Taller de Valor Absoluto
July 20, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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1
TALLER DE VALOR ABSOLUTO.
| 5 | = 5 | 3 | = 33 = 3 ∗< 0 | 0 | = 0
|∗|
∗
observen que que lo que está dentro del valor absoluto es Explicación: observen positivo, entonces si
0 el
valor absoluto es es el mismo
Observen lo Observen lo que está dentro del valor absoluto es el valor absoluto es (menos) (menos)
negativo entonces si
este signo solo cambia lo de adentro del valor absoluto a una expresión positiva.
|∗|
∗
En conclusión todo lo que sale de un valor absoluto es mayor o igual a cero.
Definición:
El valor absoluto de
así:
∗ ∗ > 0 |∗| = 0 ∗= 0 ∗ ∗< 0
∗
lo denotamos por
|∗ |
, y lo definimos ,
ECUACIONES ECUACION ES CON VALOR A ABSOLUTO. BSOLUTO.
| ∗ | = 7
Explicación: Solucionar la ecuación
7≥ 0 ∗= 7 |7|7| = 7
1. Debes verificar que lo que sale del valor absoluto es positivo
| | ∗ = 7 |7| = 7 ∗= 7 ∗= 7
∗= 7
2. Para que el resultado sea 7 entonces Por que 3. Se solucionan las ecuaciones o Entonces:
|∗| = ⇔ ∗= ∨≥∧∗=0 || = || =
ó
por qué
o
Dónde: es lo que sale del valor absolu absoluto, to,
∧ ∨
El símbolo se lee como “y” es una intersección cuyo símbolo es es El símbolo se lee como “ó” es una unión cuyo símbolo es es
∪
.
∩
.
2
Ejemplo 1. Solucionar la siguiente ecuación.
|3 2| = 10
10 ≥ 0 3 2 = 1010 ó 3 2 = 1100 3 2 = 1010 3 = 1010 2 2 3 = 12 = −− = 4 3 2 = 1010 3 = 1010 2 2 3 = 8 = |33 2| = 10 = 4 =
continúo el ejercicio. Para que lo q que ue salga del v valor alor Si , entonces continúo
absoluto sea 10 entonces:
Soluciono estas ecuaciones
La solución de
es
Ejemplo 2. Solucionar la siguiente ecuación.
Soluciono esta desigualdad y las soluciones que halle deben
3 3 ≥ 0 |2 1| = 3 3 ≥ 0 ≥ 3 3 3 |2 1| = 3 3 3 232=11121= == = 3 3=33 221111== = 33 2 = 33 1 3 = = 2 1 = 3 3 2 1 1 = 3 2 = 3 1 = 4 = 4 = 4 3 = 4 cumplirla.
Es decir las soluciones deben ser mayores o iguales a Para lo que
salga del valor abs absoluto oluto sea
ó
Soluciono estas ecuaciones.
entonces
es mayor que
Observa que
, entonces
es solución de la
ecuación.
Observa que ecuación.
es mayor que
, entonces
es solución de la
3
La solución es
= = 4 ó
Ejemplo 3. Solucionar la siguiente ecuación.
| 3 3| = 2
2 2 ≥ 0 2 2 2 2 ≥|033| =≥2 2 3 == 2 2 3 == 2 2 3 = = 2 2 3 = 2 = 2 3 2 = 1 = = = 3 = 2 2 3 = 2 = 22 3 0 = 5 | 33| =−+ 2 = 4 4 ≥ 0 + = 4 ó + = 4 − − 2331 = 4 → 3 3 = 442 1 1 → 3 3 = 8 4 4 → 8 = 4 3 9 = 1 → = 19 2 331 = 4 → 3 37= 4=27 1→ → = 773 =→8 44 = 1→ 8 = 4 3 = = 1 | 3 3| = |2 1| |2 1| Soluciono esta desigualdad y las soluciones que halle deben
cumplirla
Las soluciones deben ser mayores o iguales a
Para
lo que s salga alga del v valor alor absoluto s sea ea
ó
Soluciono estas ecuaciones.
Observa que
entonces
no es mayor que
2
, entonces
no es solución de
la ecuación.
falso
no tiene solución.
Luego no es solución. La ecuación
Ejemplo 4. Solucionar la siguiente ecuación.
salga a del valor absoluto sea 4 Si , continúo el ejercicio. Para que lo que salg
entonces:
soluciono estas ecuaciones
ó
La solución es
Ejemplo5. Solucionar la siguiente ecuación.
, siempre es positiva por ser un valor absoluto. Por lo tanto las soluciones que encuentres son válidas.
3 == 2 1 33 == 222 1 1 1 222==1 3 3 = 24
= 4
4
= = 4
La solución es
ó
I. Soluci Solucionar onar las siguientes sigui entes e ecuacion cuaciones. es. EJERCICIO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
RESPUESTA
= =16835 == 94134 3 3 11 1 1 = 10 = 6 = =12ln = =2 2 = 44 √ 323 2= 0.82 = 2 ||4881| ||= = | 2| 353| | =2 53 452 = 11= 2 4 1 = 2 5 = 3 = 3
|322|2 =|= =576 +−+ = 8 −+−−+ = 3 |−11=| =1
10.
9.
DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO. Cuando el valor absol uto es menor o igual ig ual a una expr expresión esión o número. número . valor absoluto
|∗| ≤ 3 ||5|4|3|543|| ≤≤ 33 ||21|21|| ≤≤ 33 ||01|| ≤≤ 33 ||23|| ≤≤ 33 ||54|| ≤≤ 33
Explicación : Si
∗
nos preguntamos qué valores de cumplen la
desigualdad.
Observa que
|||22|| ≤≤ 33 |1||01| |≤ ≤33 ||12|| ≤≤ 33 || ≤ 3
5
Entonces
∗
debe estar entre menos tres y tres
∞ 3
∗
Como solucionar la desigualdad
|∗| ≤3 ∞ ≥ 0 ln
1. Verificamos la desigualdad
:
Si es una expresión que tiene incógnita se soluciona la desigualdad y esta solución la llamamos
Si es un número mayor o igual a cero pasamos al punto 2. Si es un número menor a cero La desigualdad no tiene solución. 2. Hacemos la rec recta ta n numérica umérica así:
∞
∗
∗ ∗
∞ ln ∗≥ ln ∗≤
Observa que está a la derecha de entonces esta desigualdad y la solución la llamaremos
Observa que está a la izquierda de entonces esta desigualdad y la solución la llamaremos
La solución de la desigualdad Si
•
solucionamos
solucionamos
| ∗ | ≤
:
es una expresión con incógnita es la intersección de las
soluciones Si es un número es la intersección de las soluciones
•
∩ ln ∩ ln l n ln ∩ ln
Ejemplo 1 Solucionar la siguiente desigualdad
=4
Observa que
∞ 4
es mayor e igual a cero
+−
4
+−+ ≤ 4
4≥0
SI
∞
6
+− ≥ 4 +− ≤ 4
De la recta leemos las siguientes desigualdades
y
Solucionamos las desigualdades así:
+− ≥
Primera desigualdad
4 ln
≥ 0
−− ≥ 0 − ++ −−−− ≥ 0 ++− +−: − − − ≥ 0 ++ Cerrado
5 7 = 0 5 = 7 = 75 1 min 2 = 0 = 2 1
Abierto
En
Negativo
Positivo
7 5
La solución de
+− ≥ 4
es la
Segunda desigualdad
→ + = +
lln1 ∞, 75 ∪ 2,2, ∞
+− ≤ 0
2
− − − − −−
Positivo
−
=
así:
− −
=3
≤ 4
+− ≤ 0 l+−+ n +−−−−− +− −− ≤ 0 3 = 9 = −−−
−+ −+ −− ≤ 0
: 33 9 9 = 0 = 3 1 min: 2 = 0 = 2 1 Cerrado
Abierto
7
−+ = 4 −+ −−
Positivo Positivo
Negativo
∞
2+ ≤ 4 ∞, 3 ∪ ∪ [,,∞ ∞ −
ln ∩ ln ∞, ∪ , ∞ ∩ ∞,∪ [,,∞ }
así: así:
2
La solución de dos soluciones.
es la
La solución es
∞
Luego
Negativo
La solución de
−+ − = −− + =
así:
En
es Sln
+−+ ≤ 4
3
∞
intervalo donde están las
∞, ∪ [33,,∞
|2 33| < 4 1 = 44 1 1 ln 4 1 ≥ 0 → 4 ≥ 1 → ≥ ln ,∞
Ejemplo 2 Solucionar la siguiente desigualdad
∞
solucionamos la desigualdad
Observa que
∞
Como la desigualdad es menor que cero entonces:
∞ 4 1 2 3 3 4 1 1 ∞
De la recta leemos las siguientes desigualdades
2 3 3 < 4 1
Solucionamos las desigualdades así:
2 33 > 4 11
y
8
Primera desigualdad
2 3 3 > 4 1 2 4 > 1 3 6 > 2 > > Sln 13 ,∞
∞
∞
Segunda desigualdad
2 3 3 < 4 1− 2 3 3 < 4 1 1 2 4 < 1 3 2 < 4 > − > 2
ln3 2,∞∞
2
∞
La solución es
∞
∞
∞ ∩ ,∞∩ ∞ ∩ 2,2,∞}∞} ln ∩ ln ∩ ln ,∞ así
2 |22 3|3| < 4 1 1 ln 2,∞∞
La solución de tres soluciones.
es
∞
intervalo donde están llas as
9
Cuando el valor abso luto o es mayor o igual a una expresión o número. nú mero. valor absolut
|∗| ≥ 3 ||45|45|| ≥≥ 33 |2|1||3|0213| |≥ ≥33 ||21|| ≥≥ 33 ||43|| ≥≥ 33 |5| ≥ 3 ||5|454|| ≥≥ 33 ∗ |3|3| ≥ 3 ∗ ∞ ∗ 3 3 ∗ | | ≥ ∗ ≥0
Explicación : Si
∗
nos preguntamos qué valores de cumplen la
desigualdad.
Observa que
Entonces debe ser menor que -3 ó
||34|| ≥≥ 33 |5| ≥ 3
mayor que 3
∞
Como solucionar la desigualdad no hay que Verificar la desigualdad , porque una expresión positiva siempre es mayor que una negativa. 1. Hacemos la rec recta ta n numérica umérica así:
∞ ∗
∗ ∗
∗ ∞ ln ∗≥ ln ∗≤
Observa que está a la derecha de entonces esta desigualdad y la solución la llamaremos
solucionamos
Observa que está a la izquierda de entonces esta desigualdad y la solución la llamaremos
solucionamos
La solución de la desigualdad
ln ∪ ln
: Es la unión de las soluciones
| ∗ | ≥
10
+−+ ≥ 3
Ejemplo 1 Solucionar la siguiente desigualdad
+ −
∞
+ −
3
3
∞+− ≤ 3
De la recta leemos las siguientes desigualdades Solucionamos las desigualdades así:
y
l n +− ≤ 3 +− ≤ 0 +−+− ≤ 0 −+ −+ ++− ≤ 0 − −− ≤ 0 2 2: 5 5 = 01 → 2 = 55 → = −−− = min: 1 = 0 → 1 = 1 − −+ −+ = 3 −+ = − − = − Primera desigualdad
:
Cerrado
Abierto
En
Negativo
∞
La solución de
+− ≤ 3 l n +− ≥ 0
Segunda desigualdad
+− ≥ 3
+−+ − − ≥ 0
Luego
Positivo
1
así:
Positivo
es la
1,1,
+−−−−− +− ≥ 0
− −− ≥ 0
:
∞
+− ≥ 3
11
: 4 1 = 0 4 = 1 = 14 1 1mi =n0:1 = 1 + − = 2 − = − − − = Cerrado
Abierto
En
así:
Negativo Negativo
Luego
Positivo Positivo
Negativo
1 −
4
La solución de
1
+− ≥ 3
La solución es
S ln1
ln , 11 1,1, , 1 1
es la
S ln 2
+
así:
∞
∞
La solución de
+−+ ≥ 3 ,11,1, |2 11| > 14
1
es
intervalo de la unión.
Ejemplo 2 Solucionar la siguiente desigualdad
∞ 2 1 14 14 14 14 2 1 ∞
2 1 1 > 14 14
De la recta leemos las siguientes desigualdades
2 1 1 < 1 4
ó
12
Solucionamos las desigualdades así: Primera desigualdad
2 1 1 < 14 14 2ln − ∞ 2 1 1 > 14 14
Segunda desigualdad
:
2 1 1 < 1 4 2 44 < 11 1 > 1 1 ∞ 2 1 1 > 1 4 2 44 > 1 1
ln
6ln> 00,∞∞>
∞
La solución es
∞
La solución de
>0 0 ∞ ln ∪ ln ∞,1} ∪ 0,∞}
así
∞ 0 1 |22 1| > 1 4 ln 0,1 ∪ 1,∞
es
II. II. S Soluc olucionar ionar las siguientes sig uientes desigualdades. EJERCICIO
N° x − 5
2,8 8 2,
3
1. 2 x − 7
RESPUESTA
9
− 1, 8
2.
13
9
5 x − 7 + 4 6
3.
7 − 2 x
9
3 x + 2
+1 3 x
( − , − 1) ( 8, + )
4.
x + 1
− , 14 −2, 2
6.
3 x − 2 6 −
x
7. 1 − 3 x
x +
8. 0 3 x + 5 6 x + 1 9. 2 x − 1
x −
4
2
11.
− 10 4
− 14 , − 6 6 , 14
2
− 5 x 6
( − , − 1 2, 3 6, + )
2
− 17 8
( − , − 5 − 3, 3 5, + )
2
− 3 x − 1
13. x
x
15. x
2
16. x
18. 19. 20.
+ x −
( − , − 2 ) ( − 2,1) ( 3, + )
2
− 3 x − 7
3
( − 2, − 1) ( 4, 5 )
x + 1
2
( − , 0 ) 1, + )
x
x +
3
x −
3
7
x + 1
4
3
x
19 , − 8 5 1, 2
5 − 2 x
x +
24.
( − 4, − 2 ) ( − 1,1 )
x +
23.
2
3
2 x + 5
22.
+ 3 x − 1
3
21.
4
( − , − 1) (1, 2 ) ( 4, + )
3
2
17. x
(− + )
( − 3, − 1) (1, 3)
4
12.
14.
5 , − + 3
2
x
x
,
10. x − 5
32 , +
) − 3, +
3
1 − ,+ 3
5. 3 x − 2
( − ,1 , + 5
1
1
2
4
1
3
4, + )
( − , − 4 ) ( − 2, − 1) ( − 1, + )
− 10,2 6, 3 − − ( )
14
x
25.
x + 1
1 2
1 − 3 ,1
SOLUCIÓN DE EJERCICIOS
Ejercici Eje rcicio o 7.
Solucionar
así:
| 1 1 | = | 1 1 | = → ≥ 04 → ≥ 0 → √ ≥ √ 0 → ≥ 0 1 1 = 1 1 = 1 = 4 → 4 4 = → 4 4 = 0
≥ 0
Las soluciones que encontremos deben ser mayores o iguales a cero. Soluciones:
y
Se solucion soluciona a por fórmula general así:
4 4 4=0 4 = 0 = 1 = 4 = 4 = 44±√ √33222 4
1616 = = 44 2√ 332 2= 0.82 = 4±4 ± 42 1 414 4 = 4±4 ± √ 21616 = 2 = 4.8 −−√ −−√
= = 4.8 −+√ = 0.82 = −+√ 1 = 4 4 4 = 0 = 4 4 0 = 2 2 √ 0 = 2 2 0 = 2 2 → 2 = → = 2
Observa que
no es s solución olución porque es menor que cero
Y
si es solución es mayor que cero.
= 2
Si es solución es mayor que cero.
−+√ = 0.82 = 2 = −+√ |7 2| > 9
La solución es
Ejercicio 4.
∞
y
7 2 9 9 7 2
∞
15
7 2 < 9 7 2 > 99 7 2 < 9 → 2 < 1616 → > −− → > 8
Soluciono las siguientes desigualdades soluciones se unen así: Solución 1:
y
; estas
∞ 99 7∞ 2 > 22
Solución 2:
∞
1
∞
Vamos a unir las dos soluciones así:
∞
∞,1 ∪88,8, ∞ ∞ |3362|2| ≤ 6 6 ≥ 0 → 1 ≥ 6 → ≤ −−− → ≤ 6 1
La solución es
Ejercicio Ejercici o7.
Debemos hallar tres soluciones porque es e intersectarlas así:
menor o igual a Solución uno
S ln 1
:
∞6
∞ ∞ 6 3 2 6 ∞ 3 2 ≥ 6 −− 3 2 ≥ 6 3 ≥ 6 2 2 ≥ 4 ≥ ≥ 2 6
Como la desigualdad es menor o igual a
Solución dos
S ln 2
:
16
∞
Solución tres
S ln 3
∞
2
:
43≤82 ≤≤ 6 ≤ 2 3 2 2 ≤ 6 3 ≤ 6 2
∞
2
∞
Intersectamos las soluciones así:
∞
2
2
6
[ 2,2] |13 1 3| > 3
La solución es:
Ejercicio Ejercici o8.
∞
Debemos halla hallarr dos s soluciones oluciones y unirlas porque
es mayor que cero así:
∞ 13 13ln 33 33 13 13 ∞ 13 < 3 −3 1 3 < 3 3 < 3 1 2 < 4 > − > 2
Solución uno
:
∞
ln
:
2
Solución dos
∞
17
13 13 > 3 3 1 3 > 3 3 > 3 1 4 > 2 < − <
∞
∞
Unimos las soluciones así:
∞
2 ∞ ∞, ∪ 2,2, ∞ | 5|5| ≥ 6 ∞ 5 6 5 ∞ l n 5 ≤ 6 5 6 ≤ 0 5 5 6 6
La solución es:
Debemos hallar d dos os soluciones y unirlas porque Ejercicio Ejercici o o13. es mayor igual que seis así:
Solución uno
6
:
Factorizamos a
así:
→5 632 = = 3222 3 3 ̅5
3 3 2 2 ≤ 0 32 == 00 →→ == 32
La desigualdad queda así
y se soluciona:
Un número mayor que se lleva a
seleccionamos el
3 3 2 2 = (4 3)()(3 4 2) = 33 =2 2
así:
4
18
Negativo
Positivo
Positivo
ln∞ = [2,2,3] 2
3
l n 5 ≥ 6 5 6 ≥ 0 5 5 6 6 5 6 = = 1 1 6 6 Solución dos
∞
:
Factorizamos a
así:
→ 6 6 → 1 ̅51
1 1 6 6 ≥ 0 1 = 0 → = 1 6 = 0 → = 6 2 2 6 3 3
La desigualdad queda así
y se soluciona:
Un número mayor que se lleva a
1 1 6 6 = ( 7 1)()(7 6) = =
seleccionamos el
Negativo
Positivo
∞
ln ∞,1] ∪ [6.6. ∞
Positivo
6
1
∞
1
La solución es
6
∞, 1] ∪ [2,2,3] ∪ [6,6, ∞
Unimos las soluciones así:
∞ 2 3
∞
7
así:
19
Ejercicio Ejercici o 16.
| 4 4| > 2
Debemos hallar dos soluciones y unirlas
porque es mayor que dos así:
Solución uno
:
4 0 6 → 6 2= 323 2 2 → 3 3 ̅ 33 2 2 > 0
Solución dos
:
Factorizamos a
así:
La desigualdad queda así
y se soluciona:
así
20
3 = 0 → = 3 2 = 0 → = 2 2 3 3 2 2 3 (3 3)(3 2) = = =
Un número mayor que se lleva a
seleccionamos el
así
Negativo
Positivo
∞
∞ 3
La solución es
Ejercicio Ejercici o 22.
2
3
ln ∞,33 ∪ 2,2, ∞
Positivo
2
+++ > 1
∞
∞, 3 ∪ 2,1 ∪ 2,2, ∞
Unimos las sol soluciones uciones así:
1
2
∞
Debemos hallar dos soluciones y unirlas porque es
mayor a uno así:
1
+∞ < +−1 ln+ 1 < 0 1 ++−+− < 0 ∞ − − − + ++− < 0 − − < 0 : 3 4 = 0 3 = 4 = min: 1 = 0 → = 1 Solución uno
:
21
1
Un número mayor que se lleva a
(322 14) = =
Negativo
1
así:
Positivo
∞ ln = 43 , 11
seleccionamos el
Positivo
2
+ −−
∞
l n + − > 1 +− 1 > 0 +−−− > 0 + + +−+ > 0 − − > 0 : 6 =n0:→ = 6 mi 1 = 0 → = 1 ++ 1 −− 2 Solución uno
:
Un número mayor que se lleva a
((22 61)) = =
seleccionamos el
así:
Positivo
∞
Negativo
ln ∞,6 ∪ 1,1, ∞
Positivo
1
6
La solución es
1
∞
∞, 6 ∪ , 1 ∪∪ 1,1, ∞
Unimos las sol soluciones uciones así:
∞ 6
∞
22
Ejercicio Ejercici o 22.
++ 0 > > 0 ++ + > 0 > 0 : 4 12 = 0 4 = 12 = 3 min: 3 = 0 = 03 = 0 + + (+) = ++ = Solución uno
:
Un número mayor que cero se lleva a
elegimos
el uno:
Negativo
Positivo
∞
3
Positivo
0
Solución dos
:
++−− < 0
l+n ∞,l33n ∪+0,0, ∞ < < 0 + +− < 0 < 0
∞
: 2mi 12n=:0 2 = 12 = 6 3 = 0 = 03 = 0
23
Un número mayor que cero se lleva a
2(311)12 = = Positivo
Negativo
elegimos el uno:
∞ 6 ln 6,0
+
0
Positivo
∞
Intersectamos las soluciones así:
∞
La solución es
3
6 6,6, 3
0
∞
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