taller prob UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO

UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO SOLUCIONARIO TALLER 3 1. Encuentre los errores en cada una de las aseveraciones siguientes: a. Las probabilidades de que un vendedor de automóvil venda 0, uno, dos o tres autos en un día dado de febrero son 0.19, 0.38, 0.29 y 0.15, respectivamente. r espectivamente. |X (Ventas)

|P (X)

|

|0

|0.19

|

|1

|0.38

|

|2

|0.29

|

|3

|0.15

|

|

|1.01

|

LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DE OCURRENCIA DE UN SUCESO SERÁ SIEMPRE IGUAL A 1.00 O AL 100% EL ERROR ESTÁ EN QUE LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DA 1.01 b. La probabilidad de que llueva mañana es 0.4 y la probabilidad de que no llueva es 0.52. |Lluvia |Si Llueve

|P (X) |0.40

|No Llueve |

| |

|0.52 |0.92

|

|

LOS SUCESOS SON MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y SU SUMA SERÁ

SIEMPRE IGUAL A 1.00 O AL 100%. EL ERROR ESTÁ EN QUE LA SUMA DE LAS PROBABILIDADES DA 0.92 c. c. Las probabilidades de que una impresora cometa 0, uno, dos, tres, o cuatro errores al imprimir un documento son 0.19, 0.34, -0.25, 0.43 y 0.29, respectivamente. |Errores

|P (X)

|

|0

|0.19

|

|1

|0.34

|

|2

|- 0.25

|

|3

|0.43

|

|4

|0.29

|

|

|1.25

|

LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN SUCESO SIEMPRE ESTÁN COMPRENDIDOS ENTRE 0 y 1. NUNCA SE CONTEMPLAN VALORES NEGATIVOS. En este caso hay dos errores uno de valor Negativo

(- 0.25) y el

otro que la suma de las otras probabilidades da mayor que 1.00 (1.25) 2. La probabilidad de que una industria norteamericana se ubique en Munich es 0.7, la probabilidad de que se ubique en Bruselas es 0.4 y la probabilidad de que se ubique en Munich o en Bruselas o en ambas es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que la industria se ubique : a) En ambas Ciudades. b) En ninguna de estas ciudades.

|P

|Ciudad

|P (X)

|P(A)

|Munich

|0.70

|

|P(B)

|Bruselas

|0.40

|

|P(A ó B)

|Munich/Bruselas

|

|0.80

|

[pic] 3. En una clase de 100 estudiantes graduados de preparatoria, 54 estudiaron matemáticas; 69, historia y 35 cursaron matemáticas e historia. Sí se selecciona al azar uno de estos, encuentre la probabilidad de que: a. El estudiante cursó matemáticas o historia. b. El estudiante no cursó ninguna de estas materias. c. El estudiante curso historia pero no matemáticas. |P

|Estudiantes

|P(A)

|Matemáticas

|P(B)

|Historia

|P (X)

|

|0.54

|

|0.69

| |P(A ∩ B)

|Matemáticas e Historia

|0.35

|

[pic] [pic] 4. De acuerdo con la Consumer Digest (Julio/Agosto de 1996), la ubicación probable de las PC en una casa son: |P

|Sitio

|P (X)

|

|P(A)

|Recámara Adultos

|0.03

|

|P(B)

|Recámara Niños

|0.15

|

|P(C)

|Otra Recámara

|P(D)

|Oficina o Estudio

|0.40

|

|P(E)

|Otros Cuartos

|0.28

|

|0.14

|

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una PC esté en una recámara? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no esté en una recámara? c. ¿Suponga que se selecciona al azar entre las familias con una PC; ¿en qué habitación esperaría encontrar una PC. [pic] [pic] [pic] 5. Supóngase que A y B son eventos para los cuales P ( A ) = x , P ( B ) = y, P (  A ∩ B ) = z. Exprese cada una de las probabilidades siguientes en términos de x, y, z. [pic] a. P ( A’ U B’) b. P ( A’ ∩ B ) c. P ( A’ U B )

d. P (  A’ ∩ B’).

6. Supóngase que A, B y C son eventos tales que P(A) = P(B) = P(C) = ¼, P(A∩B)

= P(C∩B) = 0 y P(A∩C) = 1/8. Calcular la probabilidad de que al menos uno de los

eventos A, B o C ocurra. [pic] Ejemplo 2.31 La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P (D)=0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A)=0.82; y la probabilidad de que salga y llegué a tiempo es P (D∩A)=0.78.

Encuentre la probabilidad de que un avión a) Llegue a tiempo, dado que salido a tiempo y b) salio a tiempo, dado que llego a tiempo. Solución: a) La probabilidad de que un avión llegue a tiempo, dado que salio a tiempo es: P (A|D)= P(D∩A)/P(D)=0.78/0.83=0.94 b) La probabilidad de que un avión saliera a tiempo, dado que llego a tiempo es

P (D|A)= P (D∩A)/P(A)= 0.78/0.82=0.95

Reglas Multiplicativas

 Al multiplicar P (D|A)= P (D∩A)/P(A) por P(A), obtenemos la siguiente regla

multiplicativa importante, que nos permite calcular la probabilidad de que ocurran dos eventos. Si en un experimento pueden ocurrir los eventos A y B, entonces P (A∩B)= P(A) P (A|B)

 Así la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurran

 A multiplicada por la probabilidad de que ocurra B, dado que ocurre A. Como los eventos A∩B y B∩A son equivalentes, se sigue del teorema anterior que también

podemos escribir  P (A∩B)= P (B∩A)= P (B) P (A|B)

En otras palabras no importa cual evento se considera como A y cual como B. Ejemplo1 Suponga que tenemos una caja de fusibles que contiene 20 unidades, de las cuales cinco están defectuosas. Si se seleccionan dos fusibles al azar y se separan de la caja uno después de otro sin reemplazar el primero, ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén defectuosos? Solución: Sean A el evento de que el primer fusible este defectuoso y B el evento de que el segundo este defectuoso; A ∩ B como el evento You're entonces Reading a interpretamos Preview full access with a de free trial. de que ocurra A, y entonces BUnlock ocurre después que ocurre A. La probabilidad de

separar primero un fisible defectuoso es ¼; entonces la probabilidad de separar un Download With Free Trial

segundo fusible defectuoso de los restantes 4 es 4/19. Por ello P (A∩B)= (1/4) (4/19)=1/19 Ejemplo2 Una pequeña ciudad tiene un carro de bomberos y una ambulancia disponibles para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos este disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia este disponible cuando se le requiere es 0.92. En el caso de que resulte un herido de un edificio en llamas, encuentre la probabilidad de que la ambulancia y el carro de bomberos estén disponibles. Solución: Sean A y B los respectivos eventos de que estén disponibles el carro de bomberos y la ambulancia. Entonces P (A∩B)= P (A) P (B)= (0.98) (0.92)= 0.9016