Taller Modelo Transporte[1]

Taller 5

PROBLEMA PROBLEMA 8.2-10 8.2-1 0 Es necesario planear el sistema de energía de un nuevo edificio. Las tres fuentes posibles de energía son electricidad, gas natural, y una unidad de celdas solares.

Problemas del transporte

Los requerimientos diarios de energía (todos medidos en las mismas unidades) en el edificio en cuanto a luz eléctrica, calefactores de agua y calefactores de ambiente son: 1

Electricidad Calefactores de agua Calefact Calefactore oress de ambien ambiente te

2

20 unidades 10 unidades 30 unidad unidades es

natural Celdas Celdas solares solares Electricidad Gas natural

El tamaño del techo limita la unidad de celdas solares a 30 unidades pero no hay limite en la disponibilidad de electricidad y gas natural. Las necesidades de luz se pueden satisfacer sólo comprando la energía eléctrica ( a un costo de $50 por unidad). Las otras dos necesidades necesidades energéticas se pueden cumplir mediante cualquier fuente o combinación de fuentes.

Calefactores de agua

$ 90

$ 60

$ 30

Calefactores

$ 80

$ 50

$ 90

de ambiente

3

4

El objetivo es minimizar el costo total de cumplir con las necesidades de energía. •

Iluminación

Formule este problema como un problema de transporte construyendo la tabla de costos y requerimientos apropiada.

•

Utilice el método de aproximación de Vogel para obtener una solución solución BF inicial para este problema.

•

A partir de la solución inicial BF, aplique en forma interactiva el método simplex de transporte para obtener una solución óptima. 5

Calefactores agua

Aire Acondi -cionado

Oferta

Electricidad

50

90

80

∝ ∝

Gas natural

?

60

50

∝ ∝

Celdas solares

?

30

40

30

Demanda

20

10

30 6

1

Para construir la tabla de costos y requerimientos apropiada, debemos restringir la oferta de electricidad y gas natural.

Iluminación

Lo máximo que estarían dispuestos a comprar sería 60

Electricidad

Lo máximo que estarían dispuestos a comprar sería 40

Gas Natural

7

Iluminación

Calefac- Aire Acondi tores agua -cionado

4(F)

Oferta

Calefactores agua

Aire Acondi -cionado

Oferta

Electricidad

50

90

80

60

Gas natural

?

60

50

40

Celdas solares

?

30

40

30

Demanda

20

10

30

Vemos que la oferta es mayor que la demanda y por ello debemos crear un nodo ficticio de demanda 4(F)

Iluminación

Calefac- Aire Acondi tores agua -cionado

4(F)

Oferta

Electricidad

50

90

80

?

60

Electricidad

50

90

80

0

60

Gas natural

?

60

50

?

40

Gas natural

M

60

50

0

40

Celdas solares

?

30

40

?

30

Celdas solares

M

30

40

0

30

Demanda

20

10

30

70

Demanda

20

10

30

70

El nodo ficticio de demanda debe absorber las unidades que no se asignan.

8

Es imposible obtener iluminación a partir de gas natural y celdas solares, por lo que este costo debe ser M. El no asignar unidades no debe costar nada.

(60+40+30) - (20+30+10) = 70 9

10

Iluminación

Debemos obtener una S.B.F inicial mediante el método de Vogel

Oferta

Diferencia por renglón

Electricidad

50 20

90

80

0

60 40

50

Gas natural

M

60

50

0

40

50

Celdas solares

M

30

40

0

30

30

Demanda

20

10

30

70 Seleccionar X11=20

30

10

0

Diferencia M -50 por columna M-50 11

Calefac- Aire Acondi 4(F) tores agua -cionado

Eliminar columna 1 12

2

Aire CalefacAcondi tores agua -cionado

4(F)

Oferta

Diferencia por renglón

Electricidad

90

80

0 40

40

80 80

Gas natural

60

50

0

40

50

Celdas solares

30

40

0

30

30

Demanda

10

30

70 30

Diferencia por columna

30

10

0

Aire CalefacAcondi tores agua -cionado

Seleccionar X14=40 Eliminar renglón 1

4(F)

Oferta

Diferencia por renglón

Gas natural

60

50

30 0

40 10

50 50

Celdas solares

30

40

0

30

30

Demanda

10

30

30

30

10

0

Diferencia por columna

Seleccionar X24=30 Eliminar Columna 4

13

14

Calefactores agua

Aire Acondi -cionado

Oferta

Diferencia por renglón

Gas natural

60

50

10

10

Gas natural

10 50

10

Celdas solares

10 30

40

20 30

10

Celdas solares

40 20

20

Demanda

10

30

Demanda

20 30

Diferencia por columna

30 30

10

Aire Acondi -cionado

Seleccionar X32=10 Eliminar Columna 2

Diferencia por columna

10

Oferta

Diferencia por renglón

Seleccionar X23=10 Seleccionar X33=20

15

16

Veamos como quedó la S.B.F Inicial Iluminación

50 Electricidad

Gas natural

V j

90

Aire Acondi -cionado

80

M

0 40

60

50

0 10

M 20

Recursos

4(F)

20

Celdas solares

Demanda

Calefactores agua

30 10

10

40 30

20

30

0

Ui

Después de obtener una S.B.F inicial, se verifica si es óptima mediante la prueba de optimalidad.

60 40 30

70 Z= 2600 17

18

3

PRUEBA DE OPTIMALIDAD.

Miremos los Ui y V j Iluminación

S.B.F es óptima si y sólo si Cij - Ui - V j ≥ ≥ 0 para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteración actual. •Una

50 Electricidad

el valor de Cij - Ui - V j debe ser cero si Xij es V.B, Ui y V j satisfacen el conjunto de ecuaciones Cij = Ui + V j para cada (i,j) tal que Xij es básica. •Como

Gas natural

Calefactores agua

Aire Acondi -cionado

90

80

Celdas solares

60

50

Demanda

V j

30

40

10

40

60

0

30

40

0

0 10

M

Ui

0

20

M

Recursos

4(F)

20

0

30 -10

20

10

30

70

50

40

50

0

Z= 2600

19

Una S.B.F es óptima si y sólo si Cij - Ui - V j ≥ ≥ 0 para toda i,j tal que Xij es V.N.B en la iteración actual. Iluminación

50 Electricidad

Gas natural

Calefactores agua

90 20

M

Demanda

V j

80 50

60

M

30 M-40

20 50

10 40

Ui

sería:

0

20

30 50

20 unidades Iluminación

Electricidad 40

10

40

Cómo todos los Cij - Ui - V j ≥≥ 0 esta es la solución óptima, y la mejor manera de asignar las fuentes

0

50

10

Recursos

4(F)

30

20

M-50 Celdas solares

Aire Acondi -cionado

20

30

0 10

60

0

40

0

40 unidades sin asignar

10 unidades Aire acondiconado

Gas Natural

30 unidades sin asignar

30 -10

10 unidades Calefactores agua

70 0

Celdas solares

Z= 2600

20 unidades Aire acondiconado 21

EL PROBLEMA DE LA RUTA MINIMA

22

4

Dallas

Cleveland

2 2

Un camión debe viajar de Nueva York a los Angeles. Se debe formular un problema de transporte balanceado, que pueda usarse para encontrar la ruta de Nueva York a Los Angeles que utiliza el mínimo costo.

3

3 1

Nueva York

Los Angeles 1

2

1 St. Louis

Veamos

23

24

4

MATRIZ DE COSTOS

N.Y

N.Y

CL

D

St. L

L.A

N.Y

0

2

3

1

M

1+1

N.Y

CL

M

0

4

1

3

1

CL

D

M

M

0

1

2

1

St. L

M

M

M

0

2

L.A

M

M

M

M

0

Origen

1

1

1

1

1+1

Destinos

1 1

3

1

M

0

1

0

4

1

1 1

M

2 1

3

1

Ui 0 1

0

1

1

0

2

1

1

1

M

0

1

1

-1

M

0

1

St. L

M

M

M

L.A

M

M

M

1 2

1 3

1 0

0

L.A Destino

2

M

V j

Iteraciones.

2

St. L

D

Origen

25

0

D

CL

1

1 0

2 1 1

S.B.F inicial obtenida mediante el método de la esq. nor.

26

En este caso entra X33

Paso 1: N.Y

Se determina Cij - Ui - V j para seleccionar la variable que entra a la base.

N.Y CL

Cij - Ui - V j representa la tasa a la cual cambia la función objetivo si se incrementa la V.N.B Xij . La que entra debe tener un Cij - Ui - V j negativo (se elige el más negativo). Veamos

27

0

2

D

M

St. L

M

L.A

M

Origen

1

V j

0

M-1 M-1 M-1 M+1

St. L

3

1

M

D

CL

1

1

0

-3

M M M 1 2

M-3 M-3 M-1

1

0

-4

M M

M-4 M-2

1 3

M M-1

1

0

4

L.A Destino

1 1 0 M

0 1

-1 M+1

1 0

3 1

Ui

2

0

1

1

2

0

1

1

2

1

1

1

0

1

1

-1

2 1

28

Iteraciones. Solamente existe una reacción en cadena que incluye a la V.B entrante, y algunas V.B actuales.

Paso 2: Al incrementar el valor de una variable (entrarla a la base) , se genera una reacción en cadena, de forma tal que se sigan satisfaciendo las restricciones.

Existen celdas donadoras y celdas receptoras. Luego para saber en cuanto se puede incrementar la V.B entrante, se escoge el menor valor entre las celdas donadoras y esta es la que sale de la base (en caso de empates se elige arbitrariamente).

La primera V.B que disminuya su valor hasta cero será la variable que sale. sigue

29

Veamos

30

5

Solución óptima N.Y N.Y CL

0

St. L

M

L.A

M

V j

0

1 0

M+3 M+3 M+5

1

0

M

1

M M

M+1 M+1 M+3

1 2

0

M-5

1

3

3

1

L.A Destino

M

0

4

M+2

M

St. L

3

1

D

Origen

2

M

D

CL

2

2

0

1

-2

0

1

-3

2

1

1

-3

M M+2 MM+4 0

1

1

-5

M

1 3

M

3

0

2

1 1

2 5

La ruta será :

Nueva York

2

1

1

0

Ui

St. Louis

Los Angeles

Z=3 37

38

7