿𝟐

4900

8464

6400

5476

4225

6889

36354

𝒀𝟐

5476

7056

3969

7569

6084

8100

38254

𝑿𝒀

5180

7728

5040

6438

5070

7470

36926

𝑿−𝑿 𝒀−𝒀

39,11

68,444

-43,56

-25,56

16,44

60,44

115,33

Tabla 2

Los valores medios para las variables 𝑋 y 𝑌 son: 𝑋 = 77.33; 𝑌 = 79.33  Coeficientes de regresión Primero se calcula las desviaciones de cada variable

𝑆𝑥 2 =

𝑋𝑖 2 𝑛

− 𝑋

2

36354

=

6

− 77.33

2

− 79.33

2

𝑆𝑥 2 = 78.55; 𝑆𝑥 = 8.86 2

𝑆𝑦 = 2

𝑌𝑖 2 𝑛

− 𝑌

2

38254

=

6

𝑆𝑦 = 81.88; 𝑆𝑦 = 9.05 𝑆𝑥𝑦 2 = 2

𝑋−𝑋 𝑌−𝑌 𝑛

115,33

=

6

𝑆𝑥𝑦 = 19.22; 𝑆𝑥𝑦 = 4.38

De los resultados anteriores se obtiene

𝛽1 =

𝑆𝑥𝑦 2 𝑆𝑥

2

=

19.22 78.55

= 0.244 ;

𝛽0 = 𝑌 − 𝛽1 𝑋 = 77.33 − 0.244 79.33 = 60.41; Interpretación: El valor de 𝛽1 = 0.244, esto indica que por valor en la nota de matemáticas, en promedio la nota de inglés se incrementa 0.244. El valor 𝛽0 = 60.41, indica que para una persona con 0 en la nota de matemáticas, el valor de la nota de inglés es 60.41. Pero antes de tomar como cierto esta interpretación es necesario comprobar la correlación lineal de las variables. 

Resultado

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋. 𝑌 = 60.41 + 0.244𝑋. 

𝑌 estimado Se representa en la siguiente tabla Total 𝑿

70

92

80

74

65

83

464

𝒀

74

84

63

87

78

90

476

𝑌

77,49

82,858

79,93

78,466

76,27

80,66

Tabla 3



Coeficiente de correlación lineal

𝑆𝑥𝑦 2 19.22 𝑟= = = 0.239 𝑆𝑥 𝑆𝑦 8.86 9.05 El valor del coeficiente de correlación es muy cercano a 0, por lo tanto las variables no poseen relación lineal alguna y las interpretaciones anteriores carecen de sentido 2. El estudio “Development of LIFTEST, A Dynamic Technique to Assess Individual Capability to Lift Material” se llevó a cabo, en 1982 en la Virginia Polytechnic Institute an State University, con un objeto de determinar si ciertas mediciones de la resistencia estática del brazo tenían alguna influencia en las características de la “Elevación dinámica” de un individuo. Veinticinco individuos se sometieron a pruebas de resistencia y después se les pidió que llevaran a cabo una prueba de levantamiento de pesas en la cual debían levantar el peso en forma dinámica por encima de la cabeza. Los datos fueron los siguientes:

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

𝒙 17,3 19,3 19,5 19,7 22,9 23,1 26,4 26,8 27,6 28,1 28,2 28,7 29 29,6 29,9 29,9 30,3 31,3 36 39,5 40,4 44,3 44,6 50,4 55,9

𝒚 71,7 48,3 88,3 75 91,7 100 73,3 65 75 88,3 68,3 96,7 76,7 78,3 60 71,7 85 85 100 100 100 100 91,7 100 71,7

Tabla 4

   

𝑥= Resistencia del Brazo. 𝑦= Levantamiento dinámico Hallar los coeficientes de regresión 𝛽0 y 𝛽1 . Interprete los resultados Plantee el resultados Halle 𝑌 estimado Hallar el coeficiente de correlación lineal

SOLUCIÓN AL EJERCICIO De la tabla 4 se obtiene la tabla 5 Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

𝒙 17,3 19,3 19,5 19,7 22,9 23,1 26,4 26,8 27,6 28,1 28,2 28,7

𝒚 71,7 48,3 88,3 75 91,7 100 73,3 65 75 88,3 68,3 96,7

𝒙𝟐 299,29 372,49 380,25 388,09 524,41 533,61 696,96 718,24 761,76 789,61 795,24 823,69

𝒚𝟐 5140,89 2332,89 7796,89 5625 8408,89 10000 5372,89 4225 5625 7796,89 4664,89 9350,89

𝒙𝒚 1240,41 932,19 1721,85 1477,5 2099,93 2310 1935,12 1742 2070 2481,23 1926,06 2775,29

(𝒙 − 𝑿)(𝒚 − 𝒀) 149,115 404,822 -67,931 85,493 -76,145 -141,097 43,529 75,950 26,496 -17,775 41,767 -34,839

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Total

29 29,6 29,9 29,9 30,3 31,3 36 39,5 40,4 44,3 44,6 50,4 55,9 778,7

76,7 78,3 60 71,7 85 85 100 100 100 100 91,7 100 71,7 2061,7

841 876,16 894,01 894,01 918,09 979,69 1296 1560,25 1632,16 1962,49 1989,16 2540,16 3124,81 26591,63

5882,89 6130,89 3600 5140,89 7225 7225 10000 10000 10000 10000 8408,89 10000 5140,89 175094,57

2224,3 2317,68 1794 2143,83 2575,5 2660,5 3600 3950 4040 4430 4089,82 5040 4008,03 65585,24

12,389 6,452 28,040 13,438 -2,1471 0,384 85,065 146,427 162,206 230,580 124,188 337,526064 -266,529536 1367,4084

Tabla 5

Los valores medios para las variables 𝑋 y 𝑌 son: 𝑋 = 31.148; 𝑌 = 82.468  Coeficientes de regresión Primero se calcula las desviaciones de cada variable

𝑋𝑖 2

2

𝑆𝑥 =

𝑛

2

− 𝑋

2

26591.63

=

25

− 31.148

2

𝑆𝑥 = 93.467; 𝑆𝑥 = 9.667 𝑌𝑖 2

𝑆𝑦 2 =

𝑛

2

− 𝑌

2

175094.57

=

25

− 82.468

2

𝑆𝑦 = 202.811; 𝑆𝑦 = 14.241 𝑋−𝑋 𝑌−𝑌

𝑆𝑥𝑦 2 =

𝑛

2

1367,408

=

25

𝑆𝑥𝑦 = 54.696; 𝑆𝑥𝑦 = 7.395

De los resultados anteriores se obtiene

𝛽1 =

𝑆𝑥𝑦 2 𝑆𝑥

2

=

54.696 93.467

= 0.585 ;

𝛽0 = 𝑌 − 𝛽1 𝑋 = 82.468 − 0.585 31.148 = 64.240; Interpretación: 

Resultado

𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋. 𝑌 = 64.240 + 0.585𝑋. 

𝑌 estimado Se representa en la siguiente tabla

Individuo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Total 

𝒙 17,3 19,3 19,5 19,7 22,9 23,1 26,4 26,8 27,6 28,1 28,2 28,7 29 29,6 29,9 29,9 30,3 31,3 36 39,5 40,4 44,3 44,6 50,4 55,9 778,7

𝒚 71,7 48,3 88,3 75 91,7 100 73,3 65 75 88,3 68,3 96,7 76,7 78,3 60 71,7 85 85 100 100 100 100 91,7 100 71,7 2061,7

𝒀 74,360 75,530 75,647 75,764 77,636 77,753 79,684 79,918 80,386 80,678 80,737 81,029 81,205 81,556 81,731 81,731 81,965 82,550 85,3 87,347 87,874 90,155 90,331 93,724 96,941

Tabla 6

Coeficiente de correlación lineal

𝑆𝑥𝑦 2 54.696 𝑟= = = 0.397 𝑆𝑥 𝑆𝑦 9.667 14.241 El coeficiente de correlación lineal es muy cercano a 0, por lo tanto no existe relación lineal entre las dos variable