Taller Diferencial

 

TALLE ALLER R APO APOYO YO EXAM EXAMEN EN FINA FINAL L

Facult acultad ad de Ingeni Ing enier´ er´ıa ıa Departamento de Matem´atic aticas as,, F´ıs ısic icaa y Estad Est ad´´ıs ısti tica ca Asignatura: C´aalculo lculo Diferencial

Nombre: Nota:   Este

Fecha: taller est´ a propuesto como complemento a las actividades realizadas en clase y dirigidas por

cada uno de los docentes. docentes. Sirve de gu gu´ ´ıa respec respecto to a la totalidad de temas que se evalua evaluaran ran en el examen final

1.

An´ a alisis lisis y A Aplicaci´ plicaci´ o on nd de e co conoc nocimientos imientos Completar:

1. El dominio de la funci´on y on  y  = tan(x tan(x) es: 2. El rango de la funci´on y on  y  =  = cos  cos(2 (2x x +   π2 ) es: 3. El periodo de la funci´on y on  y  = 3cos cos(2 (2x x +   π2 ) es: 4. El v´eertice rtice de llaa pa par´ r´aabola y bola  y  =

1 2 2

 − x − x + 4 es V  es  V    = (   ,

  )

5. El conjunto de puntos que describe el exterior de la circunferencia de centro (0, (0 , 0) y radio 7 es (x, y)/

√   {

 

}

6. Si g Si g((x) es un desplazamiento 2 unidades hacia arriba de f  de  f ((x) = 2x + 1, entonce entoncess  g(  g (x) = 7. Si Si g  g((x) es un desplazamiento 2 unidades hacia la izquierda de f  de  f ((x) = 2x + 1, ent entonc onces es g(x) = 8. Para la funci´oon n exponencial exponencial   f  f ((x) =   ax ,   a f  f ((x) sea decreciente es: 9. Par Paraa la func funci´ i´oon n exponencial exponencial f   f ((x) =  ax , a creciente es: f  es:  f ((x) = 10. La funci´on f  on  f ((x) =

  6   es x2 +1

 ∈   R,   a = 1, la condici´oonn sobre sobre   a  para que

 ∈ R, a = 1, un ejemplo de funci´oonn exponencial

funci´oon n par porque:

11. La funci´on f  on  f ((x) = log 1 (x) es decreciente en el intervalo: 2

12. La funci´oon n inversa de de f   f ((x) = Log 1 (x) es es f   f −1 (x) = 3

13. Defina, en t´eerminos rminos de l´ımites, que la recta recta x  = 2 es as´ as´ıntota vertical de de f   x =  f ((x) 14. Defina, en t´eerminos rminos de l´ımites, que la recta recta y  y  = 2 es as´ as´ıntota horizonta horizontall de de f   f ((x)

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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15. Regla de la cadena: Si  Si   g(x) es derivable en  en   x   y   f ( f (x) es derivable en  en   g (x) entonces la  funci´ oon n compuesta compuesta h en  x  y  h (x) =  h((x) =  f   f ((g (x)) es derivable en x 16. Para una funci´on  on   f  f ((x) en los reales, la expresi´on l´ım f ( f (x) = L,  L , significa x

→a

17. Expli Explique que la diferen diferencia cia entr entree raz´oon n de cambio promedio y raz´oon n de cambio instant´aanea. nea.

√  18. Explique porq porqu´ u´e la funci´oon n cociente cociente f   f ((x) =   | √  |  es discontinua en  en   x = −  −√  √ 2 x+ 2 x+ 2

19. El punto interior del dominio x dominio  x =  = c  c de  de la funci´on f  on  f ((x) es punto cr cr´´ıtico si y solo si: 20. Para una funci´oon n f continua en [[a, a, b] y derivable en (a, (a, b), entonces existe un c un  c en  en (a, b),  tal que:  que:   f  (c) = 2

d y 21. Si Si y  y 2 = 4ax ax,, entonces   dx 2 =

22. La regla de de L  NO aplica apl ica en l´ım+  L  Hopital Hopital NO x

→2

x + 2   porque: x2 4

−

1  no existe porque: x→0 x

23 23.. l´ım ım

ln x   porque: x→∞ x

24. La regla de de L  L  Hopital Hopital apli  aplica ca en l´ım

25. Si g Si  g((x) pasa por el origen y es una recta perpendicular a f  a  f ((x) = 2x +1 entonces g entonces  g((x) = Analizar cada proposici´oon, n, escribir si es falsa (F) o verdadera (V) y justificar respuesta (es indispen indispensable sable la justi justificac ficaci´ i´oon n correcta): 26.

√ a + b  √  √   + b =  = a + b, para todo  todo   a   y  b,  b , n´u umeros meros reales. Justificaci´oon: n:

27. Si Si a entonces  ax 2 >  0 para todo x todo  x  a >  0, entonces ax 28. Para  Para   a   y  b  n  n´ umeros u ´meros reales, si  si   a

 b  entonces  entonces ac  ac

 ≤

29. El domi dominio nio de la fun funci´ ci´ on f  on  f ((x) =

 ∈ R. Jus Justi tifica ficaci´ ci´oon: n:

 

 ≤

3  es (x 1)(x 1)(x+ 2)

−

 bc para  bc  para todo  todo   c

R.

Justificaci´oon: n:

 ∈

el conjunto de los reales. Justificaci´oon: n:

√ 

30.   x = 0, 0,   x = π  =  π,,   x = 2π  no pertenecen al dominio de  de   f ( csc(x). Justificaci´oon: n: f (x) = csc(x 31. Si f  Si  f    y  g  son funciones en los reales, entonces f  entonces  f ((g (x)) = g =  g((f ( f (x)). Justificaci´oon: n:

 −√ 2 son ceros (o soluciones) de f  de  f ((x) = 33. El periodo de la funci´on f  on  f ((x) = 2 + cos(  − 34. La amplitud de la funci´on f  on  f ((x) = 2 co cos( s(  − 32. 0 y

x 2

x 2

35. La funci´on f  on  f ((x) = 36.   f  f ((x)

  2  es x 1

−

− −

−

 π ) 4

 π 4)

√ 

es π es  π.. Justificaci´oon: n: es   π4 . Justificaci´oon: n:

discontinua en x en  x =  = 1. Justificaci´oon: n:

3 1)((x2 +x+1)   =   xx 11  =   (x 1)((x (x 1)

− −

  3 (x 1)( 1)(x x+ 2)

es una func funci´ i´oon n cuadr´aatica. tica. Justificaci´oon: n:

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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2

37.   y  = x  =  x +  + 1 es as as´´ıntota oblicua de de f   f ((x) =  xx−1 . Justificaci´oon: n: 38.   x = 2 es as as´´ıntota vertical de de f   f ((x) =

  1 (x 2)2 .

−

39.   y  = 2 es as as´´ıntota horizontal de de f   f ((x) =

Justificaci´oon: n:

  4x2 +1 . 2x2 +3x +3x 10

−

Justificaci´oon: n:

40. La pendiente de la recta normal en  x =  x  = 0 a  f (  f (x) = log5 (1 + 2x 2x) es

  2 . ln(5)

Justificaci´oon: n:

41 41.. l´ım cot( cot(x x) no existe. Justificaci´oon: n: x

→π

f ( f (x) f  (x)  42. Si l´ım f  f ((x) = 0 y l´ım g (x) = 11,, en ento tonc nces es,, por   L Hopital Hopital:: l´ım ım   = l´ım  . x→a x→a x→a g (x) x→a g (x) Justificaci´ oon: n:

43. Los puntos ccrr´ıticos de de f   f ((x) = x

− ln( ln(x x) son: x son:  x =  = 1 y   x = 0. Justificaci´oon: n: 44.   x = 3 es un m´ınimo local de la funci´ on f  on  f ((x) =  x − 4x . Justificaci´oon: n: 4

+2)  45. Si:   f  f ((x) =   xx+1 ,   f  (x) =   x(x(x+1) 2 ,   f  (x) = Justificaci´ oon: n: 2

  2 (x+1)3 ,   x   =

+2)  46. Si:   f (x) =   xx+1 ,   f  (x) =   x(x(x+1) 2 ,   f  (x) = Justificaci´ oon: n: 2

+2)  47. Si: Si: f   f ((x) =  xx+1 , f  (x) =   x(x(x+1) 2 ,  f  (x) = 2

48. Para Para f   f ((x) =  x4 4x3 ,  f  (x) = 4x2 (x m´ınimo ınim o local lo cal de de f   f ((x). Justificaci´oon: n:

−

3

1, es un punto cr´ııtico tico de   f ( f (x).

  2 ,   f ( f (x) (x+1)3

  2 , f (x) (x+1)3  f (

es creciente en (

es c´ooncava ncava hacia arriba en ( 1,

− ∞).

− 3) y  f (x) = 12x 12x(x − 2) entonces, x entonces,  x =  = 3 es un

12x(x 49. Para Para f   f ((x) =  x4 4x3 ,  f  (x) = 4x2 (x 3) y  f  (x) = 12x punto de inflexi´oon n de de f   f ((x). Justificaci´oon: n:

−

−

−∞, −2).

− 2) entonces, x entonces,  x =  = 2 es un

 4x3 ,   f  (x) = 4x2 (x 50. Para Para   f  f ((x) =   x4  4x c´oncava oncava hac´ıa ıa en (0 (0,, 2). Justificaci´oon: n:

 − 3) y   f (x) = 12x 12x(x − 2) entonces,   f ( f (x) es

−

2.

Aplicaci´ o on n de pro propie piedade dadess de los l´ımi ımites tes y formas formas indeterminadas Calcularr los siguie Calcula siguientes ntes l´ımites:

1. l´ım (5 z

2.

→−3

− z )

√ x − 5 l´ım → x−7

x

4 3

4. l´ım1 x

→−

2

 

x + 2 x + 1

− − u −1 l´ım → u −1 −2t − 4 l´ım 4

7.

9

z −2 3. l´ım e z →2 Ln Ln((z )

t2 + 3t 3t + 2 6. l´ım 2 t→−1 t t 2

cosθ + 1 5. l´ım ım cosθ + θ→ 2 senθ π

8.

u

t

1

3

→−2 t3 + 2t 2t2

 

´ lculo Diferencial Calculo a

x2

− 7x + 10 9. l´ım → x−2 t + t − 2 10. l´ıım m → t −1 x

2

2

t

2

1

1 1  +  x+1 x 1

11 11.. l´ım ım − x

→0

12 12.. l´ım h

→0

  23 23.. l´ım x

→∞

14 14.. 15 15..

x

x

√ 5hx + 4 − 2 h

26 26.. l´ım x

→∞

27 27.. l´ım x

→∞

1

2

x + 1

→−1

√ x

2

19 19.. l´ım ım x

→2

20 20.. l´ım x

→−2

+ 12 x 2

−

−4

x + 2 x2 + 5 3

√ 

√  − 2− x −5 2

21 21.. l´ım x

→−3

x + 3

2x3 + 2x 2x + 5 22 22.. l´ım x→∞ 7x3 + x2 3x 1

− −

3.

→a

−

x

5

38 38..

x

x

0

xe

39 39.. l´ım x

→∞ →0

41 41.. l´ım x tan

√ x − √ x

42.

−

sin(x sin( x +  + h  h)) h→0 h

31 31.. l´ım ım

2

x

x

→∞

 1 x

 cos(x x) sec sec(5 (5x x) l´ım  cos(

→ ( )−

x

π

2

43 43.. xl´ım ı→ m0 cot x

−



−

 1 x

44 44.. l´ım+ (tan(2 (tan(2x x))x

sin(2x) + sin(3x sin(2x sin(3x) x→0 sin(5 sin(5x x) + sin(5x sin(5x)

x

→0

 a 45.. l´ım 1 + sin(x sin( x) 45 x→∞ x

 

bx

x

→1

−

47 47.. l´ım sen( sen(x x + sen(x sen(x)) x

→π

sin(5x) sin(5x 33 33.. l´ıım m x→0 sin(4 sin(4x x)

  x2

48 48.. l´ım ım arctan x

→2

− −

sin(1 cos t) t→0 1 cos t

49. l´ım ex

sin(3y) co sin(3y cot( t(55y) y →0 y cot(4  cot(4yy)

50 50.. l´ım− e

x

→−∞

35 35.. l´ıım m



3x2

1 x

x

→0

Aplicaci´ o on n de propiedades de la Derivaci´ o on n dy : Calcular   dx

  A 1.   y  = B + e  +  ex

 



2 46 46.. l´ım ım ex −x

sin(x) sin(x x→π x π

34 34.. l´ıım m

−x

40 40.. l´ım+ sin( sin(x x)ln( )ln(x x)

√ −

32 32.. l´ım

cos x ln( ln(x x a) ln(eex ea ) ln(

− e − e− − 2x l´ım ım → x − sin x √ 

x

2+ 28 28.. l´ım x→∞ 2

1

x

37 37.. l´ım+

2 x +  + x  x−1 3x 7

17 17..

18 18.. l´ım

1 3

  5x x3 + x 2

30 30.. l´ıım m

2



− x + sin(x sin(x) 2x

→0

x2

16 16.. xl´ım ı→ m4 42x

−−√ xx x−1 l´ım ım √  → x + 3 − 2 √ x + 8 − 3

x2

x

−    − −  √ 

4 x3 29. x→−∞ l´ım x6 + 9

2

x

36 36.. l´ım ım

− −

 1 x 25. x→−∞ l´ım x2 + 7x 7x

1

4

−

3

√ x − 1 l´ım ım → x−1 x−1 l´ım ım √  → x + 3 − 2 4−x √  l´ım ım → 5− x +9

x

8x2 3 2x2 + x

x2 + x 1 24. l´ım x→−∞ 8x2 3

3

13 13..

  

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  A xex 2.   y  = x + ex  + ex

−

−4 − 6x



 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

  A xex 3.   y  = x + ex  + ex

−

25. 26.

  ax ax +  + b  b 4.   y  = cx cx +  + d  d

−

√ 

 

x2 y  = x  =  x

28. 44yy3

√  − c) )( )(a a−e )

6.   y  = (a x + c  + c)( )(a a x 7.   y  = (a + e  + ex+c   x 8.   y  = x +   xc

  √ xy = xy  = x  x +  + y  y +  + 1

27. 22x x3

  A xex 5.   y  = x + ex  + ex x+c

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− y + 1 + x y − xy = 2 + y x − x y = 2 2

3

2

3 2

29. ((x x + y  + y))3 = 2 + + xy  xy   x + y  + y 30.   =  xy x y

−

31.   y  = x  =  xx

  x 9.   y  = 1 +   xc

32.   y  = x  =  xsin x

  x a +   xc

34.   y  = x  =  xtan x

10.   y  =

33.   y  = x  =  xcos x

35.   y  = x  =  xln x

  x

11.   y  =

2 tan x   x2 12.   y  = x + sin x   sec x 13.   y  = 1 + sec x

−

  x2 14.   y  = x + tan x   x sin x 15.   y  = 1 + x + x 16.   y  =

  x2 cos x 2

1 + x + x  sin(x) co  sin(x cos( s(x x) 17.   y  = x + 1

36.   y  = (ln x)x

√ 

37.   y  = ( x)x 38.   y  = (tan x)1/x 39.   y  = (sin x)sin x 40.   y  = (sin x)cos x 41.   y  = arcsin(e arcsin(ex + 1) 42.   y  = arc cos cos(ln (ln((x) + 1) 43.   y  =

arcsin(eex ) arcsin(

 

44.   y  = arctan(e arctan(ex )

18.   y  = x  =  x2 sin( sin(x x)cos( )cos(x x) 19.   y  = x  =  x3 tan( tan(x x)sec( )sec(x x)

√ 

45.   y  = arctan( ex ) 46.   y  = arctan

  x + 1 x 1

−

20.   y  = x  =  x2 sin( sin(x x)tan( )tan(x x)

47.   y  = arcsin(xe arcsin(xex )

21.   x3 + xy  xy +  + y  y 3 = 1

48.   y  =

22.

√ x + xy √   + xy +  + y  = 1 2

23. (x (x + y  + y)) = xy  xy +  + 1 2

24. (xy (xy)) =  x +  x  + y  y +  + 1

  ln x arcsin x

49.   y  = arctan

sin x

xx 50.   y  = sin(arcsin(e sin(arcsin(e ))

 

 

´ lculo Diferencial Calculo a

4.

 

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Soluc Soluci´ i´ on on de problemas: problemas: Raz´ Raz´ o on n de Cambio

1. La posici´oon n de una part part´´ıcula que se desplaza a lo largo de una recta coorden coordenada ada es s  = 1 + 4t 4t, con s con  s  en metros y t y  t  en segundos. Determine la velocidad y la aceleraci´on on de la part´ııcula cul a ccuan uando do t  t =  = 6seg seg..

√ 

√ 

2. Suponga que la velocidad de un cuerpo que cae es   v   =   k s

  m seg   (k   constante)

en

el instan instante te en que el cuer cuerpo po ha ca ca´´ıdo ıdo   s  metros, contados desde su punto de inicio. Demuestre que la aceleraci´oon n del cuerpo es constante. 3. La veloc velocidad idad de un meteor meteorito ito pesado que entra entra a la atm´oosfera sfera terrestre es inversamente proporcional proporc ional a s  cuando se encuentra a s a  s  km del centro de la Tierra. Demuestre que la aceleraci´on on del meteorito es inversamente proporcional a  a   s2 .

 √ 

4. Una part part´´ıcula se desplaza a lo largo del eje x con una velocidad de   dx  f (x). Demuestre dt   =  f (  que la acele aceleraci´ raci´ oon n de la part part´´ıcula es es f   f ((x)f  (x). 5. Una compa˜ n´ıa fabrica chips para computadora a partir de placas cuadradas de silicio. Se desea conservar la longitud del lado de esas placas muy pr´ooxima xima a 15 15mm mm y,  y, asimismo, saber c´oomo mo cambia el ´aarea A rea A((x) de d e ellas el las cuando var var´´ıa la longi longitud tud x  del lado. Encuentre  x del A (15) y explique su significado en esta situaci´oon. n. 6. Es f´acil acil hacer crecer cristales de clorato de sodio en forma de cubos dejando que una soluci´on on de esta sal en agua se evapore con lentitud. Si V  Si  V  es  es el volumen de uno de esos   dv cubos, con longitud  longitud   x  por lado, calcule dx   cuando x cuando  x =  = 3mm mm y  y explique su significado. 7. Se est´a inflando un globo esf´eerico. rico. Encuentr Encuentree la raz´oon n de aumento del ´aarea rea superficial 2 (S   = 4πr ) respecto al radio r radio  r,, cuando cu ando ´eeste ste es d dee a) 1 p pie, ie, b b)) 2 pies y c) 3 p pies. ies. ¿A q qu´ u´e conclusiones llega?  , entonces 8. Si un bal´oon n es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 80 pies s 2 su alt altura ura des despu´ pu´eess de de t  t  segundos es s es  s =  = 80 80tt 16 16tt .

−

a 

) ¿Cu´aall es la al altura tura m´axima axima alcanzada por el bal´oon? n? ¿Cu´aall es la velocidad del bal´oon n cuando est´a 96 pies  pies   por encima del suelo en su camino ascendente? ¿En su camino en descenso?

b)

9. Una part part´´ıcula se muev muevee de acuerdo con la funci´oon n posici´on  on   S  = t  =  t4

3

2

− 4t − 20 20tt

+ 20t 20t

a )

¿En qu´e mo momento mento llaa p part art´´ıcula tiene una velocida velocidad dd dee 20 ms ?

b)

¿En qu´e mom momento ento su aceleraci aceleraci´´oon n es 0? ¿Cu´aall es el significado de este valor de t?

10. Si se lanza una roca verticalmente hacia arriba desde la superficie de Marte, con una velocidad de 15 ms , su altura despu´es es de de   t  segundos es h es  h =  = 15 15tt 1,86 86tt2 .

−

a )

¿Cu´aall es la velocidad de la roca despu´es es de que transcurren 2s?

b)

¿Cual es la velocidad de la roca una vez q que ue ha alcanzado 25 m durante el ascenso? ascenso? ¿Y en su descenso?

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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11. Suponga que el des desplazam plazamien iento to de un m´oovil vil hasta el tiempo tiempo t  t est´  est´a dado por la ecuaci´on on d(t) = 64 + 4t   metros, donde t est´a medido en segundos. Determinar la velocidad promedio del m´oovil vil durante el tiempo tiempo t  t =  = 2 has hasta ta t  t =  = 3 segundos. 12. Un cuer cuerpo po que es lanzad lanzadoo hac hacia ia arriba arriba se muev muevee de modo que su p posi osici´ ci´ oon n des despu´ pu´es es de 2 t  segundos est´a dada por la ley   s(t) = 2t + 12 12tt + 9 cuyos valores se expresan en metros. Determine la raz´oon n de cambio promedio del desplazamiento con respecto al tiempo transcurrido, durante los primeros 3 segundos.

 −

13. Un fabricante modela la utilidad de producir   x  art´ııculos culos con la funci´on on 2

U  U ((x) =

 −0,1x

+ 80x 80x + 150

Calcule: a )

La utilida utilidad d promedi promedioo cuando la producci´ oon n aumenta de 10 a 20 unidades

b)

La utilidad marginal de producir 10 unidades

14. Suponga que el costo, en d´oolares, lares, de producir producir x  x  lavadoras es c(x) = 2000 + 100x 100x

2

− 0,1x

a )

Determine el costo promedio por lavadora en la producci´oon n de las primeras 100 lavadoras.

b)

Dete Determine rmine el costo marginal cuando se produce producen n 100 lav lavadora adoras. s.

15. Una tienda vende reproductores de disco Blu-ray y seg´u un n un estudio de mercados la  1 ecuaci´ oon n de la demanda es es p  p((x) = 400 12 x, donde x donde x (en  (en unidades de mil) es el n´ u umero mero de repr reproductor oductores es ven vendidos didos por p or seman semana. a.

−

a )

Escriba la funci´oon n ingreso de la tienda.

b)

Calc Calcule ule el ingreso promedio al vende venderr las prime primeras ras 200 unidad unidades. es.

c )

Calc Calcule ule el ingreso marginal cuando se vende venden n 200 unidad unidades. es.

16. Un fabricante modela la utilidad de producir   x  art´ııculos culos con la funci´on on U ((x) = U 

2

 −0,01 01x x

+ 60x 60x

− 20000

Calcule: a )

La utilida utilidad d promedi promedioo cuando la producci´ oon n aumenta de 100 a 200 unidades

b)

La utilidad marginal de producir 100 unidades

17. Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de $20 cada una. Se estima que si las grabadoras se venden a p a  p d´  d´oolares lares cada una, los consumidores compraran compraran q   q  =   = 120  p grabadoras mensualmente.

−

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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a )

Expr Exprese ese la utili utilidad dad   p  del fabricante como una funci´on  on   q 

b)

¿Cu´aall es la raz´on on de cambio promedio de la utilidad obtenida cuando el nivel de producci´oon n se incrementa de de q   q  =  = 0 a   q  =   = 20?

18. Un cohete de juguete se elev elevaa vertic verticalmen almente te de tal manera que que t  t  segu  segundo ndoss desp despu´ u´es es del lanzamiento, esta dado por 2

h(t) =

 − 12 t

+ 30

a )

¿Qu´e ta tan n aalto lto estar´a el cohete despu´eess d dee 4400 ssegundos egundos??

b)

¿Cu´ aall es la vel velocidad ocidad promedio del cohe cohete te en los prime primeros ros 40 segun segundos dos de vuelo (entre t (entre  t =  = 0 y  t =  t  = 40)?

19. Un fabricante vende televisores de pantalla plana y seg´u un n un estudio de mercados la  1 ecuaci´ oon n de la demanda es   p(x) = 600 2 x, donde   x   es el n´ u umero mero de televisores vendidos por semana y la funci´oon n de costo es es C   C ((x) = 68000 + 150x 150x

 −

a )

Escriba la funci´oon n de ingreso

b

) Escriba la funci´oon n de utilidad Calc Calcule ule la utilidad pro promedio medio cuan cuando do la producci´ oon n aumenta de 100 a 200 unidades

c )

20. Un fabricante de videocasetes determina que si se producen   x   cientos de unidades, la utilidad ser´a   P ( P (x) = 4000(4  x)(  x)(x x  + 1) 1)..   Calcule la utilidad promedio cuando la producci´oon n aumenta de 100 a 200 unidades.

 −

 

5.

Soluc Soluci´ i´ on on de problem problemas: as: T Tasas asas Relaciona Relacionadas das (Raz´ o on n de cambio relacionadas)

1. Un vele velero ro es arrastrad arrastradoo hacia el muelle por medio de una p polea olea situad situadaa a una altura de 12 pies por encima de la  pies proa de barco (ver figura). Suponiendo que el bote se mueve a ritmo constante de 4 seg , determine la velocidad a la que la polea recoge la cuerda cuando quedan 13 pies de ella por recoger.

13 pies 12 pies

 No está dibujado a escala

 

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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2. Un foco sobre el piso ilumina una pared a 12   m  de distancia. Un hombre de 2   m   de estatura camina desde el foco hacia el edificio a una rapidez de 4m/s 4m/s,, ¿qu ¿qu´´e tan tan r´aapido pido disminuye la longitud de la sombra sobre la pared cuando est´a a 8  m  del edificio? 3. Un globo se eleva verticalmente desde una superficie plana a una tasa de 1 m/seg m/seg.. Justo cuando el globo est´a a 5  m sobre  m  sobre el nivel del suelo, una bicicleta que se desplaza a una velocidad constante de 5 m/seg m/seg pa  pasa sa deba debajo jo de ´eel. l. ¿Qu´e tan r´aapido pido cambia la distancia, s distancia,  s((t), entre la bicicleta y el globo 3 segundos despu´ees? s?  y

 y (t )

s(t )

0

 x (t )

 x 

4. Cuando un plato circular de metal se calienta en un horno, su radio aumenta a raz´on on de 0,1 cm/min. cm/m in. ¿A qu´e raz´ r az´oon n aumenta el ´aarea rea del plato cuando el radio es de 50 cm? 5. Un bote se jala hacia un muelle mediante una soga unida a la proa y que pasa por una polea que se encuentra instalada en el muelle a 1 m m´as arriba que la proa del bote. Si la soga se jala a una rapidez de 1 m/s ¿qu´e tan r´aapido pido se aproxima el bote al muelle cuando cuan do ´eeste ste se encu encuentra entra a 8 m de ´eeste? ste ?

6. Una escalera de 25 pies de longitud est´a apoyada sobre una pared (ver la figura). La parte inferior de la escalera se desliza por el piso a raz´oon n de 2 pies por segundo.

r 

25 pies pies 2 s

a )

 

¿A qu´e ritmo r itmo est´a desliz´andose andose el extremo superior de la escalera cuando la base se encuentra a 7 pies de la pared ?

 

 

´ lculo Diferencial Calculo a b)

 

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¿A qu´e velocidad cambia el ´aarea rea del tri´aangulo ngulo formado por la escalera, el suelo y   la pared, cuando la base de la escalera est´a a 7 pies de la pared?

7. Un hombr hombree de 6 pies de altur alturaa camina a una velocid velocidad ad de 5 pies por segundo ale alej´ j´ aandose ndose de una luz que est´a a 15 pies de altur alturaa sobre el suelo (ver figura). ¿A qu´ e ve velocidad locidad est´a cambiando la longitud de la sombra cuen el hombre est´a a 10 pies de la base de la luz? 16 12 8 4  x 

4

8

12

16

20

8. Un avi´ oon n vuela horizontalmen horizontalmente te  hacia una ruta que le llev llevar´ ar´a directamen directamente te sobre una estaci´ oon n de radar, como se muestra en la figura. Si   s  est´a decreciendo a raz´oon n de 400 millas por hora cuando s cuando  s =  = 10 millas, ¿cu´aall es la velocidad del avi´oon? n?  x 

s

6 millas

 No está dibujado dibujado a escala escala

.

 

 

9. El pescador de la figura recoge sedal para capturar su pieza a raz´oon n de 1 pie por segundo, desde un punto que est´a a 10 pies p por or encim encimaa del agua (ve (verr figura figura). ). ¿A qu´ e ritmo cambia el ´aangulo  ngulo   θ  entre el sedal y el agua cuando quedan por recoger 25 pies de sedal?  

  10 pies

 

x 

 

 

10. Un dep´oosito sito de agua tiene la forma de un cono invertido; el radio de la base es de 22m m, 3 y la altura es de 4  4   m. Si el agua se bombea hacia el dep´oosito sito a raz´oon n de 22   m /min min,, determine la rapidez a la cual el nivel de agua sube cuando el agua tiene 3m 3 m   de profundidad.

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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  2

r 4 h

11. Se descarga grava por medio de una banda transportadora a raz´on de 30 pies3 /min, y el grosor de granos es tal que forma una pila en forma de cono cuyo di´aametro metro y altura   son siempre iguales. ¿Qu´e tan r´aapido pido se incre incremen menta ta la altur alturaa de la pila cuand cuandoo ´eesta sta mide 10 pies de alto?

12. Cuand Cuandoo el prec precio io de cier cierto to art art´´ıculo es de   p   d´oolares lares por unidad, el fabricante est´a dispuesto dispue sto a ofert ofertar ar   x  cientos  de unidades, donde 3 p2

2

−x

= 12

¿Con qu´e rapidez r apidez cambia la oferta oferta   x  respecto al tiempo cuando el precio es de $4 por unidad si se sabe que el precio p precio  p  se incrementa a una rapidez de 1 d´oolar lar por mes?  n 13. Se inserta un glob globoo esf´eerico rico p peque˜ eque˜ noo en una arteria tapada y se infla a una raz´oon n de 3 0.002π 0.002 π  mm /min. ¿Con qu´e rapidez crece el radio del glob globoo cuando el radio es R es R=0.005 =0.005   4πR 3 mm? [Nota:  Una esfera de radio R radio  R  tiene un volumen V  volumen  V    = 3   ]

14. Un foco sobre el piso ilumina una pared que se encuentra a 12 m   de distancia. Si un hombre de 2m 2m de estatura camina desde el foco hacia la pared a una rapidez de 3 m/seg ¿Qu´ ¿Q u´e tan ta n r´aapido pido disminuye la longitud de la sombra sobre la pared cuando el hombre se encuentra a 8m 8m  del foco? 15. Desde un dep´oosito sito c´oonico nico de concr concreto eto (con v´eertice rtice hacia aba abajo), jo), con altur alturaa de 6m   y 3 cuyo radio de la base mide 45m 45m, fluye agua a raz´oon n de 50 50m m /min /min.. ¿Con qu´e rapi rapidez dez disminuye el nivel del agua cuando la profundidad es de 5m 5 m? 16. Un globo esf´eerico rico se infla con helio a raz´oon n de 100 100π π  ft 3 /min /min.. ¿Q ¿Qu´ u´e tan tan r´aapido pido aumenta el radio del globo en el instante en el que el radio es de 5ft? [ Nota: Una esfera de radio   4πR 3 R  tiene un volumen V  volumen  V    = 3   ]

.  

´ lculo Diferencial Calculo a

6.

 

An´ a alisis lisis de funciones

1. A partir de las funciones f  funciones  f ((x), f  (x) y   f  (x), Encuentre: a )

Puntos cr cr´´ıticos de de f   f ..

b)

Interv Intervalos alos de crecimientos y decrecimien decrecimiento. to.

c 

) Puntos m´aaximos ximos y m´ınimos relativos. Int Interv ervalos alos de conca concavidad vidad y punt puntos os de inflex inflexi´ i´oon. n.

d )

1)   f  f ((x) =

  8x x2 +4 2

8(x −4)    f  (x) =   −8(x (x +4)   16x 16x(x −12)   b   f  (x) =

a 

2

2

2

(x2 +4)3

2

2)   f  f ((x) =   xx−−23

3)(x−1)    f  (x) =   (x−3)(x (x−2)   2   b   f  (x) = (x−2)   x 3)   f  f ((x) = √  x +1

a 

2

3

2

  x2 1

a 

−    f  (x) = − (x +1)   x −5x   b   f  (x) =

3 2

2

3

5

(x2 +1) 2

4)   f  f ((x) =

  5 x4 +5 3

20x    f  (x) = −   20x (x−2)   100x 100x (x −3)   b   f  (x) =

a 

2

2

4

(x4 +5)3

5)   f  f ((x) =

  x x2 1

−

2

   f  (x) = −   x +1 (x −1)   x +6x +6x   b   f  (x) = (x −1)

a 

2

2

3

2

6)   f  f ((x) =

3

  8 x2 +4

   f  (x) = − ( x 16x 16 x +4)   48x 48x −64   b   f  (x) =

a 

2

2

2

(x2 +4)3

  4x x2 +4   4(4 x2 ) a    f  (x) = (x2 +4)2   8x3 96x 96x b   f  (x) = (x2 +4)3 8)   f  f ((x) = x  2x(x 12) 2x2 5x+4 a    f  (x) = x3 (x 2)2 3   6x 24x 24x2 +40 +40x x 24 b   f  (x) = (x 2)3 x4

7)   f  f ((x) =

−

   

   

9)   f  f ((x) =  x

−

− −

 −

− − − −

ln x

   f  (x) − =   x−x 1  1   b   f  (x) =

a 

x2

−

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´ lculo Diferencial Calculo a

7.

 

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Soluci´ o on n de problemas: Optimiz Optimizaci´ aci´ on on

1. Un agricultor quiere cercar un ´aarea rea de 1.5 millones de pies cuadrados en un terreno rectangula rect angularr y luego divid dividirlo irlo por la mitad, con una cerca parale paralela la a uno de los lados del rect´ aangulo.¿C´ ngulo.¿C´omo omo puede el agricultor hacer esto para minimizar el costo de la barda? 2. Una caja con una base cuadrada, abierta en la parte superior, debe tener un volumen de 32000   cm3 . Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que ha de utilizarse. 3. Si se dispone de 1200  1200   cm2 de material para hacer una caja con una base cuadrada y sin tapa; encuentre el mayor volumen posible de la caja. 4. Un contenedor rectangular de almacenamiento sin tapa ha de tener un volumen de 10 m3. La longitud de su base es dos veces el ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado y el material para los costados cuesta $6 por metro cuadrado. Encuentre el costo de los materiales que hagan m´aass barato el contenedor. 5. Busque el rect´aangulo ngulo de mayor ´aarea rea que puede ser inscrito en la elipse 2

2

x2   +  y 2   = 1 a b 6. Encuentre el ´aarea rea del rect´aangulo ngulo m´aass grande que puede ser inscrito en un tri´aangulo ngulo rect´ angulo angulo con catetos de longitudes de 3 cm y 4 cm si dos lados del rect´angulo se encuentran a lo largo de los catetos. 7. Los m´aargenes rgenes superior e inferior de un cartel son de 6 cm y los m´argenes argenes de los lados de 2 4 cm. Si el ´aarea rea de impresi´oon n sobre el cartel se fija en 384 384 cm  cm , encuentre las dimensiones del cartel con la menor ´aarea. rea. 8. Un cartel debe tener un ´aarea rea de 180 180 pulg  pulg 2 con m´aargenes rgenes de 1 pulg en la parte inferior y laterales, laterales, y un marge margen n de 2 pulg en la parte superior superior.. ¿Qu ¿Qu´´e dimen dimensione sioness dar´ aan n la mayor ´aarea rea de impresi´oon? n? 9. Un pedazo de alambre de 10 m de largo est´a cortado en dos piezas. Una pieza est´a doblada en forma de cuadrado y la otra de un tri´aangulo ngulo equil´aatero. tero. ¿C´oomo mo debe cortarse el alambrepara que el ´aarea rea total encerrada sea a )

Un m´aaximo ximo

b)

Un m´ınimo ın imo

10. Se hace una lata cil cil´´ındri ındrica ca sin tapa para contene contenerr V   cm3 de l´ıquido. Encuentre las dimensiones que minimizan el costo del metal para hacer la lata. 11. Una barda de 8 pies de altura corre paralela a una distancia de 4 pies de un edificio alto. ¿Cu´aall es la escalera de menor longitud que, colocada en el suelo, pasando sobre la barda, alcanzar´a la pared del edificio?

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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12. Un recipiente para beber, en forma de cono, se dise˜n naa para contener 27 27   cm3 de agua. Encuentre la altura y el radio del cono que utilizar´a la menor cantidad de papel. 13. Un barco sale de un muelle a las 14:00 y viaja hacia el sur a una velocidad de 20   km  . h   km Otro barco ha estado dirigi´eendose ndose al este a 15 h   y llega al mismo m muelle uelle a las 15:0 15:00. 0. ¿A qu´e hora estuvieron los dos barcos m´aass cerca uno del otro? 14. Una refi refiner ner´´ıa de petr´ooleo leo se encuentra en la orilla norte de un r´ıo recto que tiene 2 km de ancho. Se deb debee cons construir truir una tuber´ııaa d desde esde llaa refin refiner er´´ıa a tanques de al almacenami macenamiento ento situados en la orilla sur del r´ıo, 6 km al este de la refiner refiner´´ıa. El costo de colocaci´oon n de tuber tub er´´ıa es 400 400000 000/km /km sobre  sobre la tierra a un punto P a la orilla norte y 800000/km 800000 /km bajo  bajo el r´ııoo a llos os tanques. Para m minimiza inimizarr el costo de llaa ttuber´ uber´ııa, a, ¿d´oonde nde debe ubicarse P? 15. Un equipo de beisbol juega en un estadio con capacidad para 55000 espectadores. Con el precio de las entradas a $10, la asistencia promedio hab´ııaa sido de 27000. Cuando los precios se redujeron a $8, la asistencia promedio subi´o a 33000. a )

Encu Encuent entre re la funci´ oon n demanda, suponiendo que es lineal.

b)

¿C´omo omo se deben establecer los precios de las entradas para maximizar los ingresos?

16. Durante los mese mesess de verano, Tom´aass hace y vende collares en la playa. El verano pasado vendi´o los collares a $10 y sus ventas promedio fueron de 20 p por or d´ııa. a. Cuando aument´ o el precio por $1, encontr´o que el promedio disminuy´o dos ventas po porr d´ıa. a )

Encu Encuent entre re la funci´ oon n demanda, suponiendo que es lineal.

b)

Si el material para cada collar le cuesta a Tom´aass $6, ¿qu´e precio de ven venta ta debe maximizar su utilidad?

17. Un fabricante ha estado vendiendo 1000 televisores de pantalla plana a la semana a $450. Un estudio de mercado indica que, por cada $10 de descuento ofrecido al comprador, el n´ u umero mero de televisores vendidos se incrementar´a en 100 por semana. a 

) Encu Encuent entre re la funci´ oon n demanda. ¿Qu ¿Qu´´e tan grande debe ser el descu descuent entoo que ofrezca la compa˜ n´ıa al comprad comprador or a fin de maximizar sus utilidades?

b)

c )

Si la funci´oon n costo semanal es es   C (x) = 68000 + 150x 150x,¿c´oomo mo deber´ıa ıa el fabricante establece estab lecerr el tama˜ n noo de la rebaja, a fin de maximizar sus ganancias?

18. 18. El ad admi mini nist stra rado dorr de un co comp mple lejo jo habi habita taci cion onal al de 10 1000 ap apar arta tame men ntos tos sabe sabe por por experiencia que todas las unidades ser´aan n ocupadas si el alquiler es de $800 al mes. Un estudio de mercado sugiere que, en promedio, una unidad adicional permanecer´a vac acan ante te por ca cada da in incr crem emen ento to de $1 $100 en el alqu alquil iler er.. ¿Q ¿Qu u´e ren renta de debe be co cobr brar ar el administrador para maximizar los ingresos? 19. Demuestre que, de todos los tri´aangulos ngulos is´oosceles sceles con un determinado per per´´ımetro, el de mayor ´aarea rea es equil´aatero. tero.

 

´ lculo Diferencial Calculo a

 

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20. Sean a y b n´u umeros meros positivos. Encuentre la longitud del menor segmento de recta que corta el primer cuadrante y pasa por el punto (a, ( a, b).