TALLER MATLAB Ecuac Lineales

TALLER MATLAB CARLOS GUTIERREZ MATRICES

Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales,

con m ecuaciones y n incognitas se puede escribir en forma matricial,

Ax = b donde,

Vamos a ver mediante algunos ejemplos y ejercicios c´omo se pueden resolver los sistemas de ecuaciones lineales utilizando algunos de los comandos de Matlab. Consideremos el sistema,

Entonces, siguiendo la notación anterior

Primero calculamos el determinante para saber si se trata de un sistema de solución única. (determinante de A diferente de cero)

El Método de Gauss – Jordan también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. Una forma de resolver el sistema es escribir la matriz orlada (o ampliada)

El Método de Matriz Inversa Para poder usar el método de la inversa sabemos que la matriz de coeficientes (A) debe ser invertible y esto lo podemos verificar fácilmente calculando el determinante de A, recuerde que si es diferente de cero entonces A es invertible y el sistema AX=B tiene solución única la cual es:

X= A-1B

El Método de Cramer Para la regla de Cramer debemos calcular 4 determinantes; det (A), det (D1), det(D2) y det(D3), donde D1, D2 y D3 corresponden a las matrices que resultan de cambiar las columnas 1, 2 y 3 de A por B respectivamente. El método sólo aplica para sistemas con solución única, es decir, con det(A) diferente de cero. el cambio de la columna 1 por B, eso lo realizamos con el comando

D1(:,1)=B. Ahora pasamos a resolver el sistema:

División matricial a la izquierda En este caso, el resultado es el mismo, pero es diferente la forma en la que trabaja el ordenador. En este segundo caso el método que utiliza es el de la factorización LU, que es una modificación de la eliminación gaussiana.

FUNCIONES MATLAB rref(Matriz_Aumentada): El comando rref produce la forma reducida escalonada por filas de una matriz usando la eliminación de Gauss-Jordan rrefmovie(A): produce exactamente el mismo resultado pero nos indica paso a paso como se va obteniendo la matriz resultado det(A): Determinante de A inv(A): Inversa de A A’: Transpuesta de A format rational: formato racional D1(:,1)=B: Cambia la columna 1 de D1 por B

EJERCICIOS Resolver usando los 4 métodos. Escribir los resultados en forma racional.

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Para A = [2 1; 3 2] y B = [3 4; -1 5] comprobar que (AB)t = BtAt

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Generar una matriz cualquiera, por ejemplo 5x5, y calcular su inversa y su determinante. ¿Qué ocurre con el determinante de la matriz y el de su inversa?

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Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números son?

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El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué números son?

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La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del otro. ¿Qué números son?

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Tenemos dos números cuya suma es 0 y si a uno de ellos le sumamos 123 obtenemos el doble del otro. ¿Qué números son?

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Hallar un número de dos cifras que cumple: La segunda cifra es el doble de la primera La suma de las cifras es 12.

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Ana tiene el triple de edad que su hijo Jaime. Dentro de 15 años, la edad de Ana será el doble que la de su hijo. ¿Cuántos años más que Jaime tiene su madre?

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Hallar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 24 y cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor.