Taller Econometría

FACULTAD CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ECONOMÍA Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

INFORME: TALLER ECONOMETRÍA AUTOR: ERICK HERRERA MATOS CARLOS NUÑOVERO ALEGRE CHIMBOTE – PERÚ 2017

CAPÍTULO 7 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE: EL PROBLEMA DE ESTIMACIÓN Ejercicios: 7.1 Considere los datos de la tabla 7.5.

Y

X2

X3

1

1

2

3

2

1

8

3

-3

Con base en estos datos, estime las siguientes regresiones: Yi = α1 + α2X2i + u1i Yi = λ1 + λ3X3i + u2i Yi = β1 + β2X2i + β3X3i + ui Solución

a) ¿Es α2 = β2? ¿Por qué? No, dado que el modelo (3) es el verdadero, α2, es un estimador sesgado β2.

b) ¿Es λ3 = β3? ¿Por qué? No porque λ3 Es un estimador sesgado de β3

c) ¿Qué conclusión importante obtiene de este ejercicio?

una ecuación parcial puede conducirnos a estimar de forma sesgada.

7.6. Si la relación α1X1 + α2X2 + α3X3 = 0 se cumple para todos los valores de X1, X2 y X3, encuentre los valores de los tres coeficientes de correlación parcial.

El primer paso consiste en escribir la forma de la ecuación: X1 = (-α2 / α1) X2 + (α3 / α1) X3 X2 = (-α1 / α2) X1 + (α3 / α2) X3 X3= (-α1 / α3) X1 + (α2/ α3) X2 Los valores de los coeficientes de correlación parcial son los siguientes: β123= (-α2 / α1) β213= (-α1/ α2) β312= (-α1/ α3) β13.2= -(α3/ α1) β23.1= -(α2/ α3) β32.1= -(α2/ α3)

Ejercicios empíricos 7.18 Desembolsos del presupuesto de defensa de Estados Unidos, 1962-1981. Para explicar el presupuesto de defensa de Estados Unidos, considere el siguiente modelo: Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + β4X4t + β5X5t + ut

Donde Yt = desembolsos del presupuesto de defensa durante el año t, $ miles de millones X2t = PNB durante el año t, $ miles de millones.

X3t = ventas militares de Estados Unidos/ayuda en el año t, $ miles de millones. X4t = ventas de la industria aeroespacial, $ miles de millones. X5t = conflictos militares que implican a más de 100 000 soldados. Esta variable adquiere el valor de 1 cuando participan 100 000 soldados o más, y es igual a cero cuando el número de soldados no llega a 100 000. Para probar este modelo, se proporcionan datos en la tabla 7.8.

YEAR

Y 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981

X2 51.1 52.3 53.6 49.6 56.8 70.1 80.5 81.2 80.3 77.7 78.3 74.5 77.8 85.6 89.4 97.5 105.2 117.7 135.9 162.1

X3 560.3 590.5 632.4 684.9 749.9 793.9 865 931.4 992.7 1077.6 1185.9 1326.4 1434.2 1549.2 1718 1918.3 2163.9 2417.8 2633.1 2937.7

X4 0.6 0.9 1.1 1.4 1.6 1 0.8 1.5 1 1.5 2.95 4.8 10.3 16 14.7 8.3 11 13 15.3 18

X5 16 16.4 16.7 17 20.2 23.4 25.6 24.6 24.8 21.7 21.5 24.3 26.8 29.5 30.4 33.3 38 46.2 57.6 68.9

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Solución

a) Estime los parámetros de este modelo y sus errores estándar, y obtenga R2, R2 modificada y R2.

7.21. Considere la siguiente función de demanda de dinero para Estados Unidos durante el periodo 1980-1998: Mt = β1Yt β2rt β3 eut Donde M = demanda real de dinero, de acuerdo con la definición M2 de dinero Y = PIB real r = tasa de interés Para estimar la anterior función de demanda de dinero se presentan los datos de la tabla 7.10.

AÑO

PIB

M2

CPI

TILP

TITM

1980

2795.6

1600.4

82.4

11.27

11.506

1981

3131.3

1756.1

90.9

13.45

14.029

1982

3259.2

1911.2

96.5

12.76

10.686

1983

3534.9

2127.8

99.6

11.18

8.63

1984

3932.7

2311.7

103.9

12.41

9.58

1985

4213

2497.4

107.6

10.79

7.48

1986

4452.9

2734

109.6

7.78

5.98

1987

4742.5

2832.8

113.6

8.59

5.82

1988

5108.3

2995.8

118.3

8.96

6.69

1989

5489.1

3159.9

124

8.45

8.12

1990

5803.2

3279.1

130.7

8.61

7.51

1991

5986.2

3379.8

136.2

8.14

5.42

1992

6318.9

3434.1

140.3

7.67

3.45

1993

6642.3

3487.5

144.5

6.59

3.02

1994

7054.3

3502.2

148.2

7.37

4.29

1995

7400.5

3649.3

152.4

6.88

5.51

1996

7813.2

3824.2

156.9

6.71

5.02

1997

8300.8

4046.7

160.5

6.61

5.07

1998

8759.9

4401.4

163

5.58

4.81

Solución:

a) Con los datos anteriores, calcule la función de demanda anterior. ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso y de la tasa de interés de la demanda de dinero?

b) En lugar de estimar la función demanda anterior, suponga que debe ajustar la función (M/Y) t = α1 rtα2 eut. ¿Cómo interpretaría los resultados? Muestre los cálculos necesarios.

c) ¿Cómo decidiría cuál es la mejor especificación?

7.24. La tabla 7.12 presenta datos del gasto de consumo real, ingreso real, riqueza real y tasas de interés reales de Estados Unidos de 1947 a 2000. Estos datos se volverán a usar en el ejercicio 8.35. AÑO

C 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960

Yd 976.4 998.1 1025.3 1090.9 1107.1 1142.4 1197.2 1221.9 1310.4 1348.8 1381.8 1393.0 1470.7 1510.8

Riqueza 1035.2 1090.0 1095.6 1192.7 1227.0 1266.8 1327.5 1344.0 1433.8 1502.3 1539.5 1553.7 1623.8 1664.8

5166.8 5280.8 5607.4 5759.5 6086.1 6243.9 6355.6 6797.0 7172.2 7375.2 7315.3 7870.0 8188.1 8351.8

Tasa de Interés -10.351 -4.720 1.044 0.407 -5.283 -0.277 0.561 -0.138 0.262 -0.736 -0.261 -0.575 2.296 1.511

1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

1541.2 1617.3 1684.0 1784.8 1897.6 2006.1 2066.2 2184.2 2264.8 2317.5 2405.2 2550.5 2675.9 2653.7 2710.9 2868.9 2992.1 3124.7 3203.2 3193.0 3236.0 3275.5 3454.3 3640.6 3820.9 3981.2 4113.4 4279.5 4393.7 4474.5 4466.6 4594.5 4748.9 4928.1 5075.6 5237.5 5423.9 5683.7 5968.4 6257.8

1720.0 1803.5 1871.5 2006.9 2131.0 2244.6 2340.5 2448.2 2524.3 2630.0 2745.3 2874.3 3072.3 3051.9 3108.5 3243.5 3360.7 3527.5 3628.6 3658.0 3741.1 3791.7 3906.9 4207.6 4347.8 4486.6 4582.5 4784.1 4906.5 5014.2 5033.0 5189.3 5261.3 5397.2 5539.1 5677.7 5854.5 6168.6 6320.0 6539.2

8971.9 9091.5 9436.1 10003.4 10562.8 10522.0 11312.1 12145.4 11672.3 11650.0 12312.9 13499.9 13081.0 11868.8 12634.4 13456.8 13786.3 14450.5 15340.0 15965.0 15965.0 16312.5 16944.8 17526.7 19068.3 20530.0 21235.7 22332.0 23659.8 23105.1 24050.2 24418.2 25092.3 25218.6 27439.7 29448.2 32664.1 35587.0 39591.3 38167.7

1.296 1.396 2.058 2.027 2.112 2.020 1.213 1.055 1.732 1.166 -0.712 -0.156 1.414 -1.043 -3.534 -0.657 -1.190 0.113 1.704 2.298 4.704 4.449 4.691 5.848 4.331 3.768 2.819 3.287 4.318 3.595 1.803 1.007 0.625 2.206 3.333 3.083 3.120 3.584 3.245 3.576

a) Con los datos de la tabla, estime la función de consumo lineal usando los datos de ingreso, riqueza y tasa de interés. ¿Cuál es la ecuación ajustada?

La ecuación ajustada es: Consumo: -20.6332 + 0.7340X2 + 0.0359X3 - 5.5211X4

b) ¿Qué indican los coeficientes estimados sobre las relaciones entre las variables y el gasto de consumo? Indican que si todo lo demás permanece constante (Ceteris paribus) cuando el ingreso disponible aumente en un dólar, el consumo se incrementa en 0.73 dólares. Si la riqueza aumenta en un dólar, el consumo aumenta en 0.03 dólares. Y si el interés aumenta 1 punto porcentual, la tasa de interés reduce el consumo en un-5.52 dólares.

CAPÍTULO 8 Análisis de Regresión Múltiple: El problema de la inferencia

Ejercicios Empíricos 8.12. Consulte el ejercicio 7.21.

a) ¿Cuáles son las elasticidades del ingreso real y de la tasa de interés de los balances reales de efectivo? Las elasticidades del ingreso real son, 0.5243 y -0.0255 y las tasas de interés de los balances reales son 0.4946 y -0.0516.

b) ¿Son las elasticidades anteriores, consideradas en forma individual, estadísticamente significativas? La elasticidad ingreso es significativa en ambos casos si consideramos de forma individual.

8.16 Al estudiar la demanda de tractores agrícolas en Estados Unidos durante los periodos 1921-1941 y 1948-1957, Griliches obtuvo los siguientes resultados:

Donde Yt = valor de las existencias de tractores en las granjas el 1 de enero, en dólares de1935-1939, X2 = índice de precios pagado por los tractores dividido entre un índice de precios recibidos por todas las cosechas en el tiempo t − 1, X3 = tasa de interés prevalente en el año t − 1, y los errores estándar están dados entre paréntesis.

a) Interprete la regresión anterior. Los registros de índice de precios reales y la tasa de interés en el año anterior explican aproximadamente el 79% de la variación en el registro de las existencias de tractores, una forma de capital. Ya que se trata de una doble modelo de registro, la pendiente los coeficientes (parcial) elasticidad cruzada de la demanda. b) ¿Son los coeficientes de pendiente estimados estadísticamente significativos de manera individual? ¿Son significativamente diferentes de la unidad? Cada uno de los coeficientes parciales es individualmente significativos a un

nivel del 5%. c) Utilice la técnica de análisis de varianza para probar la significancia de la regresión en general. Sugerencia: Utilice la variante R2 de la técnica ANOVA. 0.793 F = 2 = 53.63 0.207 28 El resultado del valor F es estadísticamente significativa.

d) ¿Cómo calcularía la elasticidad tasa de interés de la demanda de tractores agrícolas?

e) ¿Cómo probaría la significancia del R2 estimado? Utilizando la prueba “F” dad en el ejercicio (C). 8.18 Una variación de la ecuación de determinación de salarios del ejercicio 8.17 es la siguiente:

Donde: W = sueldos y salarios por empleado V = empleos vacantes como porcentaje del número total de empleados en Gran Bretaña X = producto interno bruto por persona empleada M = precios de importaciones M t−1 = precios de importaciones en el año anterior (o rezagado) (Los errores estándar estimados están dados entre paréntesis.) a) Interprete la ecuación anterior. Un aumento de 1 punto porcentual en la tasa de vacantes en promedio es aproximadamente 5,29 libras. Aumento de los sueldos y salarios por empleado, ello supone un incremento del PIB de alrededor de 1 libra por persona. b) ¿Cuáles de los coeficientes estimados son estadísticamente significativos individualmente?

Los valores estimados son los siguientes: 6.51, -1.04, 2.45 y 2.42. De los cuales se afirma que el segundo es estadísticamente significativa de forma individual. c) ¿Cuál es el razonamiento para la introducción de la variable X? A priori, ¿se espera que el signo de X sea negativo? Se puede esperar una mayor productividad per cápita y de este modo llevar a cabo salarios más elevados. Además el coeficiente estimado no es estadísticamente significativamente distinto a cero. d) ¿Cuál es el propósito de incluir Mt y Mt−1 en el modelo? El principal propósito es que buscan recoger el efecto de rezagos distribuidos en curso y el anterior en cuanto a los precios de importación sobre los sueldos y salarios. e) ¿Cuáles variables pueden sacarse del modelo? ¿Por qué? Únicamente podría salir la variable X ya que tiene el signo equivocado porque su valor “t” es baja. f) Pruebe la significancia general de la regresión observada.

F=

0.934 ∕ 4 = 49.53 0.66 ∕ 14

El valor F es altamente significativa. 8.26 La demanda de cable. La tabla 8.10 presenta los datos de un fabricante de cable telefónico para pronosticar las ventas a uno de sus principales clientes durante el periodo 19681983. Las variables en la tabla se definen de la siguiente forma: Y = ventas anuales en millones de pies de cables pareados (MPC) X 2= Producto Interno Bruto (PIB), $, miles de millones X 3= construcción de nuevas viviendas, miles de unidades X 4= tasa de desempleo, % X 5= tasa preferencial rezagada 6 meses X 6= ganancias de línea para el cliente, % AÑO

X2 PIB

1968

1051.8

X3, Construcción de Nueva Viviendas 1503.6

1969

1078.8

1486.7

X4, Desempleo %

X6, ganancias línea clientes, %

3.6

X5, Tasa Referencial, rezago, 6 meses 5.8

Y, Ventas Anuales

5.9

5873

3.5

6.7

4.5

7852

1970

1075.3

1434.8

5.0

8.4

4.2

8189

1971

1107.5

2035.6

6.0

6.2

4.2

7497

1972

1171.1

2360.8

5.6

5.4

4.9

8534

1973

1235.0

2043.9

4.9

5.9

5.0

8688

1974

1217.8

1331.9

5.6

9.4

4.1

7270

1975

1202.3

1160.0

8.5

9.4

3.4

5020

1976

1271.0

1535.0

7.7

7.2

4.2

6035

1977

1332.7

1961.8

7.0

6.6

4.5

7425

1978

1399.2

2009.3

6.0

7.6

3.9

9400

1979

1431.6

1721.9

6.0

10.6

4.4

9350

1980

1480.7

1298.0

7.2

14.9

3.9

6540

1981

1510.3

1100.0

7.6

16.6

3.1

7675

1982

1492.2

1039.0

9.2

17.5

0.6

7419

1983

1535.4

1200.0

8.8

16.0

1.5

7923

Considere el siguiente modelo:

a) Estime la regresión anterior.

b) ¿Cuáles son los signos esperados para los coeficientes de este modelo?

La regresión hallada nos muestra que tanto B2, B3 y B6 son positivas mientras que B4 y B6 son negativos.

c) ¿Corresponden los resultados empíricos a las expectativas a priori? Los coeficientes que tienen signos positivos (B2, B3 y B6) consiguen satisfacer las expectativas mientras que los coeficientes con signos negativos no.

d) ¿Son los coeficientes de regresión parcial estimados estadísticamente significativos considerados en forma individual en el nivel de 5% de significancia? La regresión X3, X4 y X6 son significativos a un nivel de significancia del 5%. e) Suponga que efectúa la regresión de Y sobre X2, X3 y X4 solamente y luego decide agregar las variables X5 y X6. ¿Cómo averiguará si se justifica agregar las variables X5 y X6? ¿Qué prueba utiliza? Muestre los cálculos necesarios.

𝐹=

(0.8227 − 0.6012) ∕ 2 ≡ 6.25 (1 − 0.8227)/10

8.28. Estimación del modelo de asignación de precios de activos de capital (CAPM). En la sección 6.1 consideramos brevemente el conocido modelo de asignación de precios de activos de capital de la teoría moderna de portafolios. En el análisis empírico, el CAPM se estima en dos etapas. Etapa I (Regresión de serie de tiempo). Para cada uno de los N títulos incluidos en la muestra efectuamos la siguiente regresión a través del tiempo:

Donde Rit y Rmt son las tasas de rendimiento del i-ésimo título y el portafolios del mercado (por ejemplo, el S&P 500) en el año t; βi, como ya vimos, es el coeficiente beta o coeficiente de volatilidad del mercado del i-ésimo título y eit son los residuos. En total hay N regresiones, una para cada título, y se producen, por consiguiente, N valores estimados para βi.

Etapa II (Regresión transversal). En esta etapa efectuamos la siguiente regresión para los N títulos

Donde Ri es el promedio o tasa media de rendimiento para el título i, calculado sobre el periodo muestral cubierto por la etapa I, βi es el coeficiente beta estimado de la regresión de la primera etapa y ui es el término residual. Al comparar la regresión (2) de la segunda etapa con el CAPM, ecuación (6.1.2), escrita como

Donde rf es la tasa de rendimiento libre de riesgo, vemos que ˆ γ 1 es una estimación de rf y es γ2 una estimación de (ERm − rf), la prima del riesgo del mercado. Así, en la prueba empírica de CAPM, Ri y βi se utilizan como estimadores de ERi y βi respectivamente. Ahora, si se mantiene CAPM, estadísticamente,

Considere ahora otro modelo:

Donde s2 ei es la varianza residual del i-ésimo título de la regresión de la primera etapa. Entonces, si CAPM es válido, γ3 no debe ser significativamente diferente de cero. Para probar el CAPM, Levy efectuó las regresiones (2) y (4) sobre una muestra de 101 acciones durante el periodo 1948-1968 y obtuvo los siguientes resultados.

a) ¿Apoyan estos resultados el CAPM? No, porque el estimado que nos arroja es diferente de cero.

b) ¿Se justifica agregar la variable s2 ei al modelo? ¿Cómo sabe? Sí, porque arroja luz sobre la validez de la teoría. Y esto demuestra también que es estadísticamente significativa. c) Si el CAPM se mantiene, γ1 en (2) debe aproximar el valor promedio de la tasa libre de riesgo rf. El valor estimado es 10.9%. ¿Parece una estimación razonable de la tasa de rendimiento libre de riesgo durante el periodo de observación, 1948-1968? (Se puede considerar la tasa de rendimiento de los bonos del Tesoro o de un activo libre de riesgo relativamente parecido.) No parece demasiado alta rentabilidad de letras del tesoro de Estados Unidos. d) S i el CAPM se mantiene, la prima de riesgo del mercado (Rm − rf) de es cerca de 3.7%. Si se supone que rf es 10.9%, esto implica que Rm para el periodo de la muestra fue aproximadamente 14.6%. ¿Parece una estimación razonable? No, debido a que tiene valores elevados. e) ¿Qué puede decir sobre el CAPM en general? Es un modelo financiero y que vincula linealmente la rentabilidad de cualquier activo financiero con el riesgo de mercado de ese activo. Sin embargo no puede ser adecuada en todas las situaciones presentadas en el presente enunciado.

CAPÍTULO 10 MULTICOLINEALIDAD: ¿qué pasa si las regresoras están correlacionadas? Ejercicios 10.1. En el modelo de regresión lineal de k variables, hay k ecuaciones normales para estimar las k incógnitas. Estas ecuaciones normales están dadas en el apéndice C. Suponga que Xk es una combinación lineal perfecta de las variables X restantes. ¿Cómo se demostraría que en este caso es imposible estimar los k coeficientes de regresión? Y

X2

X3

-10

1

1

-8

2

3

-6

3

5

-4

4

7

-2

5

9

0

6

11

2

7

13

4

8

15

6

9

17

8

10

19

10

11

21

Si es una combinación perfecta lineal de las variables explicativas, existen más incógnitas que ecuaciones, por lo tantos soluciones únicas no son posibles. 10.3. Consulte el ejemplo de la mortalidad infantil analizado en el capítulo 8 (ejemplo 8.1). Dicho ejemplo implicó hacer la regresión de la tasa de mortalidad infantil (MI) sobre el PIB per cápita (PIBPC) y la tasa de alfabetización de las mujeres (TAM). Ahora, suponga que añadimos la variable tasa de fecundidad total (TFT). Lo anterior da los siguientes resultados de la regresión

a) Compare estos resultados de la regresión con los obtenidos en la ecuación (8.1.4). ¿Qué cambios observa? ¿Cómo los explica? Las variables que se muestran son estadísticamente significativas. Por lo tanto los cambios que se han efectuado se deben a la incorporación de la tasa de fecundidad global, por ello puede existir alguno multicolinealidad entre los regresores.

b) ¿Vale la pena añadir la variable TFT al modelo? ¿Por qué? Dado el valor del coeficiente TFT, revela que es muy importante (p = 0.0032). El signo positivo de este coeficiente tiene mucha coherencia, debido a la relación entre el número de los niños para una mujer, mayores son las probabilidades de la mayor mortalidad infantil.

c) Como todos los coeficientes t individual son estadísticamente significativos, ¿podemos decir que no existe un problema de colinealidad en el presente caso? En este caso existe colinealidad, debido a que los coeficientes son estadísticamente significativos.

Ejercicios Empíricos 10.26 Klein y Goldberger intentaron ajustar el siguiente modelo de regresión a la economía de Estados Unidos:

Donde Y = consumo, X2 = ingreso salarial, X3 = ingreso no salarial, no procedente del campo, y X4 = ingreso procedente del campo. Pero, como se espera que X2, X3 y X4 sean muy colineales, obtuvieron las siguientes estimaciones de β 3 y β4 del análisis de corte transversal: AÑO

Y

X2

X3

X4

1936

62.8

43.41

17.10

3.96

1937

65.0

46.4

18.65

5.48

1938

63.9

44.35

17.09

4.37

1939

67.5

47.82

19.28

4.51

1940

71.3

51.02

23.24

4.88

1941

76.6

58.71

28.11

6.37

1945

86.3

87.69

30.29

8.96

1946

95.7

76.73

28.26

9.76

1947

98.3

75.91

27.91

9.31

1948

100.3

77.62

32.30

9.85

1949

103.2

78.01

31.39

7.21

1950

108.9

83.57

35.61

7.39

1951

108.5

90.59

37.58

7.98

1952

111.4

95.47

35.17

7.42

β3 = 0.75β2 y β4 = 0.625β2. Con estas estimaciones reformularon su función de consumo de la siguiente manera:

Yi = β1 +β2 (X2i +0.75X3i +0.625X4i) + ui = β1 +β2Zi + ui donde Zi = X2i + 0.75X3i + 0.625X4i.

a) Ajuste el modelo modificado a los datos de la tabla 10.12 y obtenga estimaciones de β1 a β4.

b) ¿Cómo interpretaría la variable Z? La variable Z puede interpretarse como una media ponderada de los diferentes tipos de ingresos.

10.27. La tabla 10.13 proporciona cifras sobre importaciones, PIB e índice de precios al consumidor (IPC) de Estados Unidos de 1975 a 2005. Se le pide considerar el siguiente modelo: Ln Importacionest = β1 + β2 ln PIBt + β3 ln IPCt + ut

a) Estime los parámetros de este modelo con la información de la tabla.

b) ¿Sospecha multicolinealidad en los datos?

Debido al alto valor de R2 y el valor “t” de los coeficientes mostrados es muy probable que exista multicolinealidad.

c) Efectúe las siguientes regresiones:

1) Ln Importacionest = A1 + A2 ln PIBt

2) Ln Importacionest = B1 + B2 ln IPCt

3) Ln PIBt = C1 + C2 ln IPCt

Con base en estas regresiones, ¿qué puede decir sobre la naturaleza de la multicolinealidad en los datos? AÑO

IPC

PBI

IMPORTACIONES

1975

53.8

1,638.3

98185

1976

56.9

1,825.3

124228

1977

60.6

2,030.9

151907

1978

65.2

2,294.7

176002

1979

72.6

2,563.3

212007

1980

82.4

2,789.5

249750

1981

90.9

3,128.4

265067

1982

96.5

3,255.0

247642

1983

99.6

3,536.7

268901

1984

103.9

3,933.2

332418

1985

107.6

4,220.3

338088

1986

109.6

4,462.8

368425

1987

113.6

4,739.5

409765

1988

118.3

5,103.8

447189

1989

124.0

5,484.4

477665

1990

130.7

5,803.1

498438

1991

136.2

5,995.9

491020

1992

140.3

6,337.7

536528

1993

144.5

6,657.4

589394

1994

148.2

7,072.2

668690

1995

152.4

7,397.7

749374

1996

156.9

7,816.9

803113

1997

160.5

8,304.3

876470

1998

163.0

8,747.0

917103

1999

166.6

9,268.4

1029980

2000

172.2

9,817.0

1224408

2001

177.1

10,128.0

1145900

2002

179.9

10,469.6

1164720

2003

184.0

10,960.8

1260717

2004

188.9

11,712.5

1472926

2005

195.3

12,455.8

1677371

d) Suponga que existe multicolinealidad en los datos, pero que β2 y β3 son significativos individualmente en el nivel de 5%, y que la prueba global F es también significativa. En este caso, ¿debe preocupar el problema de colinealidad? Una solución apropiada es expresar las “Importaciones y el PBI” en términos reales y dividirlas por el IPC

10.29 La tabla 10.14 proporciona información sobre los automóviles de pasajeros nuevos vendidos en Estados Unidos como función de diversas variables. AÑO

Y

X2

X3

X4

X5

X6

1971

10227

112

121.3

776.8

4.89

79367

1972

10872

111

125.3

839.6

4.55

82153

1973

11350

111.1

133.1

949.8

7.38

85064

1974

8775

117.5

147.7

1038.4

8.61

86794

1975

8539

127.6

161.2

1142.8

6.16

85846

1976

9994

135.7

170.5

1252.6

5.22

88752

1977

11046

142.9

181.5

1379.3

5.5

92017

1978

11164

153.8

195.3

1551.2

7.78

96048

1979

10559

166

217.7

1729.3

10.25

98824

1980

8979

179.3

247

1918

11.28

99303

1981

8535

190.2

272.3

2127.6

13.73

100397

1982

7980

197.6

286.6

2261.4

11.2

99526

1983

9179

202.6

297.4

2428.1

8.69

100834

1984

10394

208.5

307.6

2670.6

9.65

105005

1985

11039

215.2

318.5

2841.1

7.75

107150

1986

11450

224.4

323.4

3022.1

6.31

109597

a) Desarrolle un modelo lineal o log-lineal apropiado para estimar una función de demanda de automóviles en Estados Unidos.

b) Si decide incluir todas las regresoras dadas en la tabla como variables explicativas, ¿espera encontrar el problema de multicolinealidad? ¿Por qué?

c) Si espera lo anterior, ¿cómo resolvería el problema? Plantee los supuestos claramente y muestre todos los cálculos de manera explícita.

Al examinar los coeficientes de correlación entre todas las variables explicativas se aprecia una correlación muy alta entre el IPC del nuevo coche y el IPC general, y entre el IPD y el IPC del automóvil nuevo. Además el IPD también se encuentra estrechamente relacionado con el nivel de empleo.

CAPÍTULO 11 HETEROSCEDASTICIDAD: ¿qué pasa si la varianza del error no es constante? Ejercicios:

11.5 Muestre que β∗ 2 de (11.3.8) también se expresa como

Y var (β*2) dada en (11.3.9) también se expresa como

Donde y∗i = Yi − Y∗ y x∗i = Xi − X∗ representan las desviaciones en relación con las medias ponderadas Y* y X* definidas como

Ejercicios Empíricos

11.11. Con la información de la tabla 11.1, efectúe la regresión de la remuneración salarial promedio Y sobre la productividad promedio X, y considere el tamaño de la planta laboral como unidad de observación. Interprete sus resultados y vea si están de acuerdo con los presentados en (11.5.3). IND

A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

2994

3295

3565

3907

4189

4486

4676

4968

5342

2

1721

2057

3336

3320

2980

2848

3072

2969

3822

3

3600

3657

3674

3437

3340

3334

3225

3163

3168

4

3494

3787

3533

3215

3030

2834

2750

2967

3453

5

3498

3847

3913

4135

4445

4885

5132

5342

5326

6

3611

4206

4695

5083

5301

5269

5182

5395

5552

7

3875

4660

4930

5005

5114

5248

5630

5870

5876

8

4616

5181

5317

5337

5421

5710

6316

6455

6347

9

3538

3984

4014

4287

4221

4539

4721

4905

5481

10

3016

3196

3149

3317

3414

3254

3177

3346

4067

11

3396

3787

4013

4014

4146

4241

4387

4538

4843

12

743.7

851.4

727.8

805.06

929.9

1080.6

1243.2

1307.7

1112.5

13

9355

8584

7962

8275

8389

9418

9795

10281

1750

Si la productividad media aumenta en un dólar, en promedio, la compensación aumenta en unos 23 centavos.

a) De la regresión anterior, obtenga los residuos ui. Los residuos son los siguientes: -775.6579, -205.0481. 165.8515, 183.9356, 199.3785, 54.6657, 112.8410, 150.6239, 113.4100.

b) Según la prueba de Park, efectúe la regresión de ln u 2i sobre ln Xi y verifique la regresión (11.5.4).

c) Según el método de Glejser, efectúe la regresión de |ui| sobre Xi y luego la regresión de |ui| sobre √Xi. Comente sus resultados.

̂ | = 407.3455 − 0.0203x |U t = (0.6433)(−0.3013)r 2 = 0.0128 |û| = 575.2976 − 3.7097 + √x t = (0.4479)(−0.2787)r 2 = 0.0109

d) Encuentre la correlación de orden entre |ui| y Xi, y comente sobre la naturaleza de la heteroscedasticidad presente en los datos, si existe.

Sobre las bases de las pruebas realizadas de correlación, no tenemos ninguna razón de heteroscedasticidad. Es decir todas las pruebas que se han mostrado hasta el momento sugieren que no existe problema de heteroscedasticidad.

11.13 Prueba de homogeneidad de varianza de Bartlett.* Suponga que hay k varianzas muestrales independientes s2 1, s22,..., s2k con f1, f2,. . ., fk gl, cada una proveniente de poblaciones normalmente distribuidas con media μ y varianza σ2 i. Suponga además que deseamos probar la hipótesis nula H0: σ21 = σ22 =···= σ2 k = σ2; es decir, cada varianza muestral es una estimación de la misma varianza poblacional σ2. Si la hipótesis nula es verdadera, entonces.

Constituye una estimación de la estimación común (agrupada) de la varianza poblacional σ2, donde fi = (ni − 1), con ni como el número de observaciones en el i-ésimo grupo y donde f = k Bartlett demostró que la hipótesis nula se prueba por la razón A/B, distribuida aproximadamente como la distribución χ2 con k − 1 gl, donde

Aplique la prueba de Bartlett a los datos de la tabla 11.1 y verifique que no se puede rechazar la hipótesis de que las varianzas poblacionales de la remuneración salarial son las mismas para cada tamaño de la planta laboral del establecimiento, en el nivel de significancia de 5%.

Nota: fi, los gl para cada varianza muestral, es 9, pues ni para cada muestra (es decir, clase de empleados) es 10.

Utilizando la prueba de Bartlett, el valor X2 es 6.6473, cuyo valor p es 0.5748. Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula ya que las varianzas son iguales.

11.15 La tabla 11.7 proporciona datos sobre 81 automóviles respecto de su MPG (millas promedio por galón), CF (caballos de fuerza de su motor), VOL (pies cúbicos de su cabina), VM (velocidad máxima en millas por hora) y su PS (peso del vehículo en cientos de lb).

HP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

MPG 65.4 56 55.9 49 46.5 46.2 45.4 59.2 53.3 43.4 41.1 40.9 40.9 40.4 39.6 39.3 38.9 38.8 38.2 42.2 40.9 40.7 40 39.3 38.8 38.4 38.4 38.4 46.9 36.3 36.1 36.1 35.4 35.3 35.1 35.1 35 33.2 32.9

VM 53.7006814 50.0134012 50.0134012 45.6963224 50.5042318 45.6963224 50.0134012 46.7165543 46.7165543 42.2990782 44.6528342 39.3540941 39.3540941 44.6528342 45.7348929 44.6528342 42.7899089 39.3540941 42.7899089 38.901834 38.4110033 42.8284794 38.310606 40.4747233 38.310606 38.4110033 38.4110033 38.4110033 43.4694339 35.4041924 39.4312352 39.4312352 36.2854565 36.2854565 39.5316325 37.9587432 37.9587432 34.0706683 34.0706683

CF 89 92 92 92 92 89 92 50 50 94 89 50 99 89 89 89 91 50 91 103 99 107 101 96 89 50 117 99 104 107 114 101 97 113 101 98 88 86 86

VOL 17.5 20 20 20 20 20 20 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 22.5 25 25 25 25 25 25 25 25 25 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 27.5 30 30

PS 96 97 97 105 96 105 97 98 98 107 103 113 113 103 100 103 106 113 106 109 110 101 111 105 111 110 110 110 90 112 103 103 111 111 102 106 106 109 109

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

32.3 32.2 32.2 32.2 32.2 31.5 31.5 31.4 31.4 31.2 33.7 32.6 31.3 31.3 30.4 28.9 28 28 28 28 28 27.7 25.6 25.3 23.9 23.6 23.6 23.6 23.6 23.6 23.5 23.4 23.4 23.1 22.9 22.9 19.5 18.1 17.2 17 16.7 13.2

31.0141309 35.152727 35.152727 34.0706683 35.152727 35.6435576 34.561499 34.561499 35.0523296 31.0141309 29.629936 29.629936 29.629936 29.629936 24.4873667 26.8522787 27.8562519 31.1135839 29.629936 30.1319226 28.8602252 27.3542653 24.6091316 23.5159169 23.5159169 23.6051583 23.1031717 23.1031717 23.1031717 23.1031717 21.2737079 19.6785067 23.203569 23.203569 19.0863405 19.0863405 18.7628367 20.2018546 19.1978876 20.0568397 19.8337332 12.1012629

92 113 106 92 88 102 99 111 103 86 101 101 101 124 113 113 124 92 101 94 115 111 116 131 123 121 50 114 127 123 112 50 135 132 160 129 129 50 115 50 119 107

30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 40 45 45 45 45 45 45 45 55

120 106 106 109 106 105 108 108 107 120 109 109 109 109 133 125 115 102 109 104 105 120 107 114 114 117 122 122 122 122 148 160 121 121 110 110 121 165 140 147 157 130

a) Considere el siguiente modelo:

Estime los parámetros de este modelo e interprete los resultados. Desde el punto de vista económico, ¿tiene sentido?

Se puede observar que MPG se relaciona de manera negativa con PS, debido a la velocidad y el peso.

b) ¿Esperaría que la varianza del error en el modelo anterior sea heteroscedástica? ¿Por qué? Al observarse que se tratan de datos transversales, ello implica una mayor diversidad de automóviles, lo cual permite que se espere heteroscedasticidad.

c) Con la prueba de White determine si la varianza de error es heteroscedástica.

d) Obtenga los errores estándar de White consistentes con la heteroscedasticidad, así como los valores t, y compare los resultados con los obtenidos mediante MCO.

e) Si se establece heteroscedasticidad, ¿cómo puede transformar los datos de manera que en los datos transformados la varianza del error sea homoscedástica? Muestre los cálculos necesarios.

No existe una fórmula sencilla para determinar la naturaleza exacta de la heteroscedasticidad en el presente caso. Tal vez uno podría hacer una suposición simple y probar varias transformaciones. Por ejemplo, si se cree que la variable culpable es HP, y si creemos que la varianza de los errores es proporcional al cuadrado de HP, podríamos dividirla por HP y ver qué sucede. Por supuesto, cualquier otro regresor es un candidato probable para la transformación.

11.20. La tabla 11.8 proporciona datos sobre la mediana de los salarios de catedráticos en estadística que laboraron en centros universitarios de investigación de Estados Unidos durante el año académico 2007.

Years in Rank

Year

Year^2

Count

Median

0 to 1

0.5

0.25

40

101478

2 to 3

2.5

6.25

24

102400

4 to 5

4.5

20.25

35

124578

6 to 7

6.5

42.25

34

122850

8 to 9

8.5

72.25

33

116900

10 to 14

12

144

73

119465

15 to 19

17

289

69

114900

20 to 24

22

484

54

129072

25 to 30

27.5

756.25

44

131704

32

1024

25

143000

31 or more

a) Grafique la mediana de los salarios respecto de los rangos de años (como medida de los años de experiencia). Para propósitos de la gráfica, suponga que la mediana de los salarios está referida al punto medio del rango de años correspondiente. Por consiguiente, el salario de $124 578 del rango 4-5 está referido a 4.5 años del rango correspondiente, y así sucesivamente. Para el último grupo, suponga que el rango es 31-33.

Se aprecia un aumento de los salarios mediano con el paso de los años.

b) Considere los siguientes modelos de regresión:

Donde Y = mediana del salario, X = año en el rango (medido como el punto medio del intervalo), y u y v son los términos de error. ¿Puede justificar por qué el modelo (2) sería preferible al modelo (1)? A partir de estos datos, estime los modelos. De la imagen observada, se puede afirmar que el modelo (2) es el más apropiado ya que encaja en la teoría económica del capital humano.

11.20. La tabla 11.8 proporciona datos sobre la mediana de los salarios de catedráticos en estadística que laboraron en centros universitarios de investigación de Estados Unidos durante el año académico 2007. a) Grafique la mediana de los salarios respecto de los rangos de años (como medida de los años de experiencia). Para propósitos de la gráfica, suponga que la mediana de los salarios está referida al punto medio del rango de años correspondiente. Por consiguiente, el salario de $124 578 del rango 4-5 está referido a 4.5 años del rango correspondiente, y así sucesivamente. Para el último grupo, suponga que el rango es 31-33. b) Considere los siguientes modelos de regresión:

Donde Y _ mediana del salario, X _ año en el rango (medido como el punto medio del intervalo), y u y v son los términos de error. ¿Puede justificar por qué el modelo (2) sería preferible al modelo (1)? A partir de estos datos, estime los modelos. c) Si observa heteroscedasticidad en el modelo (1) pero no en el modelo (2), ¿a qué conclusiones llega? Muestre los cálculos necesarios. d) Si observa heteroscedasticidad en el modelo (2), ¿cómo puede transformar los datos de manera que en el modelo transformado no existiera heteroscedasticidad?

RESPUESTA

a)

Tal como se muestra en esta figura, con aumentos de sueldo promedio años de graduación, pero no lineal. b) De la cifra indicada en (a) parece que modelo (2) puede ser más apropiado, que se corresponde también con la teoría económica del capital humano. c) Los resultados de los modelos lineales y cuadráticas son los siguientes:

La heterocedasticidad de White prueba aplicada al modelo (1) se demostró que no había evidencia de heterocedasticidad. El valor de n.R2 de la regresión auxiliar del cuadrado de los residuos se 11,4108 con un valor de p de 0,0033, lo cual sugiere una fuerte heterocedasticidad. Cuando el mismo se aplicó la prueba con el modelo (2), n .R2 fue 7,6494, con ap. valor de 0,0538, lo que sugiere que no hay heterocedasticidad al nivel del 5 por ciento. Pero este valor es tan cerca del nivel del 5% que uno podría sospechar la heteroscedasticidad leve en el modelo, aunque la posibilidad de error en la especificación no puede descartarse.

d) Suponiendo que la varianza del error es proporcional al cuadrado de la experiencia, nos hemos dividido modelo (1) a través de X y obtener los siguientes resultados:

Cuando este modelo se sometió a prueba la heterocedasticidad de White, no hubo pruebas de heterocedasticidad.