Taller Final CMTD

Modelos estocásticos y simulación en computación y comunicaciones Docente: Julián Rodríguez Taller Final CMTD

_____________________________________________________________________________________ INSTRUCCIONES PARA ELABORAR EL TALLER La estructura de la World Wide Web puede ser vista como un grafo dirigido con N nodos. Cada nodo en la red representa cierta página web y los arcos dirigidos representan los hipervínculos entre las páginas. La idea subyacente en el exitoso PageRank de Google es modelar esta red como una cadena de Markov de tiempo discreto de la siguiente forma: En el escenario más simple, suponga que una persona navega en internet dando click al azar en alguno de los hipervínculos de una página web, la cual a su vez también fue seleccionada al azar por dicha persona. El PageRank de cada página es una medida de la probabilidad de que esta persona eventualmente llegue a dicha página a través de su navegación aleatoria. El PageRank de la página “𝑖”, puede ser visto como una medida de la importancia que tiene una página web, ya que a medida que aumenten los hipervínculos que otras páginas tengan con ella, más alto será el PageRank de “𝑖”, y por ende mucho más probable que la persona llegue eventualmente a dicha página. Es importante aclarar que ésta es una descripción muy simplificada del trabajo que propusieron Page y Brin1 en su idea general del famoso buscador. La FIA quiere usar esta idea para generar un ranking a pequeña escala y así poder establecer una categorización para los pilotos de la F1 y la de los equipos. Para esto no se va a utilizar una página web propiamente, sino que se considerará la popular aplicación web Facebook. En dicha aplicación se encuentra agrupada una gran cantidad de personas en el mundo, y cada una se conecta con muchas otras a través de la misma aplicación. Su trabajo será asignarle a cada piloto un ranking que mide su popularidad, es decir, entre más personas incluyan a la persona “𝑖” entre sus amigos, más popular será la persona “𝑖”. El gerente de Promoción de la FIA le ha ofrecido a su compañía la oportunidad de desarrollar un modelo estocástico que se ajuste a la situación anteriormente descrita. Para ello le ha recomendado revisar el artículo The Anatomy of a Large--‐Scale Hypertextual Web Search Engine, Computer Science Department; Sergey Brin and Lawrence Page, y adaptar el modelo propuesto por los autores a la situación actual. Paso 1. En el archivo anexo Facebook F1, usted encontrará una copia de la aplicación con 24 pilotos. En la página de la persona “𝑖” usted podrá ver a las personas que “𝑖” ha decidido incluir entre sus amigos. Usted deberá construir una matriz de incidencia para el grupo, en donde la posición (𝑖; 𝑗) de la matriz está definida por: 1

Sergey Brin and Lawrence Page, The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine, Computer Science Department, Stanford University. http://infolab.stanford.edu/pub/papers/google.pdf

Modelos estocásticos y simulación en computación y comunicaciones Docente: Julián Rodríguez Taller Final CMTD

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En donde 𝑀𝑖 corresponde al número total de amigos que tiene la persona 𝑖. Es importante recordar que “𝑝𝑖𝑗 ” es la probabilidad que el sistema se mueva a un estado 𝑗 cuando este se mueve fuera del estado 𝑖, para todo 𝑖 diferente de 𝑗. Paso 2. Identifique claramente los grupos de amigos que hay en el grupo de estudio. Tenga en cuenta, que un grupo de amigos es aquel en donde cualquier miembro del grupo está conectado (no necesariamente de forma directa) con los demás miembros de dicho grupo. Ayuda: Existen 2 grupos claramente diferenciados. Paso 3. Si la matriz anterior no resulta ser estocástica, es posible que alguna de las personas no tenga incluido a ningún amigo en su aplicación, por lo tanto hay que modificar la matriz para volverla estocástica. Una alternativa, basada en un supuesto de uniformidad, es reemplazar la fila nula por un vector 𝛽𝑖 , en donde cada posición “𝑗” del vector está definida de la siguiente forma: 𝛽𝑖𝑗 = 1/𝑁, en donde “N” es el número de personas del grupo bajo consideración. Reemplace las filas nulas de la matriz Ρ del numeral anterior por vectores del tipo 𝛽𝑖 , y llame a la nueva matriz Ρ. Paso 4. El proceso anterior garantiza que la matriz Ρ es estocástica, sin embargo, no está garantizado que la distribución límite de dicha matriz exista. La propuesta que hicieron Page y Brin, es construir una nueva matriz como una combinación lineal de la matriz Ρ con una matriz estocástica de perturbación:

En donde u es un vector columna que contiene unos en todas sus posiciones. Construya la matriz P y verifique que es representa a una CMTD irreducible y aperiódica. Utilice un 𝛼 = 0.85 Paso 5: Encuentre la distribución límite de la CMTD del numeral anterior, y construya un Ranking de 1 a 10 directamente proporcional a la distribución límite para cada persona.