Taller Movimiento Amortiguado.pdf

Taller de Movimiento Amortiguado y Forzado Fecha:

Universidad de Pamplona 1.

Docente: Nombre: Código: Programa:

Día:

Mes:

A

Año:

Fís. Dudbil Olvasada Pabon Riaño

Movimiento Oscilatorio Amortiguado

Materia: Nota:

2.

La ecuación diferencial que representa el movimiento amortiguado es: (1) 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐𝜸 + 𝝎𝟐𝟎 𝒙 = 𝟎 𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒃 Donde 𝟐𝜸 = . 𝒎 Supongamos que la Ec 1. Tiene la una solución de la forma: 𝒙 = 𝒆𝒎𝒕 (2) Remplazando Ec 2. en Ec 1. Tenemos, (𝒎𝟐 + 𝟐𝜸𝒎 + 𝝎𝟐𝟎 )𝒆𝒎𝒕 = 𝟎 así esta ecuación es consistente si cumple con la siguiente condición para el valor de 𝒎: 𝒎 = −𝜸 ± √𝜸𝟐 − 𝝎𝟐𝟎 Por tanto las soluciones son: Movimiento Armónico Sub-Amortiguado Con esta condición la solución de la Ec 1. es: 𝒙 = 𝑨𝒆−𝜸𝒕 𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋) Con 𝝎 = √𝝎𝟐𝟎 − 𝜸𝟐 . 𝝋 Fase inicial del movimiento

E

Oscilaciones y Ondas

Departamento de Física y Geología

Movimiento Oscilatorio Forzado

La ecuación diferencial que representa el movimiento amortiguado es: (1) 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐𝜸 + 𝝎𝟐𝟎 𝒙 = 𝑭𝒐 𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒇 𝒕) 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝒕 𝒃 Donde 𝟐𝜸 = . 𝒎 Supongamos que la Ec 1. Tiene la una solución de la forma: 𝒙 = 𝒙𝒉 + 𝒙𝑷 (2) Una posible solución (para el caso de sub-amortiguamiento) de la Ec 1. es: 𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒇 𝒕 + 𝝋) (3) Esta solución es válida si cumple con las siguientes condiciones: 𝑭𝟎 /𝒎 𝑨= Amplitud 𝟐 √(𝝎𝟐𝟎 − 𝝎𝟐𝒇 ) + 𝟒𝜸𝟐 𝝎𝟐𝒇 Fase inicial

𝟐𝜸𝝎𝒇 𝝋 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( 𝟐 ) 𝝎𝟎 − 𝝎𝟐𝒇

Resonancia en amplitud La resonancia en amplitud se da cuando la frecuencia de la fuerza oscilante tiene el siguiente valor:

armónico.

𝝎𝒇 = √𝝎𝟐𝟎 − 𝟐𝜸𝟐

𝝎𝟎 > 𝜸

Movimiento Armónico Críticamente-Amortiguado Con esta condición la solución de la Ec 1. es: 𝒙 = 𝑨𝟏 𝒆−𝜸𝒕 + 𝑨𝟐 𝒕𝒆−𝜸𝒕 𝝎𝟎 = 𝜸 Esta solución no representa un movimiento oscilatorio. Movimiento Armónico Sobre-Amortiguado Con esta condición la solución de la Ec 1. es: 𝝎𝟎 < 𝜸

Grupo B C D

(−𝜸+√𝜸𝟐 −𝝎𝟐𝟎 )𝒕

(−𝜸−√𝜸𝟐 −𝝎𝟐𝟎 )𝒕

𝒙 = 𝑨𝟏 𝒆 + 𝑨𝟐 𝒆 Esta solución no representa un movimiento oscilatorio.

Este valor para 𝝎𝒇 hace que la amplitud de la posición tenga un máximo 𝒅𝑨/𝒅𝝎𝒇 = 𝟎. Resonancia en energía La resonancia en energía se da cuando la frecuencia de la fuerza oscilante tiene el siguiente valor: 𝝎𝒇 = 𝝎𝟎 Este valor para 𝝎𝒇 hace que la amplitud de la velocidad tenga un máximo 𝒅(𝑨𝝎𝒇 )/𝒅𝝎𝒇 = 𝟎. Factor de calidad o Factor de Selectividad (Q) Es un parámetro que mide la relación entre la energía que se almacena y la energía que disipa durante un ciclo completo el oscilador. 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝑨𝒍𝒎𝒂𝒄𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂 𝑸 = 𝟐𝝅 ( ) 𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈í𝒂 𝒅𝒊𝒔𝒊𝒑𝒂𝒅𝒂 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐 Para un amortiguamiento relativamente pequeño 𝝎𝟎 𝑸= 𝟐𝜸

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(Nota: tenga en cuenta la relación entre el período y la longitud del columpio)

Problemas [1] Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante k=400 N/m con una constante de amortiguamiento b=2 kg/s. Está impulsado por una fuerza sinusoidal de valor máximo 10 N y frecuencia angular w=10 rad/s. Calcular la amplitud de las oscilaciones y la frecuencia y amplitud de resonancia. [2] Un péndulo simple tiene un periodo de 2 𝑠 y un amplitud de 2°, después de 10 oscilaciones completas su amplitud ha sido reducida a 1,5° encontrar la constante de amortiguamiento 𝛾. [3] En el caso del oscilador amortiguado, la cantidad 1 𝜏 = 2𝛾 se denomina tiempo de relajación. a) Verificar que tiene unidades de tiempo. b) ¿en cuánto ha variado la amplitud del oscilador después de un tiempo 𝜏? c) Expresar como una función de 𝜏, el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca a la mitad de su valor inicial. d) ¿Cuáles son los valores de la amplitud después de tiempos iguales a dos, tres veces, etc., el valor obtenido en c)? [3] Sea un péndulo consistente en una esfera de Al de 0,005 m de radio suspendida de una cuerda de 1 m de longitud. Determinar la amplitud y periodo de oscilación de este péndulo. Averiguar cómo afecta la viscosidad del aire a estos dos parámetros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad 𝜂 que actúa sobre una esfera de radio 𝑅 y velocidad 𝑣 es igual a 𝐹 = −6𝜋𝜂𝑅𝑣 y para el aire a 20 °C 𝜂 = 1,78x10−5 kg/ms). ¿Cúal es el tiempo necesario para que la amplitud se reduzca un 10% de la inicial? [4] Un niño se columpia con un período de 3 s. El niño y el columpio poseen una masa de 30 kg. El padre del niño impulsa pacientemente el columpio una vez cada ciclo de modo que mantiene una amplitud angular estacionaria de 30°. Si el valor de Q es igual a 20, calcule la potencia transmitida por el padre.

[5] Demostrar la ecuación: 𝐹02 𝛾𝜔2 〈𝑣𝐹(𝑡)〉 𝑃𝑚 = 𝑚 = 𝑚 (𝜔 2 − 𝜔02 )2 + 4𝛾 2 𝜔 2 (Nota: conocida la tangente de un ángulo es fácil conocer su seno ó coseno) [6] Demostrar que el cociente entre la anchura ∆𝑤 a la mitad del máximo de la potencia media entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la frecuencia 𝑤0 del mismo es igual al valor inverso del factor Q [7] Un objeto de masa 1,5 kg situado sobre un muelle de constante de fuerza 600 N/m pierde el 3% de su energía en cada ciclo. El sistema viene impulsado por una fuerza sinusoidal con un valor máximo de 𝐹0 = 0,5 𝑁. ¿Cuál es el valor de Q para este sistema y el valor de la frecuencia angular de resonancia y amplitud de resonancia? ¿Cuál es la amplitud de oscilación si la frecuencia impulsora es 19 rad/s? [8] Un oscilador armónico amortiguado, cuya frecuencia angular natural es 𝜔0 = 15 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y cuyo parámetro de amortiguamiento es 𝛾 = 9 𝑠 −1 , se encuentra inicialmente en reposo en la posición de equilibrio. En el instante t = 0 recibe un impulso que lo pone en movimiento con una velocidad inicial 𝑣0 = 60 𝑐𝑚/𝑠. Para este sistema se pide: (a) Expresar la elongación del oscilador en función del tiempo. (b) Calcular el máximo desplazamiento que experimenta el oscilador a partir de su posición de equilibrio (c) Calcular el tiempo que deberá transcurrir para que la amplitud de las oscilaciones amortiguadas se reduzca a un 0,1 % del valor máximo anteriormente calculado. [9] Una masa de m = 0,5 Kg, unida a un muelle de constante elástica k = 250 N/m, oscila con una

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amplitud inicial 𝐴0 = 6 𝑐𝑚. Para este sistema se pide: (a) Hallar el periodo y la energía del oscilador en el instante inicial. (b) Determinar el valor del parámetro de amortiguamiento del oscilador sabiendo que la energía se disipa a razón de un 1,0 % en cada ciclo. [10] Un cuerpo de masa m = 2 kg descansa sobre un tablero horizontal y está unido al extremo libre de un muelle de constante elástica k = 200 N/m. En un instante dado, las oscilaciones presentan una amplitud 𝐴0 = 30 𝑐𝑚; pero debido a un rozamiento de tipo viscoso (𝐹𝑟 = −𝑏𝑣), dicha amplitud se reduce a la mitad cuando han transcurrido 𝑡1 = 25 𝑠. Con estos datos, determinar: (a) Valor del parámetro de amortiguamiento 𝛾, del coeficiente de amortiguamiento b, del tiempo de relajación de la energía 𝜏 y del factor de calidad Q. (b) La frecuencia y el periodo de las oscilaciones amortiguadas y no amortiguadas. (c) Tiempo que debe transcurrir para que se disipe la mitad de la energía del oscilador. ¿Cuál será entonces la amplitud de las oscilaciones? [11] Un circuito formado por una resistencia R, un condensador C y una autoinducción L, asociadas en serie cumple las siguientes ecuaciones para la carga en el condensador y la corriente en el circuito: a) Suponga en primer lugar que la resistencia es nula (R = 0). Pruebe que la carga del condensador oscila armónicamente. ¿Cuál es la frecuencia de oscilación? ¿Qué energía se conserva, análogamente a la energía mecánica de un oscilador armónico? b) Si la resistencia no es nula, pruebe que el sistema se comporta como un oscilador amortiguado. ¿Cuál es la resistencia máxima para que haya oscilaciones en el sistema? c) Suponga que además de los elementos anteriores, el circuito dispone de una fuente de corriente alterna,

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que lleva mucho tiempo conectada, de manera que las ecuaciones del circuito son

Halle la amplitud de las oscilaciones de la carga del condensador, como función de los parámetros del circuito y de la frecuencia y amplitud del voltaje aplicado. [12] Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso , de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es

a) Demuestre que la energía mecánica

es una función decreciente con el tiempo. b) Si buscamos una solución particular de la forma x = Aeλt, calcule los dos valores que puede tener λ. La solución general será una combinación de las dos posibilidades: con A1 y A2 dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales. c) ¿Cuál es el máximo valor de b para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si b supera ese valor? d) Considere el caso particular de una partícula de masa

se encuentra sujeta a un muelle

de constante , existiendo un rozamiento b. Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad

si

(a)

;

(b)

, (c)

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