Taller de Estadística Descriptiva.

 

Taller de estadística descriptiva Integrantes: Andrea Noguera, Rosa Rodríguez, Maryuris Severiche, Luis Valbuena. 7.24.La variable aleatoria discreta X tiene solamente dos valores posibles 1 y 2, además 1 < 2.

La probabilidad de que X tome el valor

1

es igual a 0.3. Halle la ley de distribución de X,

conociendo conociend o la esperanza (X) = 5,40 y la varianza (X) = 0.84. (X2) 

1 

(X)  0.30 

(X)  0.301  

0.302 1 

2 

2  

 2 2  

22 2 

X

∑(X) = 1

0.30 + 2 = 1.00 2 = 0.70 (1)

(X) = 5.40 ∑i × i = 5.40  0.301 + 22 = 5.40 (2)

(1) en (2) 0.301 + 0.702 = 5.40 (3)

(X) = 0.84 (X2) − (X)2  = 0.84  0.302 + 22 − (5.40)2  = 0.84  1

2

Reemplazando (1) 0.302 + 0.702  − 29.16 = 0.84 1

2

0.30  + 0.70   = 30 1 

(4)

2

Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones Resolviendo ecuaciones (3) y (4) se tiene 1 = 4.80 , 2 = 6 Por tratarse de una variable discreta toma 2 = 6.Reemplazando 6.Reemplazando en (2) se tiene: 1  = 4  Finalmente Finalmen te la ley de distribución de probabilidades es: X  (X) 

4 0.30

6 0.70

 

7.37. 

Una compañía compañía de productos químicos químicos en la actualidad tienen existencia existencia 100 100 lb de un producto químico, el cual se vende a sus clientes en lotes de 5 lb. Sea X el número de lotes solicitados por un cliente seleccionado al azar y suponga que X tiene la función masa de probabilidad. a. Calcule (X)    (X).  i 

i 

i × i 

i × ,i −  ()-2  

1 2

0,20 0,40

0,20 0,80

0,34 0,04

3

0,30

0,90

0,15

4

0,10

0,40

0,29

∑= 

1,00

2,30

0,81

b. Calcule el número esperado de libras que quedan una vez que se envía el pedido del siguiente

cliente y la varianza del número de libras sobrantes. [Sugerencia: El número de libras que quedan es una función lineal de X]. Sea  el número de libras que queda en bodega una vez que se envía el pedido, entonces  = 100 − 5X; por lo tanto: El valor esperado de una función lineal está dado por: (X + ) = (X) +   Valor esperado de las libras sobrantes: () = (100 − 5X) () = 100 − 5(X) () = 100 − 5(2.30) = 88.50 Libras La varianza de una función lineal está dado por:

(X + ) = 2 × (X) La Varianza del número de libras sobrantes:

() = (100 − 5X)  () = (5)2 × (X)  () = 25 × 0.81 = 20.25 i² 8.21.

Si el 20% de los cerrojos cerrojos producidos producidos por una máquina son defectu defectuosos, osos, determinar la probabilidad de que de 4 cerrojos elegidos al azar: a. Un cerrojo sea defectuoso, b. Dos cerrojos sean defectuosos c. más de dos cerrojos sean defectuosos. R: 0.41; 0.15; 0.0272

;  → (4,0.20); () = (, ) ×  × −  Variable Aleatoria :  j  ƒ  a. Exactamente 1 cerrojo defectuoso;  = 1

 

( = 1) = (4,1) × (0.20)1 × (0.80)3 = 0.41 b. Exactamente 2 cerrojos defectuosos;  = 2

( = 2) = (4,2) × (0.20)2 × (0.80)2 = 0.15 c. Más de 2 cerrojos ce rrojos defectuosos;  > 2

( > 2) = (  = 3) + ( = 4) ( = 3) = (4,3) × (0.20)3 × (0.80)1 = 0.0256 ( = 4) = (4,4) × (0.20)4 × (0.80)0 = 0.0016 ( > 2) = 0.0256 + 0.0016 = 0.0272 8.31. Dos vendedores tienen el 20% de posibilidades de cerrar una venta con un cliente

cualquiera. Si el primero llama a cinco clientes y el segundo a ocho: o cho: a. Cuál es la probabilidad de que el primer vendedor haga menos de 3 ventas. b. Cuál es la probabilidad de que el segundo vendedor haga más de 5 y menos de 8 ventas. c. Cuál es la probabilidad de que entre los dos vendedores no se haga ninguna venta. R: 0.9421; 0.0012; 0.055 Evento aleatorio : vendedor A cierra una venta,  → ( 5; 0.20) Evento aleatorio : vendedor A cierra una venta,  → ( 8; 0.20) a. Probabilidad de que el primer vendedor haga menos de 3 ventas,  < 3

( < 3) = (  = 0) + ( = 1) + ( = 2) ( = 0) = (5,0) × (0.20)0 × (0.80)5 = 0.3277 ( = 1) = (5,1) × (0.20)1 × (0.80)4 = 0.4096 ( = 2) = (5,2) × (0.20)2 × (0.80)3 = 0.2048 ( < 3) = 0.3277 + 0.4096 + 0.2048 ( < 3) = 0.9421 b. Probabilidad de que el segundo vendedor haga más de 5 y menos de 8 ventas, 5 <  < 8

(5 <  < 8) = ( = 6) + ( = 7) ( = 6) = (8,6) × (0.20)6 × (0.80)2 = 0.0011 ( = 7) = (8,7) × (0.20)7 × (0.80)1 = 0.0001

 

(5 <  < 8) = 0.0011 + 0.0001 (5 <  < 8) = 0.0012 c. Probabilidad de que de que entre los dos vendedores no se haga ninguna venta,  = 0,  = 0

Probabilidad de que Vendedor A no haga ninguna venta,  = 0

() = (, ) ×  × −  ( = 0) = (5,0) × (0.20)0 × (0.80)5 = 0.3277 Probabilidad de que Vendedor B no haga ninguna venta, v enta,  = 0

() = (, ) ×  × −  ( = 0) = (8,0) × (0.20)0 × (0.80)8 = 0.1678

,( = 0)  ( = 0)- = ( = 0) × ( = 0) ,( = 0)  ( = 0)- = 0.3277 × 0.1678 ,( = 0)  ( = 0)- = 0.055 8.32.  Repetidas estadísticas realizadas en todo el mundo han dado origen a la distribución de

probabilidad del sexo del recién nacido: nacido: p(mujer)=0.48 y p(hombre)=0.52. p(hombre)=0.52. Si un matrimonio tiene 4 hijos calcule la probabilidad: a. De que todos sean varones. b. De que al menos haya una chica. c. Encuentre el número esperado de hijos varones y la varianza. R: 0.0731; 0.9269; 2.08; 0.9984 Evento aleatorio : hijo varón,  → (4; 0.52) () = (, ) ×  × −  a. Probabilidad de que el matrimonio tenga 4 hijos varones, var ones,  = 4

( = 4) = (4,4) × (0.52)4 × (0.48)0 = 0.0731 ♦  Evento aleatorio : hija mujer,  → (4; 0.48) b. Probabilidad de que al menos haya una chica  ≥ 1 () = (, ) ×  × − 

( ≥ 1) = 1 − ( < 1) ( ≥ 1) = 1 − ( = 0) ( = 0) = (4,0) × (0.48)0 × (0.52)4 = 0.0731 ( ≥ 1) = 1 − 0.0731 ( ≥ 1) = 0.9269 c. Encuentre el número esperado de hijos varones y la varianza.

 

  () =  =  ×  = 4 × 0.52 = 2.08 () = 2 =  ×  ×  = 4 × 0.52 × 0.48 = 0.9984 9.27. Un complejo industrial produce pernos con un diámetro promedio de 0.51 mm y una

estándar de 0.01 mm si la l a distribución de los diámetros es aproximadamente normal, ¿Qué porcentaje de la producción total tiene diámetros dentro del intervalo de 0.49 a 0.53 mm? R: 95,45% Variable aleatoria:  → Diámetro de un perno (mm)

 → N (0.51; 0.01)

(0.49 <  < 0.53) =?

   −   0.49 − 0.51 = = −2.00 0.01   (11.90 <  < 12.10) = 0.9545 = 95.45%

  =

 =

   −   0.53 − 0.51 = = 2.00 0.01  

9.33. La temperatura en el mes de junio en la ciudad de Guayaquil sigue una distribución normal

con media 24.3 °C y desviación estándar 2.4°C; determine la probabilidad de que en el mes de  junio, en la ciudad ciudad de Guayaquil, se presenten temperaturas: a. Mayores a 26 grados. b. Menores a 20 grados. c. Entre 22 y 28 grados. d. Entre 18 y 22 grados. e. Entre 28 y 30 grados. R: 0.2388; 0.0367; 0.7697; 0.1643; 0.0531 Variable aleatoria:  → Temperatura en el mes de junio en la ciudad de Guayaquil (°C) a.  x → N(24.3; 2.4)   P(x > 26) = ?    −   26 − 24.3  = = = 0.71   2.4

 

 

( > 26) = 0.2388 b.  x → N(24.3; 2.4)  

 =

 −  

=

20− 24.3

 

P(x < 20) = ?

= -1.79

 

2.4

(  < 20 ) = 0.0367 c. x → N(24.3; 2.4)  

1  =  

1  −    

=

P(22 < x < 28) =?

22 − 24.3 2.4 

(22 <   < 28) 28 ) = 0.7697

= −0.96

 

2  =  

2 −    

=

28 − 24.3 2.4 

= 1.54

 

 

 

d.  x → N  N((24.3; 2.4) 2.4)

P(18 < x < 22) 22) =?

  =  −   = 18 − 24.3 = −2.63    1

2.4 

 

2  =  −   = 22 − 24.3 = −0.96   

2.4 

 

(22 <   < 28) 28 ) = 0.1643 e. x → N (24.3; 2.4)

1  =  

 −    

=

P(28 < x < 30) =?

28 − 24.3 2.4 

= 1.54

 

2  =  

 −    

=

30 − 24.3 2.4 

= 2.38

 

(22 <   < 28 ) = 0.0531

9.34. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal

con media de 7000 horas y desviación típica de 600 horas. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5750 horas? b. ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres?

 

c. Si se hace el uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera Independiente. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de que tres sig sigan an funcionando después de 7000 horas? R: 0.0187; 6013; 0.125

Variable aleatoria:  → Duración de un láser semiconductor (horas) a.  → N(7000; 600)

( < 5750) = ?

 =  −  = 5750 − 7000 = −2.08  

600

( < 5750) = 0.0187 ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres? Para el 95% de probabilidad, el valor tipificado  está dado por:

b. Como se trata de acumular más del 95% el valor tipificado debe estar a la izquierda, por lo tanto es negativo; es decir: z = −1.645  Tomando  = −1.645, el gráfico de la distribución normal es:

 

  Reemplazando en la expresión tipificada se tiene:

 =

 −    

−1.645 =  − 7000

600

 = 6013 horas c. x → N(7000; 600) 

P(x > 7000) =

 =  −  = 7000 − 7000 = 0.00

    

600

Evento A B C

Descripción Láser sigue funcionando después de 7000 horas Láser sigue funcionando después de 7000 horas Láser sigue funcionando después de 7000 horas

Probabilidad de ocurrencia 0.50 0.50 0.50

A, B, C eventos independientes Evento D: los tres láseres seleccionados siguen funcionando después de 7000 horas.

(   ) = (       ) (   ) = (   ) × () × () () = 0.50 × 0.50 × 0.50 = 0.125

 

9.38. El 80% de los integrantes de un grupo de personas tienen menos de 30 años. Sabiendo que la

edad media del grupo es de 24 años, calcule su desviación típica. R: 7.13  >x0.80)   P(x P(x >x0.80) X=24 M=30 σ=? =?  

80%=0,8 El valor Z=0,8 en la tabla de distribución es de Z=0,7881 Z = (x – μ) / σ  σ = (x – μ) / z  z  σ = (30-24) / 0,7881  0,7881  σ = 7,631  7,631 

24

30

LA DESVIACION TIPICA ES DE 7,631 R/ 7,631

10.15. En una ciudad una de cada tres familias posee conexión de televisión por cable. Si se eligen

al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya entre 40 y 50 familias que tengan conexión de televisión por cable. R: 0.0105

 

N= 90 P=1/3 Q=2/3 P(X>40) P(X >40) P(X