Taller de Derivadas Gr6y12

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA MATEMATICAS I - GRUPO 6 , 12 TALLER DE DERIVADAS Profesor: Andrés M. López B.

1. Dibuje la grá…ca de y = x2 . Escoja Escoja un punto punto (x; y) y trace la recta que pasa por ese punto y el punto de coordenadas x2 ; 0 . Qué puede decir de la recta? Pruebe analíticamente su observación. 2. Sean f ( f (x) =

(

x sen x1 ; 0;

x =0 x =0

6

  (

y

g (x) =

x2 sen x1 ; 0;

x =0 x =0

6

Pruebe que f  es continua, pero no derivable, en x = 0. Demuestr Demuestree que g es derivable en 0 y calcule g0 (0). (0). 3. Considere Considere la función función x + b si x < 0 f (x) = sin x si x 0 ¿Existe algún valor de b para el cual f  es continua en x = 0? Si la la respue respuesta sta es positiv positivaa , para para tal b, determ determine ine si f  es derivable en x = 0;dibuje la grá…ca de f  e interprete geométricamente.





4. Considere Considere la función función 2x + b si x < 0 g(x) = sin x si x 0 ¿Existe algún valor de b para el cual g es continua en x = 0? Si la respuesta es positiva , para tal b, determine si g es derivable en x = 0; 0 ;dibuje la grá…ca de g e interprete geométricamente.





5. Una nave viajera del espacio se mueve de izquierda a derecha a lo largo de la curva y = x2 . Cuando Cuando apague sus máquin máquinas, as, se alejará alejará a lo largo largo de la línea tangen tangente te en el punto donde esté esté en ese momento. momento. ¿En qué punto punto debe apagar las máquinas para alcanzar el punto (4; (4; 15)? 15)? (Purce (Purcell ll)) 6. Determin Determinee

dy dx

para:

a. y = x sin x + tan x b. y = sinx x c. y = x2 sec x + tan x d. y = 2 cot x e. y = 1sincosx x f. y = x sin x cos x g. y = x csc x

p 

p 

7. Pruebe que las las curvas curvas y = 2sin x y y = 2cos x se intersectan en ángulo recto en un punto (a; b) tal que 0 < a < 2 . 8. Sea

8< :

x3 x x2 +x

si x < 1 f ( f  (x) = 0 si x = 0 1 x si x 1 Determine los puntos en los cuales la función es discontinua y los puntos en los cuales no es diferenciable. Trace la grá…ca de la función.





1

p x csc x

9. Deduzca la fórmula general para la derivada n–ésima de cada de las siguientes funciones: 1 x;

(a) f (x) =

x= 60 p  (b) f (x) = x; x  0 10. Sea f (x) = x3 + 3x + 1. (a) Halle f (1), f 0 (1), f 00 (1), f 000 (1) (b) De…na a0 = f (1), a1 = f 0 (1), a2 = f 00 (1), a3 = f 000 (1) y g (x) = a0 + a1 (x 1) + a2 (x 1)2 + a3 (x 1)3 . Compare f (x) y g (x). ¿Qué puede decir de la función f  dada originalmente?







11. En cada caso, halle la derivada de la función: 2

  p p  p  x+1 x1

f (x) = f (x) =

3

f (x) =

x+

4

f (x) = (x

x

f (x) = (x + 1) sin(x

p 

f (t) = t

1+ sin x x

f (x) =

 3)3(x + 2)4 p  t2 + t2 + 1 p  1 + tan x

x2 1 x) f (x) = 1+sin(cos cos(sin 3x)

 1)

f (x) = (7

d y du 2  ddxu + du dx d y dy d u d y d u du d y dx = du  dx + 3 du  dx  dx + du d2 y dx2

=

dy du

3

(b)

2

2

2

2

3

3

2

3



3

2

2

2

3

f (x) = csc2 (x2 + 1)3



du 3 dx



d2 dx2 ((f 

 g)(x)) d dx ((g  f )(x)) 2

b)

2

14. En cada caso x y y denotan funciones de t. Halle

(c) (d)

x2 4

(b)

15. Halle

3

x , cuando x = 8, sabiendo que



+

dy dx

dy dt

p  2

dx dt = 3 xy = 9, cuando x = 2, sabiendo que dx dt = 6 y = 7x3 2x, cuando x = 7, sabiendo que dx dt

(a) y =

y2 9



= 1, cuando x = 1, y =

p 

3 2

1 2

, sabiendo que

derivando implicitamente

a) y = sin(xy) b) y = sec(xy) c) cos x = x(1 + cot x) d)(sen + cos y)2 = 2 e) x = sec y1 f) y = tan(cos xy)

2

=

f (x) = 4(x2

f (x) = sin(x3 ) + cot(2x) f (x) =

13. Sean f (x) = x3 y g(x) = (x + 1)2 Calcule: a)

f (x) = 2x 1 + x + x2

p  2 f (x) = 2(x+1) x +1

12. Si y = f (u) y u = g(x) Demuestre que (a)

p 

 x3)2=3

dx dt

=3



 1)3 sin3 (x2 )  x2

q 

16. Halle

dy dx

por derivación implicita y calcule la derivada en el punto indicado. 2

4 a) y 2 = xx2 +4 ; (2,0)  c) x sen 2y = 1; (2, 12 )

17. Muestre que las curvas 5y se cortan en ángulo recto.

b) tan(x + y) = x; (0,0) d) (x + y)3 = x3 + y3 ; (-1,1)

 2x + y3  x2y = 0

y 2y + 5x + x4

 x3y2 = 0

18. Halle en que puntos de la curva x3 + 3xy + 2y2 + 4y = 1 en los cuales la tangente es horizontal o vertical. 19. Sea x2 + y 2 = r2 . Muetre que

y

00

=2

(1+(y )2 )3 0

=

1 r

p 

20. Si x = tan y; Muestre que: x2 + 1

21. A partir de d2 x dy2

dx dy

=

1 y

0

dy =2 dx

00

=

0

3

00

3

(b)

 

deduzca que:

 (yy ) 3(y ) y y d x dy =  (y )

(a)

d2 y + 2x x2 + 1 dx2

2

 

3

2

0

0

000

5

22. Encuentre la derivada de: (a) f (x) = f (x) = 23. Halle

dy dx

  p 

2 arcsec (3x ) p  2 arcsen ( x)

3=2

 

arccot 3 (x2 ) arccos 3 (x1=3 )

1=4

derivando implicitamente

(a) y2 sin x + y = arctan x (b) y arcsen

p x + 1 = y2x  1

24. Un punto se mueve sobre la grá…ca de la función y = f (x) de modo que dy dx dt = 2cm=s. Halle dt para los valores dados de x (a) y = sen x, x = (b) y =

1 1+x2 ,

 6

yx=

x=0yx=

 2

2

25. Halle la razón de cambio del volumen de una esfera con respecto a su radio y compárela con el área de la super…cie de la esfera.

3

26. La ley de gravitación de Newton dice que la magnitud F  de la fuerza ejercida por un cuerpo de masa m sobre un cuerpo de masa M  es: F  =

GmM  r2

en donde G es la constante gravitacional y r es la distancia entre los cuerpos. Suponga que los cuerpos están en movimiento. Halle la razón de cambio de F  con respecto a r. 27. Una pista atlética tiene forma circular (centro en un punto C ) y su radio es de 50 mts. Un atleta corre por el borde de la pista y un juez lo va a cronometrar desde un punto de partida A. Si el atleta está en un punto B, ¿con qué velocidad crece el área del triángulo ACB , cuando el ángulo central es de 4 Cuando es de 3 ? 28. Una escalera de 10 metros de longitud está apoyada sobre una pared. Su base desliza por el suelo a razón de 20 cm/s.Determine: (a) la rapidez con que está bajando su extremo superior cuando la base se halla a 4 metros de la pared. (b) la rapidez con que cambia el área del triángulo formado por la escalera, el suelo y la pared, cuando la base está a 6 metros de la pared. (c) la razón de cambio del ángulo formado por el piso y la escalera, cuando la base está a 6 metros de la pared. (d) la aceleración del extremo superior de la escalera cuando su base está a 6 metros de la pared. 29. Una cubeta con 10 galones de agua comienza a gotear en el instante t = 0; el volumen V  de agua en la cubeta t segundos más tarde está dado por 2

 

V (t) = 10 1

t 100

hasta que la cubeta se vacía en el instante t = 100. (a) ¿A qué razón sale el agua de la cubeta después de un minuto? (b) ¿En qué instante son iguales la razón de cambio instantánea de V  y la razón de cambio promedio de V  de t = 0 a t = 100? (Edwards) 30. Una persona de 1 m 80 camina hacia un edi…cio a razón de 1:5m=s: Si hay una lámpara sobre el suelo a 15m del edi…cio, con qué rapidez se acorta la sombra de la persona cuando se encuentra a 9m del edi…cio? (Leithold)

4

31. Una mujer en un muelle tira de un bote a una velocidad de 15m=mn usando una soga amarrada al bote al nivel del agua. Si las manos de la mujer se hallan a 4:8m por arriba del nivel del agua, con qué rapidez se aproxima el bote al muelle cuando la cantidad de cuerda suelta es de 6m? (Protter) 32. De un embudo cónico sale agua a razón de 1cm3 =s, sabiendo que el radio de la base es de 4:5cm y la altura es de 9cm. Calcule el descenso del nivel en la unidad de tiempo en el instante en que la super…cie libre se encuentra a una distancia de 8cm de la base del embudo. 33. De acuerdo con la ley de Boyle, si la temperatura de un gas permanece constante, su presión es inversamente proporcional a su volumen. Use la derivada para demostrar que el ritmo de cambio de presión es inversamente proporcional al cuadrado del volumen. 34. Un edi…cio de 60 metros de altura proyecta una sombra de 80 metros sobre el suelo. Si el ángulo que forman los rayos del sol con el suelo disminuye a razón de 15o por hora, con que rapidez aumenta la longitud de la sombra? 35. La velocidad de un meteorito que penetra en la atmósfera de la tierra es inversamente proporcional a s, donde es s la distancia que lo separa del centro de la tierra. Pruebe que su aceleración es inversamente proporcional a s.

p 

36. Si un objeto cae desde una altura h, medida en metros, t segundos después de iniciar la caida su distancia a la tierra está dada, en metros, por s(t) = 4:9t2 + h: A un obrero de la construcción se le cae una llave inglesa desde una altura de 50 metros y grita ”cuidado ahí abajo”. Cuánto tiempo deberá permanecer apartada de la trayectoria de la llave una persona en el suelo? A qué velocidad la llave tocará el suelo? (Larson).



37. Demuestre que las ecuaciones paramétricas x = x1 + t (x2 x1 ), y = y1 + t (y2 y1 ) representan la ecuación de una recta que pasa por los puntos (x1 ; y1 ), y, (x2 ; y2 )





38. Obtenga (a) x =

dy d2 y dx ; dx2

en cada uno de los siguientes casos:

3at 1+t2 ,

(b) y = t + cos t;

y=

3at2 1+t2

x = 1 + cos t  3

 

39. Halle los puntos de la elipse dada por x = 2 sin t + que posean tangente horizontal. 40. Hallar en cada caso la primera derivada: a. y = ex+ax d. y = log5 (sin x)

b. y = e(1=(1+x)) e. y = ln 5

  ex 1 ex +1

 3

 

e y = 2 cos t

p 

c. y = ln 1 + x f. y = ex cos x

p x

x

h. y = (arctan x)x

g. y = x x x2

2

 j. y = earctan

2

i. y = 22 + 2x +

(x2 )

41. Deducir las siguientes desigualdades: a. ex > 1 + x; x > 0

b. ln(1 + x) > x

2

 x2 ;

x> 0

42. Deducir las siguientes identidades

p x2 + 1 para todo x p  x + x2  1 ; x  1

 

 

(a) arcsinh x = ln x + (b) arcosh x = ln 43. En cada caso halle a. c. e. g. i.

dy dx

2

y = e2x+x xey 10x + 3y = 0 arctan xy = ln x2 + y 2 3y x2 + ln xy = 2 y2 + ln xy 4x + 3 = 0

 

  p   

b. d. f. h.

y = ex (sin x + cos x) exy + x2 y 2 = 10 x xy = k; k es constante. x ln y y ln x = 1





44. Usar el polinomio de Taylor de grado 4 alrededor de de c = 0, para calcular aproximadamente el valor de ln(1; 2): Estimar el grado de precisión en la aproximación 45. Utilizar el polinomio de Taylor de grado 3 alrededor de de c = 0, para calcular aproximadamente el valor de cos(182): Estimar el grado de precisión en la aproximación. 46. Ordenar en potencias de (x

 2) el polinomio f (x) = x3 + 4x2  5x + 8

47. Encuentre el polinomio de Taylor con residuo para los valores dados de a y n: a. f (x) = ln sin x ; a = 6 , n = 3 c. f (x) = tan x; a = 4 , n = 4 e. f (x) = ln(x + 1); a = 0, n = 4

b. f (x) = (x11)2 ; a = 2, n = 3 d. f (x) = xex ; a = 1, n = 4



48. Use el polinomio de Taylor para estimar con exactitud de cuatro cifras 2x decimales sin2 (43o ). (Sugerencia: Use sin2 x = 1cos ) 2 49. Sea f (x) = 2(1

 x)1.

Demostrar que: f (n) (x) = 2 n! (1



 x)(n+1)

50. Sea f (x) = sen x, donde   denota una constante. (a) Calcule las cuatro primeras derivadas de f: (b) Veri…que que la función y su segunda derivada satisfacen la ecuación f 00 (x) +  2 f (x) = 0:

6

(c) Usando los resultados del punto a), esriba fórmulas generales para las derivadas pares y para las impares f (2k) (x) y f (2k1) (x) 51. Sea f (x) = 2(1

 x)1.

Demostrar que:

f (n) (x) = 2n! (1

 x)(n+1)

52. Halle los valores extremos de las funciones: 3x a. f (x) = 9 b. f (x) = x x2 ; en el intervalo ( 3; 2) intervalo (0; 8] 2 si x = 5 c. f (x) = ; en el intervalo [3; 5] x 5 2 si x = 5

j  5j + 1;



(

en el

6



53. En cada caso halle los intervalos donde la función es creciente a. f (x) = (x 2)2 (x 1) b. f (x) = x2=3 (x 5) c. f (x) = 5 d.

  x2  3x  4 f (x) = x2

g. f (x) =



e. f (x) = x +

x + cos x 2

1 x

f. sin x cos x

h. f (x) = sin2 x + sin x

i. f (x) =

54. En cada caso halle los extremos relativos y los puntos de in‡exión  3 a. f (x) = x (x 4) b. f (x) = sec(x ); 0 < x < 4 4 c. f (x) = x x + 1 d. f (x) = 2sin x + sin 2x; 0 x 2

p 



 

55. Explique por qué la función polinomial cúbica f (x) = ax3 + bx2 + cx + d con a = 0, puede tener dos, uno o ningún punto critico en R. De ejemplos que ilustren los casos.

6

56. Determine las constantes a y b para que la función f (x) = x3 +ax2 +bx+c tenga: (a) Máximo relativo en x =

1 y mínimo relativo en x = 3

(b) Mínimo relativo en x = 4 y punto de in‡exión en x = 1. 57. Hallar el único punto de in‡exión de: x

y = aa ; siendo a = 1; a > 0:

6

58. Estudiar la concavidad y los puntos de in‡exión de: a. y = xex 2 2 c. y = a eb x

b. y = ex d. y = lnxx 7

 j x  5j

cos x 1 + sin2 x

59. Hallar los máximos y los mínimos absolutos de la función dada, en el intervalo indicado: a. f (x) = 2x3 x2 + 2; [ 2; 1] b. f (x) = cos x x; [=2; 2] x c. f (x) = x+1 ; [ 1=2; 1] d. g(x) = x + x1 ; [ 1=2; 2] 2t e. g(t) = 3t 2t ; [ 2; 1]















60. Halle las dimensiones del cono circular recto de máximo volumen que puede inscribirse en una esfera de radio dado. 61. Encuentre las dimensiones del mayor rectángulo que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado a, de manera que dos de sus vértices estén en un mismo lado del triángulo. 62. Encuentre el rectángulo de área máxima que tiene dos vértices sobre el eje de X  y los otros dos en la parte de la parábola f (x) = 6 x2 que esta en el semiplano superior.



63. En cada caso determinar los intervalos donde la función es creciente y donde es decreciente. Hallar los máximos y mínimos relativos de la función. Dibujar su grá…ca. a. f (x) = x4 + x3 3x2 + 1 3 c. f (x) = x x+1 2 e. f (t) = 2sin t + sin 2t; 0 t 2 12 (x + 5)2 si x < 3 5 x si 3 x g. h(x) = 100 (x 7)2 si 1 <  >: q  

 



 

   1   17



64. En cada caso determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y los intervalos donde es cóncava hacia abajo. Hallar los puntos de in‡exión y dibujar la grá…ca. a. y = x4 8x3 3 c. y = x2x+12 e. y = sin x sin2x

b. y = x2=3 (1 x) d. y = 3 x + 2



p 



65. Decidir en cada caso si es aplicable el teorema del valor medio. En los casos a…rmativos hallar los valores posibles de c: b. F (t) = t+3 t3 ; [ 1; 4] d. g(x) = x3 x2 x + 1; [ 1; 2]

a. f (x) = x2 + 3x 1; [ 3; 1] c. h(x) = x2=3 ; [0; 2]





  



66. Determinar a;b;c;y d de tal forma que f (x) = ax3 + bx2 cx + d tenga un máximo relativo en (0; 3) y un punto de in‡exión en (1; 1)



T  67. La ecuación E  = (x2 +a da la intensidad de campo eléctrico en el eje 2 )3=2 de un anillo uniformemente cargado, donde T  es la carga total del anillo y a su radio. ¿Para qué valor de x es máxima E ?

8

  4

68. Halle extremos, intersecciones con los ejes y asíntotas y trace la grá…ca de cada una de las siguientes funciones: a. y =

x x2 4

3

c. y = p xx2 4

b. xy2 = 4

69. Calcular los siguientes límites o comprobar su valor: ex 1 a x a. lim b. lim 1 + = ea x!1 x!0 sin x x x x x 1 1 c. lim d. lim 1 + =e x!1 x + 1 x!1 x x+3 x+3 ln (1 + x) e. lim = e4 f. lim x!1 x x!0 1 x ax 1 1= g. lim (1 + ) =e h. lim 1 + = ea x!1 !0 x

 

h i  

    

 

70. Evaluar los siguientes límites si existen: x sin x x cos x sin x a. lim b. lim 3 x!0 x!0 x x tan x x x sin x d. lim e. lim x!0 x x!0 sin x x5=3 1 sin x g. lim (1 + x)cot x h. lim x!0 x x2 x!0+





 j. lim

1

x!0

m.









 cos x

k. lim x n.

p. lim [1 + x]1=x

q.

x (cos x 1) sin x x tan x 2 1 v. lim x 2 x!0 x x arctan x y. lim x!0 x 1 + x2 x x!0

  

  p 

t. w.

17cos2x lim x! 1 sin x sec2 x lim 2 x!(=2) sec 3x 1 1 lim x x!0 x e 1 2 (arctan x) (=4)2 lim x!1 x 1









  p  

lim

x!



x p sin x

ln(2 + ex ) x!1 3x arcsin x i. lim x!0 x f.

l.

x!0

lim tan xx x!0 xsin x

s. lim



1= ln x

x2

x!0



c.

o. r. u. x.

lim

" 



x

lim [log (1 + x)] +

x!0

71. Donde se encuentra el error en la siguiente aplicación de la regla de L ´Hopital? x3 + x 2 3x2 + 1 6x lim 2 = lim = lim =3 x!1 x x!1 2 3x + 2 x!1 2x 3





La respuesta correcta es -4.

72. Muestre que f (x) = x4 x3 75 tiene una raiz entre x = 3 y x = 4. Hallar la raíz con cinco cifras decimales.

 

73. Demuestre que la ecuación x3 + 4x 6 = 0. tiene una solución r tal que 1 < r < 2, y úsese el método de Newton para encontrar una aproximación de r con cuatro cifras decimales.



9

1=x







#

(1 + x)1=x lim x!0 e 1 1 lim x!0 x2 x2 sec x 2 x sin(1=x) lim x!0 sin x 1=x lim x!1 e1=x 1



74. Emplee el método de Newton para determinar con 3 cifras decimales, la raiz negativa del polinomio 3x4 4x3 + 36x2 + 2x 8.





75. Para los siguientes ejercicios determine con 4 cifras decimales el valor de x donde se intersectan las grá…ca de las funciones dadas. a. y = sin x

y = 2x

3

b. y = tan x

10

y=x