Taller III Matrices

Universidad de Nari˜ no Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matem´ aticas Docente: Fernando Andr´es Benavides Agredo

Taller III Algebra de Matrices Lic. en Inform´atica Abril 14 de 2011

Nota: A fin que obtenga una mayor interpretaci´ on del tema de estudio es necesario que usted escriba el procedimiento que utiliz´ o para resolver cada problema. Ejercicios 1. Escriba cada una  2 2. Sea A =  −10 0 a) E21

5 3





de las siguientes matrices elementales de orden 4: E21 53 , E32 (−4), P13 , P23 y M3  −1 4 0 1 0 −1 . Determine los siguientes productos bien definidos: −1 1 2

A.

b) E32 (−4) A.

1 7




.

c) P23 A. d ) M3

1 7




A.

3. Para cada una de las siguientes afirmaciones diga si es verdadera o falsa. Justifique su respuesta a) Si A y B son matrices invertibles de orden n entonces A + B es una matriz invertible. b) Si A, B y C son matrices invertibles del mismo orden, entonces A−1 BC −1 es una matriz invertible. c) Si AB = AC entonces B = C. d ) Si A2 es invertible entonces A es invertible. 4. De ser posible calcule la inversa de cada una de las siguientes matrices:     2 2 2 0 0 3 a) . −1 −2 d )  0 15 0  √   √ 0 0 67 √2 √3 . b) 2 2 3 3    1 2 2 1 1 0 0 0  0 1 −3 2  −2 1 0 0     e)  . c)  0 0 1 5 2 −1 1 0  0 0 0 1 3 4 5 1

  . 

5. De ser posible determine la factorizaci´ on LU de cada una de las siguientes matrices:     1 −1 3 4 −7 −3 −1 3 3 1  a)  −2 2 4 . c)  1 7 −7 1 2 −13 −13 −3   1 2 2   2 1 −2  2 −1 4 0      2 −2 1 −10 1 0 −1 b)   d) A =   3 3  0 0  −1 1 2 4 −1 −1 1 −3 3 5

   

6. Una f´ abrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de m´aquinas herramienta donde se fabrican las partes de los muebles, y una divisi´ on de ensamble y terminado en la que se unen las partes para obtener el producto final. Suponga que se tienen 12 empleados en el taller y 20 en la divisi´on y que cada empleado trabaja 8 horas. Suponga tambi´en que se producen u ´nicamente dos art´ıculos: sillas y mesas. Una silla requiere 384 17 horas

240 640 de maquinado y 480 17 horas de ensamble y terminado. Una mesa requiere 17 horas de maquinado y 17 horas de ensamble y terminado. Suponiendo que se tiene una demanda ilimitada de estos productos y que el fabricante desea mantener ocupados a todos a sus empleados, ¿cu´antas sillas y cu´antas mesas puede producir esta f´ abrica al d´ıa?.

7. La alacena de ingredientes de una hechicera contiene 10 onzas de tr´eboles de cuatro hojas molidos y 14 onzas de ra´ız de mandr´ agora en polvo. La alacena se resurte en forma autom´atica siempre y cuando ella termine con 2 1 onzas de tr´eboles y 2 13 onzas de mandr´agora. Una receta de todo lo que tiene. Una poci´ on de amor requiere 13 5 agora. un conocido tratamiento para el resfriado com´ un requiere 5 13 onzas de tr´eboles y 10 10 13 onzas de mandr´ ¿Qu´e cantidad de la poci´ on de amor y del remedio para el resfriado debe combinar la hechicera para usar toda la reserva en su alacena?. 8. Un granjero nutre a su ganado con una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad est´andar del alimento A proporciona a un novillo 10 % del requerimiento diario de prote´ına y 15 % del de carbohidratos. Si el granjero quiere alimentar a su ganado con el 100 % de los requerimientos m´ınimos diarios de prote´ınas y carbohidratos, ¿cu´ antas unidades de cada tipo de alimento debe recibir un novillo al d´ıa?. 9. Una versi´ on muy simplificada de una tabla de insumo-producto para la econom´ıa de Israel en 1958 divide dicha econom´ıa en tres sectores - agricultura, manufactura y energ´ıa - con los siguientes resultados,

Agricultura Manufactura Energ´ıa

Agricultura 0.293 0.014 0.044

Manufactura 0 0.207 0.010

Energ´ıa 0 0.017 0.216

a) ¿Cu´ antas unidades de producci´ on agr´ıcola se requieren para obtener una unidad de producto agr´ıcola?. b) ¿Cu´ antas unidades de producci´ on agr´ıcola se requieren para obtener 200000 unidades de productos de esta naturaleza?. c) ¿Cu´ antas unidades de producci´ on agr´ıcola se requieren para obtener 50000 unidades de energ´ıa?. d ) ¿Cu´ antas unidades de energ´ıa se requieren para obtener 50000 unidades de productos agr´ıcolas?. 10. Continuando con el problema anterior, las exportaciones (en miles de libras Israel´ıes) en 1958 fueron las siguientes, Agricultura Manufactura Energ´ıa

13213 17597 1786

Determine el valor en libras israel´ıes de los productos agr´ıcolas, la energ´ıa y los art´ıculos manufacturados necesarios para hacer funcionar este modelo y exportar el valor establecido de cada producto.