Taller I Ing - Financiera

TALLER GRUPAL I (PRIMER CORTE) Yuliana Agudelo, Dylan Carreño, Camilo Falla, Valeria Palacio, Diego Reyes, Angie Vergara Ingeniería Financiera Grupo 4 Profesor: Oscar Gonzales Universidad América

1. Por medio de un pagaré nos comprometimos a cancelar después de año y medio un valor de $3.285.000. Si la tasa de interés simple es del 1.5% mensual, hallar el valor inicial de la obligación. RTA. $2´586.614 n= 1.5 años $3´285.000 i=1.5% mensual simple n=18 meses

F=P(1+n ×is)

n=18 meses

P=

i=1.5% interés simple

P

$ 3 ´ 285.000 ( 1+18 × 1.5 %)

P=$ 2 ´ 586.614

P=?

2. Un inversionista estima que un lote de terreno puede ser negociado dentro de 3.5 años por $85.000.000. ¿Cuánto será lo máximo que él está dispuesto a pagar hoy, si desea obtener un interés del 18% semestral simple? $37´610.619 i=18% semestral simple

F=P(1+n ×is)

n= 3.5 años

$85´000.000

n=7 semestres

n=7 semestres

P=

i=18% semestral simple

P

P=?

$ 85 ´ 000.000 (1+7 ×18 %)

P=$ 37 ´ 610.619

3. Hallar la tasa de interés mensual simple que obtenemos cuando invertimos $210.000 y al cabo de 10 meses podemos retirar $311.650. RTA. 4.84% mensual simple. I=?

$ 210.000

$311.650 n=10 meses

n= 10 meses i=?

F −1 P is= n $ 311.650 −1 $ 210.000 is= 10 is=4.84 % mensual simple

4. Una caja de ahorros reconoce el 5% trimestral de interés simple. Si hoy deposito $250.000, ¿cuánto tiempo debo esperar para retirar $ 325.000? Respuesta: 6 trimestres. $325.000 I=5% trimestral simple

F −1 P n= is n=?

$ 250.000

$ 325.000 −1 $ 250.000 n= 5% n=6 trimestres

5. ¿Cuánto tiempo debe esperar para que se duplique una inversión si ésta liquida intereses al 2.5% mensual simple? RTA. 40 meses 2X

2X −1 X n= 2.5 %

F −1 P n= is

I=2.5% mensual simple

X

n=40 meses

n=?

6. Se invirtieron $ 2.000.000 y después de 3 años se recibieron $3.600.000. ¿Qué tasa trimestral simple arrojó la operación financiera? RTA. 6.66% trimestral simple $3´600.000 I=?

n= 3 años n= 12 trimestres i=?

$2´000.000

F −1 P is= n $ 3 ´ 600.000 −1 $ 2 ´ 000.000 is= 12

is=6.66 % trimestral simple 7. ¿En cuánto tiempo un capital de $2.520.000 se convierte en $3.150.000 si la tasa de interés simple es del 37.5% anual. RTA. 0.666 años $3 I=37.55% anual simple

$2´520.000

F −1 P n= is n=?

$ 3 ´ 150.000 −1 $ 2´ 520.000 n= 37.5 % n=40 meses

´150.000

8. Se depositan $1.200.000 en una Corporación financiera que reconoce un 4,5% semestralmente. ¿Qué suma se retira al cabo de 2 años? Explique. RTA. $1´431.022

F

n= 2 años

I=4.5% semestral n=4 semestres

$1´200.000

F=P ( 1+ic )

n

n=4 semestres

F=$ 1´ 200.000 ( 1+4.5 % )

i=4.5% semestral

P=$ 1 ´ 431.022

4

F=?

9. ¿A qué tasa efectiva mensual se duplica un capital en 2 años y medio? RTA. 2.33% mensual 2X n=30 meses

X

n

n= 2.5 años

i=√ ¿ ¿

n=30 meses

i=30√ ¿¿

I =? i=?

i=2.33 % mensual

10. Una entidad financiera paga el 8% anual, por un depósito a término de $ 845.000 pactado a 3 meses. ¿Qué suma de dinero se recibirá por concepto de interés? RTA. $861.415 F

n= 1 año n=1/4 trimemestres

i=8% anual

n=1/4 trimestres

i=8% semestral

$845.000

F=?

F=P ( 1+ic )

n

F=$ 845.000 ( 1+ 8 % )

0.25

P=$ 861.415

11. Se requieren $9'000.000 para viajar a Europa dentro de un año, si se tienen $7 ´315.000, ¿a qué tasa de interés anual se debe colocar este dinero para obtener la suma requerida? Explique su respuesta. RTA. n 23.03% anual iem=√¿ ¿ n= 1 año $9'000.000 Iea=? n=12 meses

$7´315.000

12

iem= √ ¿ ¿

n=12 meses

iem=1.742% mensual iem=? , iea=?

iea=23.03 % anual

12. Si usted invierte 95 millones de pesos durante 5 meses, y le entregan 99 millones al final, la rentabilidad obtenida fue de:

( 1+iem )12=( 1+iea )1 ( 1+1.742 % )12=( 1+iea )1

a. b. c. d.

4.0404% en cinco meses 4.2105% anual 4.2105% en cinco meses d. Ninguna de las anteriores (RTA. C) 4.2105% F = $99.000.000

Tasa de interés anual con n = 1 F −1 P is= n

n = 5 meses

99 ' 000.00 −1 95 ' 000.000 is= 1

P = $95.000.000

is=4.2105 % anual

13. ¿Qué cantidad de dinero debe depositar hoy en un fondo de pensiones voluntarias que renta 0.95% mensual en promedio, para acumular, al cabo de los 25 años que le faltan para su jubilación, mil millones de pesos? RTA. $58´627.721 F = $1000’000.000 Ic = 0.95%

Interés compuesto (ic): 0.95% n = 25 años * 12 = 300 meses

n =?

P= P=

P = ??

F ( 1+ic)n

1000.000 .000 (1+0.95 % )300

P=$ 58' 627.721

14. Si usted invierte hoy $30.000.000 en un fondo de inversiones que renta el 1% mensual de interés (en promedio), y deja su capital en el fondo durante 30 años sin hacer retiros ni depósitos adicionales, ¿Qué cantidad de dinero va a tener acumulada al final (dentro de 30 años)? RTA. $1´078.489.240 F= ? Ic = 1% P = 30’000.000

n = 30 años

n=30 años∗12=360 meses F=P ( 1+ic )n F=30' 000.000 ( 1+1 % )360 P=$ 1' 078.489.240

15. José Luis está vendiendo su casa y recibe las siguientes ofertas: a. Un empleado del gobierno le ofrece $ 100.000.000 de contado b. Un familiar le ofrece pagarle dentro de un año la suma de $ 137.000.000.

c. Juan David le ofrece pagarle hoy $ 70.000.000 y dentro de 10 meses la suma de $ 39.000.000. Si José Luis puede invertir su dinero a una tasa del 2,5% mensual, ¿cuál oferta le conviene? RTA. B) Para darle solución a este problema, se evaluará para cada una de las opciones el valor a futuro (F) obtenido en 12 meses. Opción A: F=?

F=P ( 1+ic )

Ic = 2.5%

n

'

F=100 000.000 ( 1+2.5 % )

12

F=$ 134 ' 488.882

12 meses

P = 100’000.000 Opción B: F=?

F=P ( 1+ic )

Ic = 2.5%

n

'

F=137 000.000 ( 1+2.5 % )

12

F=$ 184 ' 249.768

12 meses

P = 137’000.000 Opción C:

X 10

12

ic=2.5 % X =39' 000.000 ( 1+2.5 % )10 +70' 0000 12 ( 1+ 2.5 % ) '

X =161 283.502

70’000.000

39’000.000

Conclusión: Se obtiene un mayor valor a futuro en 12 meses con la opción B.

16. Jhonny Alberto me debe pagar dentro de 8 meses la suma de $ 20.000.000. Me ofrece pagar hoy la suma de $ 17.500.000. Si mi tasa de oportunidad es del 2% mensual, ¿me conviene aceptar el pago? RTA. B 17’500.000

20’000.000

F=P ( 1+ic )

Ic=2%

n

'

F=17 500.000 ( 1+2 % )

n = 8 meses

8

'

F=$ 2 0 504.039

Conclusión: Sí conviene aceptar el pago, a los 8 meses transcurridos con una tasa de 2% mensual se obtendrá más de los $20’000.000 17. Un inversionista inicia una cuenta de ahorros hoy con $ 500.000, dentro de tres meses deposita $ 1.000.000 y dentro de 6 meses deposita $ 2.000.000. ¿En cuánto tiempo tendrá disponible $ 6.000.000, si la tasa de interés que le reconocen es del 2% mensual?. RTA. 31.4 meses

Tomamos como punto de referencia el mes (0) o sea el día de hoy. 5

5 x 10 +

6

6

6

1 x 10 2 x 10 6 x 10 + = 3 6 x (1+ic) (1+ic) (1+ic)

Reemplazamos el interés compuesto en la ecuación: 5 x 105 +

6

6

6

1 x 10 2 x 10 6 x 10 + = 3 6 x (1+0,02) (1+ 0,02) (1+0,02)

Y despejamos X x=31,45 meses

18. Una máquina que actualmente está en uso llegara al final de su vida útil en 3 años, para esa época será necesario adquirir una nueva máquina y se estima costara unos US$20.000, la maquina actual para esa época podrá ser vendida en $US5.000. Determinar el valor que se debe depositar hoy a un depósito a término fijo a 3 años que garantiza el 7.5% efectivo anual. RTA. $12.074,

Este problema se puede resolver de do s formas las cuales son usando el iea o pasar el iea a iem, ambas rutas deben dar el mismo resultado.  Utilizando el iea: Tenemos que: n

F=P(1+iea)

Despejamos P y nos queda P=

F ( 1+iea )n

Reemplazamos en la ecuación P=

20.000−5.000 ( 1+0,075 )3

P=12.074,4 pesos

 Ahora utilizando el iem: Para aplicar el iem toca pasar de iea a iem de la siguiente manera

( 1+iea )1=( 1+iem )12 Remplazamos y despejamos iem

( 1+0,075 )1=( 1+iem )12 iem= √(1+0,075)−1 12

iem=0,6044919029 %

Ahora aplicamos la ecuación de P para calcular el valor: P=

20.000−5.000 ( 1+0,00 6044919029 )36

P=12.074,4 pesos

19. Blanca Elena hace los siguientes depósitos en una cuenta de ahorros que le reconoce una tasa del 1,3% mensual: $ 350.000 dentro de 4 meses, $ 725.000 dentro de 7 meses y $1.100.000 dentro de 10 meses. Calcular el saldo de la cuenta al final del año. RTA. $2´290.252

Inicialmente tomamos un punto de referencia (flecha verde) 350.000+

725.000 1' 100.000 X + = 3 6 8 (1+ ic) (1+ ic) (1+ ic)

Remplazamos 350.000+

725.000 1' 100.000 X + = 3 6 (1+0,013) ( 1+ 0,013) (1+ 0,013)8 X =2' 290.252,15

20. Un ahorrador deposita hoy la suma de $ 350.000 en una institución que paga un interés del 2% mensual. Si retira $ 130.000 al cabo de un año y $ 190.000 un año más tarde, ¿Qué saldo tendrá en la cuenta de ahorros a los 3 años? RTA. $263.897

Tomamos un punto de referencia (flecha verde) para poder plantear la ecuación de valor 3

12

3

130 x 10 (1+ic ) +190 x 10 +

X 3 24 =350 x 10 (1+ic) 12 (1+ ic)

Reemplazamos 3

12

3

130 x 10 (1+0,02) +190 x 10 +

X 3 24 =350 x 10 (1+0,02) 12 (1+ 0,02)

X =263.897,78 Pesos

21. Una persona deposita en una cuenta de ahorro que le paga el 2.5% mensual: $30.000 dentro de tres meses, $42.000 dentro de cinco meses y $28.000 dentro de 8 meses. Se pide:

a. Calcular la cantidad total en la cuenta de ahorros dentro de un año. RTA. $118.294 Con el punto de referencia (flecha verde) empezamos a hacer las ecuaciones 3 2 X 3 3 28 x 10 ( ) 30 x 10 1+ic +42 x 10 + = 3 ( 1+ic ) ( 1+ic )8 Reemplazamos 28 x 103 X 3 2 3 30 x 10 (1+0,025) +42 x 10 + = 3 8 (1+ 0,025) (1+0,025) X =118.297,45 pesos b. ¿Qué deposito único hoy, es equivalente a los tres depósitos realizados? RTA. $87.960 Con el punto de referencia (Flecha morada) empezamos a hacer las ecuaciones X=

3

3

3

30 x 10 42 x 10 28 x 10 + + 3 5 8 (1+ic) (1+ic) (1+ic)

Reemplazamos X=

3

3

3

30 x 10 42 x 10 28 x 10 + + 3 5 8 (1+0,025) (1+0,025) (1+ 0,025)

X =87.960,766 pesos

22. ¿A qué tasa nominal trimestral, se triplica un capital en 4 años? RTA. 28.43%

En este ejercicio se soluciona de forma algebraica: n

F=P(1+ict )

3 X =X (1+ict )n 3X =( 1+ict )16 X 16

X =(1+ict )

3=1+ ict 16 ict= √ 3−1 16

ict=0,0710754

Como sabemos el ic = iet, entonces nos queda: iet=0,0710754

Ya teniendo el iet podemos calcular el int de la siguiente forma:

∫ ¿ iet∗m ∫ ¿ 0,0710754∗4 ∫ ¿ 0,2843

∫ ¿ 28,43 % 23. ¿A qué tasa nominal semestral se cuadruplica un capital en 8 años? RTA. 18.10% i=? X=10 millones

ins=ies∗2

n= 8 años

ies= √n ¿ ¿

n=16 semestres

ies= √ ¿ ¿

ins=9,050 %∗2

ies=9,050 %

ins=18,10

16

X

24. Una compañía dedicada a la intermediación financiera desea hacer propaganda para captar dineros del público, la sección de mercadeo le dice al gerente de la compañía que una buena estrategia de mercadeo es duplicar el dinero que depositen los ahorradores. Si la junta directiva de la compañía autoriza pagar por la captación dinero un máximo de 2.5% efectivo mensual. ¿Cuánto tiempo debe durar la inversión? TRA. 28.07 meses 2X iem= 2,5%

n=?

n= n=

log ( F/ P ) log ( 1+iem )

n=28,07 meses

log ( 2 X / X ) log ( 1+0,025 )

25. Una cooperativa deposita $10.000.000 en una corporación de ahorro y vivienda que reconoce una tasa del 7,71% anual. Si la cooperativa desea duplicar su dinero, ¿por cuánto tiempo debe colocarlo? RTA. 9.33 años.

X 2X iea= 7,71%

n=?

n= n=

log ( F /P ) log ( 1+iea )

log ( 2 X / X ) log ( 1+0,0771 )

n=9,33 años

26. ¿Un banco concede a una empresa un préstamo por un valor de $20.000.000, con plazo de 1 año y con una tasa de interés fija del 26% e.a (año vencido), y pagadero a la fecha de vencimiento. ¿A cuánto ascenderá el valor a cancelar por la empresa al vencimiento? RTA. $25´200.000. 20 millones n=1 año

iea= 7,71%

27. Un televisor tiene un valor de contado de $1´300.000 y se debe financiar en tres pagos así: $500.000 dentro de tres meses y los otros dos pagos iguales a 8 y 12 meses. Hallar el valor de estos dos pagos si la tasa de interés que se paga por la n F=P ( 1+iea ) financiación es del 2% mensual. RTA. 1 $504.779 F=20 ' 000.000 ( 1+ 0,26 ) i= 2 %

1300000 0

3m

500000

F=25 ' 200.000

F=? 12 m

8m X

X

1300000=

28. Sustituir dos pagares, uno de $380.000 y otro de $220.000 con vencimientos a tres y cinco meses respectivamente, por dos pagos iguales para los meses 4 y 6, suponiendo una tasa de interés del 3% mensual. RTA. $311.435

1300000=

500000 X X + + 3 8 ( 1+i ) ( 1+i ) ( 1+i )12

500000 X X + + 3 8 ( 1+0,02 ) ( 1+0,02 ) ( 1+0,02 )12 X =504.779

380000 220000 X X + = + 3 5 4 ( 1+i ) ( 1+ i) ( 1+ i ) ( 1+i )6 X

i= 3 %

X 4m

0

380000 220000 X X + = + 3 5 4 ( 1+ 0,03 ) ( 1+0,03 ) (1+ 0,03 ) ( 1+0,03 )6

6m

X =311434,936=311.435

5m

3m

220000

380000

29. Cuando usted adquirió un producto a crédito, se convino el siguiente plan: Una cuota inicial de $125.000 y tres pagos de $85.000, $100.000 y $150.000 a tres, cinco y ocho meses respectivamente con una tasa de interés del 3.5% mensual. Transcurridos cuatro meses el deudor cancela la mitad del saldo a esa fecha y el resto lo cancela dos meses más tarde. Determinar el valor del último pago. RTA. $121.763 X

3

125.000

Y

4

85.000

5

100.000

6

8

150.000

iem = 3.6% Se debe calcular el saldo que se debe al mes número 4 tomando este mes como referencia. X=

100.000 150.000 + 1 (1+3.5 % ) ( 1+3.5 % ) 4 X =227.33

El deudor cancela la mitad del saldo que debe al cuarto mes. X=

227.33 =113.66 2

El deudor cancela el resto dos meses después, tomando como referencia el mes 6

2

Y =113.66 (1+3.5 %) =121.763

30. Una deuda se adquirió hoy por 5´000.000 y se propone pagarlo de la siguiente forma: $1´000.000 dentro de 4 meses, $2´500.000 dentro de 6 meses y un último pago de $2´800.000. Si la operación financiera se realiza con una tasa de interés del 3,6% mensual, calcular la fecha del último pago. RTA. 8 meses. 5’000.000 iem=3.6% mensual 4

1’000.000

5

n

2’500.000

5' 000.000=

2’800.000

1' 000.000 2' 500.000 2' 800.000 + + ( 1+ 3.6 % ) 4 ( 1+3.6 % )6 ( 1+ 3.6 % )n

Despejando n n = 8 meses

31. Un cliente le propone comprarle una vivienda que tiene un valor de contado de $55.000.000 con el siguiente plan de pagos: una cuota inicial equivalente al 20% y unos pagos así: dentro de 6 meses pagarle $10´000.000; dentro de 12 meses pagarle $25´000.000 y dentro de 18 meses un pago de $22´000.000. Si usted está dispuesto a prestar su dinero a una tasa de interés mínima del 3% mensual, ¿aceptaría el negocio? RTA. Acepta pago de contado. Plan de pagos: 10’000.000

6

25’000.000

9

22’000.000

12

18

20% de 55’000.000 9

3

X =11' 000.000 ( 1+3 % ) +10 ' 000.000 ( 1+ 3 % ) + X =65.019 millones

25' 000.000 22' 000.000 + ( 1+3 % )3 ( 1+3 % )9

Pago de contado '

F=55 000.000 ( 1+3 % )

n = 9meses

9

X =71.76 millones Conviene aceptar el pago de contado pues a los 9 meses la ganancia por este método es mayor

55’000.000 32. Conocida la tasa nominal 45%, con capitalización mensual, hallar: a. La tasa efectiva trimestral. RTA. 11.67% inm = 45% iem = 45% /12 = 3.75% ( 1+iem )12=( 1+iet )4 ( 1+3.75 % )12= (1+iet ) 4 iet=11.677 % b. La tasa efectiva semestral. RTA. 24.71% iem = 45% /12 = 3.75% ( 1+ies )2=( 1+iem )12 ( 1+ies )2=( 1+3.75 % )12 iet=24.71% c. La tasa efectiva mensual. RTA. 3.75% iem = 45% /12 = 3.75% d. La tasa de interés efectiva bimestral. RTA. 7.64% ( 1+ieb )6=( 1+iem )12 ( 1+ieb )6=( 1+3.75 % )12 iet=7.64 % e. La tasa de interés efectiva anual. RTA. 55.55% ( 1+iea )1=( 1+iem )12 ( 1+iea )1=( 1+3.75 % )12 iet=55.545 % 33. Que tasa de interés capitalizable semestralmente es equivalente a: a. Una tasa del 18% capitalizable trimestralmente. RTA. 18.40% int = 18% iet = 18% / 4 = 4.5%

( 1+ies )2=( 1+ 4.5 % )4 ins=ies∗2 ins=9.2025 %∗2=18.405 % b. Una tasa del 20% capitalizable mensualmente. RTA. 20.85% inm = 20% iem= 20% / 12 = 1.67% ( 1+ies )2=( 1+1.67 % )12 ins=ies∗2 ies=10.426 %∗2=20.852 % c. Una tasa del 45% capitalizable trimestralmente. RTA. 47.53% int = 45% iet =45% / 4 = 11.25% ( 1+ies )2=( 1+11.25 % )4 ins=ies∗2 ies=23.76 %∗2=47.53 % d. Una tasa del 54% capitalizable anualmente. RTA. 48.19% ina = 45% iea = 45% ( 1+ies )2=( 1+54 % )1 ins=ies∗2 ins=24.096 %∗2=48.19 % 34. A partir de una tasa nominal del 34% trimestre anticipado, calcular: a. Tasa nominal trimestre vencido. 37.15% Int = 34% iat = 34% / 4 = 8.5% iat 8.5 % iv= = =9.289 %=iet 1−iat 1−8.5 % ∫ ¿ ivt∗4

∫ ¿ 9.289 %∗4=37.156 %

b. Tasa nominal mes vencido. 36% iam = 34% / 4 = 8.5% iam 8.5 % iv= = =9.289 %=iem 1−iam 1−8.5 % ( 1+iem )12=( 1+9.289 % )4 inm=ivm∗12 ∫ ¿ 3 %∗12=36 % c. Tasa nominal mes anticipado. 34.99% iem = 3%

ivm 3% = =2.916 % 1+ vm 1+3 % inm=2.916 %∗12=34.992 % iam=

d. Tasa efectiva trimestral. 9.28% iam = 34% / 4 = 8.5% iam 8.5 % iem= = =9.289 %=iem 1−iam 1−8.5 % 35. A partir de una tasa de interés del 34% con capitalización mensual, calcular la tasa efectiva anual equivalente. RTA. 39.85%

36. Calcular la tasa efectiva trimestral de una tasa del 36% con capitalización trimestral. RTA. 9%

37. Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa del 35% capitalizable mensualmente. RTA. 9%

38. Se invierten$35.000 en un depósito a término fijo de 3 años al 28%NTV (Nominal trimestral vencido). Determine el monto de la entrega al vencimiento del documento. RTA. $78.826

39. Qué capital debo invertir hoy para poder retirar un millón de pesos dentro de 18 meses suponiendo que el capital invertido gana 28% NSV (Nominal semestral vencido). RTA. $674.971

Rta: El capital a invertir sería de $674.971 pesos para poder retirar un

millón de pesos dentro de 18 meses. 40. Su empresa necesita $3´000.000 para comprar inventarios. Usted encuentra en el mercado financiero 3 compañías financieras que le ofrecen el préstamo en las siguientes condiciones: a. Compañía A: exige cancelar el préstamo con un pago único de $3´800.000 al finalizar el año

b. Compañía C: cobra una tasa del 34% anual capitalizable mensualmente.

c. Compañía B: cobra una tasa de 3.5% mensual pagadera por anticipado.

¿Cuál es la mejor alternativa? RTA. Opción A.  Como podemos ver anteriormente, la mejor opción de pago del

préstamo sería la de la compañía A, debido a que su tasa efectiva mensual es la más baja entre las opciones, esto quiere decir que la empresa solicitante del crédito solo pagará 3’800.000, en cambio con la compañía B pagaría $4′586.680 y con la compañía C una suma de $4′193.332 .