Taller juzgamiento de hip+¦tesis 2013 - 1

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA Y TECNOLÓGICA DE COLOMBIA LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA ‐ INFERENCIA ESTADÍSTICA TAREA SOBRE JUZGAMIENTO DE HIPÓTESIS E INTERVALOS DE CONFIANZA SEÑORES ESTUDIANTES DE INFERENCIA Las dos primeras hojas hablan sobre el p‐valor y cómo usar el intervalo de Confianza como proceso para juzgar para juzgar hipótesis, por favor leer lo relacionado. Luego aparecen tres bloques de ejercicios, distribuidos así: El bloque uno con ejercicios numerados del 18 al 36, en la parte izquierda de cada ejercicio aparece el nombre del estudiante, es decir, indica el ejercicio que debe entregar. El bloque dos, contiene ejercicios en inglés (páginas 393, 405 Y 459), se desarrollan de la siguiente manera: Estudiante cuyo último dígito de su código sea par hace los ejercicios pares Estudiante cuyo último dígito de su código sea impar hace los ejercicios impares El bloque tres, son ejercicios para estudiar más no para entregar. La tarea se entrega en hojas de examen con el procedimiento, a su vez deben usar el paquete R como soporte, luego construyen un archivo con la sintaxis que necesiten el cual debe ser entregado junto entregado junto con la tarea.

EJERCICIOS BLOQUE UNO

18.- Una prueba de detección de la hepatitis vírica produce un 2% de falsos positivos (prueba positiva en una persona sana) y un 5% de falsos negativos (prueba negativa en una persona enferma). Se aplica esta prueba a 800 personas independientes tomadas al azar en una población. a) Hallar la relación entre  p="probabilidad de dar positivo en la prueba" y q="probabilidad de  padecer hepatitis vírica" .  b) ¿Cuál es el máximo número de pruebas positivas que podríamos obtener, entre las 800, para considerar probado que la enfermedad afecta a menos del 8% de la población?. Tomar  α  0.01 . =

sol.: a) p=0.02+0.93q; b) A lo sumo 46.

19.- El Verapamil y el Nitroprusside son dos productos utilizados para reducir la hipertensión. Para compararlos, unos pacientes son tratados con Verapamil y otros con Nitroprusside. Los resultados YOBANI obtenidos se muestran en la siguiente tabla, donde X="reducción (en mm.) de la presión arterial de un  paciente tratado con Verapamil"  e Y="reducción (en mm.) de la presión arterial de un paciente tratado con Nitroprusside" :  X Y

10 15

15 10

18 19

23 9

12 14

16 12

15 18

a) Admitiendo normalidad, ¿se puede aceptar la igualdad de varianzas a un nivel de significación de 0.1?.  b) ¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística, a un nivel de significación de 0.1, para concluir que el Verapamil es más efectivo que el Nitroprusside para reducir la presión arterial?. sol.: a) Sí; b) no, de modo que mantendremos la hipótesis de que ambos productos son  igualmente efectivos para reducir la presión arterial.

20.- Se tienen indicios de que el consumo de tabaco tiende a provocar problemas de trombosis debidos a un aumento en la capacidad de coagulación. Para estudiar estas hipótesis, Levine (1973) extrajo muestras de sangre de 11 individuos antes y después de que fumasen un cigarrillo, y midió la capacidad de agregación de las plaquetas, obteniendo los datos siguientes (correspondientes al máximo porcentaje de plaquetas que se agregaron después de haber sido sometidas a un estímulo adecuado):  Antes de fumar (X) 25 25 27 44 30 67 53 53 52 60 28  Después de fumar (Y) 27 29 37 56 46 82 57 80 61 59 43

¿Hay suficiente evidencia estadística, a un nivel de significación de 0.01, a favor de la hipótesis de que los fumadores presentan una mayor tendencia a la formación de coágulos?. Suponer normalidad en los datos. sol.: Sí 

21.- Es generalmente aceptado que existen diferencias ligadas al sexo relacionadas con la respuesta a la tensión producida por el calor. Se sometió aun grupo de 10 hombres y 8 mujeres a un programa de ejercicios duros que implicaban el empleo de aparatos de rueda. La variable de interés es el porcentaje de peso corporal perdido. Se obtuvieron los datos siguientes: LIZETH ZARABANDA

varones  2.9 mujeres  3.0

3.5 2.5

3.9 3.7

3.8 3.3

3.6 3.8

3.7 4.1

3.8 3.6

4.0 4.0

3.6

3.7 

a) Establecer una estimación puntual para la diferencia de porcentaje medio de peso corporal perdido entre hombres y mujeres que hacen ejercicio en estas condiciones.  b) Supuesta normalidad y varianzas iguales, hallar un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias poblacionales. sol.: a) 0.15; b)[-0.276 , 0.576].

22.- Se lleva a cabo un estudio para comparar algunos de los atributos físicos de las nadadoras olímpicas con los de las corredoras olímpicas. Una variable de interés es la grasa corporal total en kilogramos. Se han obtenido muestras de 12 corredoras y 10 nadadoras. Los valores observados son: RAMIRO A.

corredoras  11.2 nadadoras  14.1

10.1 15.1

9.4 11.4

9.2 14.3

8.3 9.2

8.2 12.7

7.6 13.7

7.3 11.9

6.9 10.7

5.5 8.7 

5.0

3.7 

Supuesta normalidad, hallar un intervalo de confianza del 98% para la diferencia de grasa corporal total media entre corredoras y nadadoras olímpicas. En base a este intervalo, ¿piensas que existe diferencia entre la cantidad media de grasa total de corredoras y nadadoras olímpicas?. Razonar la respuesta. sol.: Como podemos suponer varianzas iguales, el intervalo de confianza de nivel 0.98 para  la diferencia de medias es [-6.848, -2.112]. El intervalo indica, claramente, que las corredoras  tienen menor cantidad media de grasa corporal que las nadadoras.

23.- Se lleva a cabo un estudio de dos tipos de tratamiento por fármacos para su utilización potencial en transplantes de corazón. El fin de los fármacos es actuar como inmunosupresores: reprimir la tendencia natural del cuerpo a rechazar el transplante. Las ratas ACI machos sirven como donantes, y las ratas Lewis Brown Norway machos como receptoras. Estas ratas son conocidas por su defectuosa compatibilidad. La variable de interés es  X , tiempo de supervivencia de días. Se han obtenido los siguientes resultados estadísticos: YURY PAOLA

Salicilato sódico solo n=9  x  =16 días

Salicilato sódico y azatioprina m=9 y  =15 días

 s X =10.1 días

sY =10 días

Hallar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia entre los tiempos medios de supervivencia de los dos tratamientos. Suponer que las variables de interés son normales. sol.: [-7.77 , 9.77] .

24.- Se han utilizado 23 vegetarianos en un estudio de enfermedad diverticular y dieta. Una variable de interés es el total de fibra dietética. Se ha obtenido la siguiente información para los dos grupos, los que no tenían la enfermedad y los que sí la tenían: RAFAEL C.

Sin n=18  x  =42.7 g 

Con m=5 y  =27.7 g 

 sˆ  X =9.9 g 

 sˆ Y =9.5 g 

Suponiendo normalidad, a) Contrastar la igualdad de varianzas iguales.  b) ¿Hay razón suficiente para afirmar que la media total de contenido de fibra dietética, en las dietas de los que no tienen la enfermedad, es más alta que en la de aquellos que la tienen?. Explicar la respuesta en base al p-valor del contraste. sol.: a) S e aceptan varianzas iguales. b) Si, ya que el p-valor es inferior a 0.005.

25.- En un estudio de características corporales de las gaviotas de pico anillado, la variable considerada es la longitud del pico. Se dispone de los siguientes datos: EDNA Y.

Hembras n=51  x  =59.1mm

Machos m=41 y  =65.2 mm

 sˆ  X =1.9 mm

 sˆ Y =2.0 mm

 No se han detectado diferencias en las varianzas poblacionales. ¿Hay razón para sostener el argumento de que la longitud media del pico en los machos es mayor que en las hembras?. Explicar la respuesta en base al p-valor. (suponer que la distribución de las variables es normal). sol.: Si, el p-valor es inferior a 0.0025.

26.- Se cree que los jóvenes adolescentes que fuman comienzan a hacerlo a una edad más temprana que las chicas adolescentes fumadoras. ¿Los siguientes datos apoyan esta suposición?. (Suponer que la distribución de la variable edad a la que empiezan a fumar hombres y mujeres, es normal).

YAQUELIN C.

Hombres n=33  x  =11.3 años

Mujeres m=14 y  =12.6 años

 sˆ 2 X =4

 sˆ 2Y =3.5

sol.: Si, el p-valor del contraste es inferior a 0.025.

27.- Se realiza un estudio para comparar las tortugas en Malabar con las de Grande-Terre, islas del atolón Aldabra en el Océano Índico. Una variable de interés es X , el peso de un huevo en el momento de la  puesta. Muestras aleatoriamente seleccionadas de las dos islas proporcionan los siguientes resultados (supóngase normalidad): YURANY C.

Grande-Terre n=31  x  =64.0 g 

Malabar m=148 y  =82.7 g 

 sˆ  X =6.5 g 

 sˆ Y =3.6 g 

A la vista de estos datos, ¿se puede afirmar que el peso medio de un huevo en el momento de la puesta en tortugas de Malabar es mayor que en tortugas de Grande-Terre?. Razonar la respuesta. sol.: Si, el p-valor es inferior a 0.0025. Además también se comprueba que las varianzas son  distintas.

28.- Se realiza un estudio de velocidad de vuelo de diversas especies de pájaros. Se va a comparar el  pelícano pardo con el ostrero americano. Se cronometra a los pájaros volando con el viento de costado con una velocidad de viento de 5 a 8 mph. Los resultados obtenidos son los siguientes: YENNY BRIGGITT

Pelícano pardo n=9  x  =26.05 mi/h

Ostrero m=12 y  =30.19 mi/h

 sˆ  X =6.34 mi/h

 sˆ Y =3.2 mi/h

Suponiendo normalidad, hallar un intervalo de confianza del 90% para la diferencia en la velocidad de vuelo media de los pelícanos pardos y los ostreros americanos cuando vuelan con el viento de costado. Basándose en este intervalo, ¿hay evidencias de que exista una diferencia en las medias  poblacionales? Razonar la respuesta. sol.: [-8.29 , 0.006], no.

29.- Para estudiar el efecto del ejercicio físico sobre el nivel de triglicérido, se ha realizado el siguiente experimento con 11 individuos: previo al ejercicio, se tomaron muestras de sangre para determinar el nivel de triglicérido por  100 mililitros de sangre, de cada sujeto. Después los individuos fueron sometidos a un programa de ejercicios que se centraba diariamente en carreras y marchas. Al final del  periodo de ejercicios, se tomaron nuevamente muestras de sangre y se obtuvo una segunda lectura del nivel de triglicérido. De este modo, se dispone de dos conjuntos de observaciones del nivel de triglicérido por 100 mililitros de sangre de los sujetos: (suponer normalidad) 1 Sujeto  Previo  68 Posterior  95

2 77 90

3 94 86

4 73 58

5 37 47

6 131 121

7 77 136

8 24 65

9 99 131

10 629 630

11 116  104

a) Hallar un intervalo de confianza del 90% para el cambio medio en el nivel de triglicérido.  b) ¿Hay pruebas suficientes para afirmar que el ejercicio físico produce cambios en el nivel de triglicérido?. sol.: a) [-25.91 , 0.83]; b) No, el p-valor es superior a 0.1.

30.- Se ha realizado un estudio para comparar el contenido de sodio en el plasma de la piel de las focas australes jóvenes, con el nivel de sodio de la leche de las focas. Los resultados obtenidos, sobre el contenido de sodio en la piel y en la leche, de 10 focas aleatoriamente seleccionadas son:

1 Sujeto  93 Leche  Plasma  147

2 104 157

3 95 142

4 81.5 141

5 95 142

6 95 147

7 76.5 148

8 80.5 144

9 79.5 144

10 87.0 146 

Suponiendo normalidad, hallar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia media de niveles de sodio en los dos fluidos corporales. ¿Hay pruebas suficientes para afirmar que existe alguna diferencia?. sol.: [-62.78 , -51.41]; Si, el p-valor es mucho más pequeño que 0.0025.

31.- Se intenta estudiar la influencia de la hipertensión en los padres sobre la presión sanguínea de los hijos. Pare ello se seleccionan dos grupos de niños, unos con padres de presión sanguínea normal (grupo 1) y otros con uno de sus padres hipertenso (grupo 2), obteniéndose las siguientes presiones sistólicas: YEISON D.

Grupo 1 104 88 100 98 102 92 96 100 96 96  Grupo 2 100 102 96 106 110 110 120 112 112 90

Hallar un intervalo de confianza para la diferencia de medias, suponiendo normalidad y que las varianzas en las dos poblaciones de niños son iguales. sol.: A un nivel de confianza del 95%, [-15.2776 , -1.9224] 

32.- En un estudio sobre el tiempo de desarrollo de una especie de insectos en dos poblaciones (A1 y A2) aisladas se obtuvieron los siguientes datos: DIEGO O.

13 x1 4 sˆ1 3 n2 11 x2 5 sˆ2 2.2 Suponiendo que el tiempo de desarrollo en la población Ai sigue una distribución  N ( µi ,σ i ) , para i=1,2, se pide: a) Hallar un intervalo de confianza para el cociente de varianzas al nivel 0.9.  b) Obtener un intervalo de confianza para µ1 µ 2 , con nivel de confianza 0.95 (suponiendo varianzas iguales). c) ¿Cuántos individuos habría que observar para estimar  µ 1 con un error máximo de 0.2 y un nivel de confianza de 0.95?. n1

=

=

=

=

=

=

−

sol.: a) [0.6383 , 5.1198]; b) [-7.0407 , -5.0407]; c) al menos 865 

YENIFER G.

33.- Se efectúa un estudio sobre el color de los escarabajos tigre para conseguir pruebas que apoyen el argumento de que la proporción de escarabajos negros puede variar de un lugar a otro. En una muestra de 500 escarabajos capturados en una extensión próxima a Providence, Rhode Island, 95 eran negros. Una captura de 112 escarabajos en Aqueduct, Nueva York, contenía 17 individuos negros. a) Hallar una estimación puntual para la diferencia entre las proporciones de escarabajos negros en las dos regiones. En base a esa estimación, ¿crees que hay diferencia entre las proporciones  poblacionales?.  b) Construir un intervalo de confianza, de nivel de confianza 0.95, para la diferencia de proporciones  poblacionales desconocida. En base a esa estimación, ¿crees que hay diferencia entre las proporciones  poblacionales?. c) Responder a la pregunta de los apartados a) y b) efectuando un contraste de hipótesis. ¿Cuál es su  p-valor?. sol.: a) 0.0382; b) [-0.0409 , 0.1173]; c) A un nivel de significación de 0.05 no podemos  afirmar que exista diferencia entre las proporciones de escarabajos negros en las regiones  estudiadas. El p-valor del contraste es 0.3472.

34.- Uno de los ejemplos de selección natural estudiados es el de la polilla moteada. Hasta 1845, todas las especies conocidas presentaban colores claros, pero ese año fue capturada en Manchester una polilla negra. A causa de la industrialización en la zona, los troncos de los árboles, las rocas, e incluso la tierra, se habían ennegrecido por el hollín. Esta forma mutante negra se extendió rápidamente. H.B.D. JEFERSON Kettlewell creyó que la expansión era debida, en parte, a que el color negro protege a la polilla de sus ALEXANDER depredadores naturales, en particular de los pájaros. Los entomólogos de la época declararon que ellos nunca habían visto a un pájaro comerse una polilla moteada de color alguno y desecharon la idea. En

un experimento para estudiar la teoría, Kettlewell marcó una muestra de 100 polillas de cada color y las liberó después. Volvió por la noche con trampas de luz y recobró el 40% de las polillas negras y solamente el 19% de las de color claro. Supóngase que las polillas no recobradas fueron presas de algún depredador. a) Encontrar una estimación puntual para la diferencia en las tasas de supervivencia de las polillas negras y las de color claro, en la región de Manchester. ¿Crees que esa estimación apoya la teoría de que el color negro contribuye a proteger a estas polillas de los depredadores?.  b) Construir un intervalo de confianza del 98% para la diferencia entre las tasas de supervivencia de las polillas negras y las de color claro, en la región de Manchester. ¿Crees que esa estimación apoya la teoría de que el color negro contribuye a proteger a estas polillas de los depredadores?. c) Responder a la pregunta de los apartados a) y b) efectuando un contraste de hipótesis. ¿Cuál es su  p-valor?. sol.: a) 0.21; b) [0.0597 , 0.3603]; c) A un nivel de significación de 0.02 podemos afirmar que  las polillas de color negro están mejor protegidas contra los depredadores que las de color claro. El p-valor del contraste es 6*10 -4 .

35.- Se han realizado diversos estudios analizando la incidencia de la malaria en niños africanos heterocigóticos respecto al gen asociado a la anemia falciforme, y en niños homocigóticos normales. En un estudio realizado por ALLC se obtuvieron los siguientes datos: de 136 niños heterocigóticos, 36 CARLOS A. sufrieron la malaria, mientras que, de 407 homocigóticos, la sufrieron 152. ¿Hay evidencia estadística (al nivel 0.05) de que los heterocigóticos están mejor protegidos frente a la malaria que los homocigóticos normales?. sol.: Sí.

SANDRA M.

36.- En una granja experimental se intenta comparar la virulencia de dos organismos patógenos causantes de epidemias en los pollos. De 200 pollos inoculados con el organismo 1, 137 manifestaron síntomas durante los 14 primeros días. De 150 pollos inoculados con el organismo 2, 98 manifestaron síntomas durante los 14 primeros días. ¿Existe diferencia entre la virulencia de los dos organismos?. Razonar en  base al p-valor. sol.: No, pues el p-valor es 0.5352, aproximadamente.

EJERCICIOS BLOQUE DOS

EJERCICIOS BLOQUE TRES