Taller Cadenas de Markov

Universidad de Antioquia Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial

Procesos estocásticos y análisis de decisiones Taller 1. Cadenas de Markov 1. La tierra del mago de oz es en muchos aspectos una tierra bendita, pero no en lo que al clima se refiere. Sus habitantes nunca gozan de dos días buenos consecutivos. Si tienen un buen día es tan probable que caiga nieve como que llueva al día siguiente. Si nieva un día hay igual probabilidad de que el tiempo se mantenga así o que cambie al día siguiente. Si llueve un día hay igual probabilidad de que el tiempo continúe así el día siguiente o que cambie. Si se produce algún cambio en un día de nieve o lluvia, sólo la mitad de las veces éste da origen a un buen día. Hoy (viernes) es un buen día. a. Formule el proceso como una cadena de Markov. Defina claramente el estado del proceso (Xn). De una breve explicación de sus cálculos. b. Se ha programado una cabalgata para el próximo lunes. ¿Cuál es la probabilidad de que haga un buen día. 2. Se realiza una encuesta de mercadeo de tres marcas de alimentos A, B y C de las que se ha extraído la siguiente información relativa a las preferencias de los consumidores por las distintas marcas. ¿Cuál es el número esperado de pasos para que un cliente pase de consumir la marca B a comprar la marca C por primera vez?

A B C

A 0.5 0.4 0.4

B 0.3 0.3 0.2

C 0.2 0.3 0.4

3. Una represa se utiliza para generar energía eléctrica y para el control del flujo de aguas. La capacidad de la represa es 4 unidades. La función de probabilidad de la cantidad de agua que fluye a la represa en el mes siguiente. Cantidad 0 1 2 3 Probabilidad 0.15 0.35 0.30 0.20 Si el agua en la represa excede la capacidad máxima, el agua sobrante se suelta a través del vertedero, que es un flujo libre. Para generar energía se requieren mensualmente dos unidades que se sueltan al final de cada mes. Si hay menos de dos unidades en la presa, se genera energía con el agua disponible, es decir, se suelta toda la cantidad de agua que exista. Sea Xn la cantidad de agua en la represa en el mes n, después de que se suelta el agua. a. ¿Es Xn una cadena de Markov? b. Si lo es, halle la matriz de transición.

4. Considere el siguiente problema de inventario de sangre a que se enfrenta un hospital. Se tiene necesidad de un tipo raro de sangre, como AB Rh negativo. La demanda durante un período de tres días está dada por: Demanda (litros) Probabilidad

0

1

2

0.4

0.3

0.2

3 0.1

Suponga que el hospital se surte de sangre cada tres días. El hospital propone una política de recibir un litro de sangre en cada entrega y usar primero la sangre más vieja. Si se requiere más sangre de la que se tiene, se hace un pedido de emergencia por la cantidad requerida a un costo más alto. La sangre se descarta si en 21 días si no ha sido usada. Denote el estado del sistema como el número de litros en inventario después de una entrega normal. Observe que debido a la política de descartar la sangre, el estado más grande posible es 7. a. Encuentre la matriz de transición para esta cadena. b. Encuentre las probabilidades de estado estable. c. Encuentre la probabilidad a largo plazo, de que sea necesario descartar una pinta durante un período de tres días. d. Encuentre la probabilidad, a largo plazo, de que se necesite una entrega de emergencia durante un periodo de tres días. 5. Problema de la urna. Se tienen 6 bolas, tres blancas y tres negras, las cuales se distribuyen al azar en dos urnas, de tal forma que cada una contenga 3. En cada etapa se retiran, simultáneamente, una bola de cada urna, y se deposita en la urna contraria. Sea Xn el número de bolas blancas en la primera urna después de n intercambios. a. b. c. d.

Explique por qué Xn es un proceso de Markov Encuentre la matriz de transición. Calcule el vector de probabilidades iniciales ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres bolas blancas en la primera urna después de dos intercambios? e. ¿Cuál es la probabilidad a largo plazo de que hayan 2 bolas blancas en la primera urna? 6. Suponga que la línea de producción de una ensambladora de automóviles tiene las siguientes reglas:    a.

Un auto modelo X no puede seguir a un auto modelo X en la línea. Un auto modelo Y debe ser seguido por un auto modelo Z para balancear la línea. Un auto modelo Z debe ser seguido por un auto modelo X o Y, pero no por uno Z.

Encuentre la matriz de transición para este proceso. Use las letras a,b,c…, cuando las probabilidades no estén numéricamente definidas. b. ¿Es una cadena irreductible? c. ¿Cuál es la probabilidad de que después de un auto modelo X, el siguiente auto modelo X ocurra en la línea después de otro modelo diferente?

d. ¿Qué interpretación tienen las probabilidades límites?

7. Gambia es un país africano en el cual viven aproximadamente 2 millones de habitantes de los cuales el gobierno ha calificado las familias en 3 clases sociales dependiendo de su situación económica (Baja, media y alta), por experiencia de años anteriores se sabe que si el comercio con Senegal es bueno la probabilidad de pasar de una clase siguiente a otra en un año es 0.6 y de mantenerse en alta es 1, además con esta característica no hay un retroceso en la clases. Ahora bien si el comercio con Senegal no es bueno la probabilidad que una familia permanezca en clase baja es total, y pasar de una clase a una inferior es 0.5, en esta situación no es posible avanzar a una clase superior. El gobierno de Gambia está preocupado por esta situación debido a que de los últimos 20 años, solo se ha tenido un bueno comercio con Senegal en 9 de estos y por eso le pide a usted que: a. Encuentre la matriz de transición si se supone que todos los años se tiene un buen comercio con Senegal. ¿Cuál es la probabilidad de absorción de la clase alta? b. Encuentre la matriz de transición si se supone que todos los años no se tiene un buen comercio con Senegal. ¿Cuál es la probabilidad de absorción de la clase baja? c. Encuentre la matriz de transición teniendo en cuenta el comercio con Senegal d. ¿Cuántos años tendrán que transcurrir para que una familia de clase baja pase a ser clase alta? e. Si el gobierno coloca un impuesto a la clase de media de 1500 USD y de 6000 USD a la clase alta. ¿cuál es la recaudación estimada por impuestos? 8. La compañía distribuidora de Pan Exquisito cuenta con una flotilla de 38 vehículos para hacer llegar sus productos a los detallistas, que por lo general son pequeñas tienda. Cada fin de mes se hace un chequeo mecánico de cada unidad de registros anteriores se sabe que los vehículos se someten a revisión: 78% se hallan en buenas condiciones, 15% deben someterse a una reparación menor y 7% a reparación mayor, que es el arreglo general del motor; de los vehículos que llegan a reparación menor, 65% quedan listo para dar servicio de nuevo, 18% siguen en reparación menor y 17% van hasta reparación mayor; por último, de quienes llegan a arreglo mayor, 38% quedan reparados; 40% pasan luego a reparación menor, 7% siguen en reparación mayor y 15% deberán ser reemplazados. Calcular: a. b. c. d.

Matriz de transición ¿Cuál será la situación de los 38 vehículos después de uno, dos y tres meses? ¿Cuáles serán las probabilidades a largo plazo? ¿Cuáles serán los tiempos para llegar de un estado hasta el de reemplazo?

Tomado del libro Métodos cuantitativos para la administración de Roscoe y Davis. 9. Tarheel Computers es una nueva empresa que se especializa en la fabricación de minicomputadoras. Sin embargo, las condiciones de flujo de efectivo de la empresa no le permiten fabricar más de dos maquinas por mes. La demanda durante cada mes será de una, dos maquinas o hasta 3. Existe una probabilidad de 0.3 que demanden una computadora, de 0.45 para la demanda de dos computadoras, lo restante para la demanda de 3. La Tarheel

Computers cuenta con una política de producción para satisfacer la demanda la cual se presenta a continuación.

Inventario Inicial 0 1 2

Producción 2 1 1

El costo de producción de una minicomputadora es 200.000$/unidad, el costo de mantener el inventario es de 30.000$/unidad, además se ha estimado el costo por no satisfacer la demanda el cual es de 50.000$/unidad. a. b. c. d.

Elabore la matriz de transición para este problema. Determine las clases de dentro de este problema Obtenga las probabilidades de estable Calcule los costos esperados para esta política de producción. ¿Propondría otra política?

Modificado del libro Investigación de operaciones de Manuel Izar 10. El Summer Sun Salon tiene una sola sala de bronceado y un solo cuarto de espera para dos clientes. El proceso de bronceado requiere exactamente 20 minutos. George Slim, el administrador, está interesado en conocer la probabilidad de que un cliente recién llegado no encuentre un asiento en la sala de espera.Slim ha determinado la distribución de probabilidad para los clientes que llegan durante el intervalo de servicio de 20 minutos es el siguiente. Número de llegadas Probabilidad

0 0.3

1 0.6

2 0.1

3 o más 0

Suponga que los nuevos clientes no llegan exactamente en el mismo instante en el que parten los clientes que ya fueron atendidos. a. Elabora la matriz de transición para este problema (Sugerencia: si no hay clientes esperando, la sesión de bronceado no comienza si no hasta que llegue alguien. De otra manera la sesión de bronceado empieza de inmediato. Considere el número de clientes que se esperan durante la sesión anterior como estado inicial y el número de clientes que se encuentran durante la sesión actual como estado final.) b. Encuentre el vector de probabilidades de estado estacionario. ¿Cómo respondería usted la pregunta de Slim con respecto a los clientes que se retiran por que no existe un lugar en la sala de espera? Tomado del libro Investigación de operaciones de Manuel Izar 11. Un proceso de producción incluye una maquina que se deteriora con rapidez tanto en la calidad como en la cantidad de producción con el trabajo pesado, por lo que se inspecciona al final de cada día. Después de la inspección, se clasifica la condición de las maquinas en uno de cuatro estados posibles.

Estado 0 1 2 3

Condición Tan buena como nueva Operable: deterioro mínimo Operable: deterioro mayor Inoperable y reemplazada

El proceso se puede modelar como una cadena de Markov con matriz de transición de un paso dada por: Estado 0 1 2 3

0 0 0 0 1

1 7/8 3/4 0 0

2 1/16 1/8 1/2 0

3 1/16 1/8 1/2 0

a. Encuentre las probabilidades de estado estable b. Si los costos por estar en los estados 1,2,3 son $1000, $3000 y $6000. ¿cuál es el costo diario esperado a la larga? c. Encuentre el tiempo de recurrencia esperado para el estado 0. Tomado del libro introducción a la investigación de operaciones Novena edición de Frederick Hiller y Gerald Liberman. 12. En una estación de gasolina la demanda por cada 15 minutos está condicionado por la capacidad del sistema y que tan ocupado este. Actualmente la estación tiene espacio para atender a dos vehículos, si esta está libre la probabilidad de que llegue un vehículo es de 0.3 y que lleguen 2 es 0.6; si hay un vehículo, la probabilidad que no llegue otro es 0.2, que llegue uno más es de 0.5; ahora bien si la estación está ocupada en su totalidad la probabilidad que no llegue ningún cliente es de 0.8 y que llegue 1 cliente es 0.15. Se ha estimado que solo la mitad de los clientes que esperan en cola se quedan para realizar su servicio, así que este factor también afecta la demanda real. El costo promedio de atención por cada 15 minutos es de $20.000, el costo de perder un cliente es de $15.000. a. Dibuje el diagrama de tasas para esta cadena de Markov b. Calcule los costos esperados a largo plazo para este sistema. c. Si existe una propuesta para ampliar la capacidad del sistema a 3, con un costo de $500.000 sería viable aceptarla o seguir con el funcionamiento actual. 13. Una partícula se mueve sobre un círculo por puntos marcados 0, 1, 2, 3 y 4. La probabilidad de que esta partícula se mueva en el sentido de las manecillas del reloj es 0.5, y que se mueva en el sentido opuesto es el complemento si no existe viento; pero si a dirección del viento va de oeste a este la probabilidad de que vaya en sentido de las manecillas del reloj es 0.7, y si va de este a oeste de 0.25. 1 de cada 5 días no existe influencia del viento sobre la partícula, los demás días son repartidos igualmente por las dos direcciones que puede tomar el viento. a. Elabore la matriz de transición para este problema.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que si el estado inicial de la partícula es el punto 1, termine en 3 pasos en el punto I) 0 , II) 4. c. ¿Cuál es el tiempo de primera pasada del punto 0 al punto 3?. d. ¿Es una cadena ergódica? Sustente su respuesta. 14. La Bulldog Construction Company ha ganado un contrato para construir una carretera que vaya al área de Monte Santa Helena en Washington. Esta carretera ayudará a estudiar los efectos de la explosión volcánica de 1980. La Bulldog ha determinado que el polvo volcánico obstruirá los filtros de las maquinas con mucha rapidez y provocará que los camiones dejen de funcionar. Los filtros se revisan todos los días y se clasifican como recién limpiados, parcialmente obstruidos o totalmente obstruidos. Experiencias anteriores han mostrado un filtro que se acaba de limpiar tiene una probabilidad de 0.1 de permanecer limpio, una probabilidad de 0.8 de quedar parcialmente obstruido y una probabilidad de 0.1 de quedar totalmente obstruido. Un filtro que ya está parcialmente obstruido tiene una probabilidad de 0.5 de permanecer en el mismo estado. Para poder utilizar un camión que tiene un filtro totalmente obstruido este se debe limpiar primero. a. Elabore el diagrama de tasas y una matriz de transición de 2 pasos para este problema b. Si un camión deja de operar, esto le cuesta a la compañía $100 por el tiempo perdido de trabajo y $20 para limpiar el filtro. ¿Cuánto le costará a la compañía seguir una política de no limpiar los filtros sino hasta que se detengan los camiones?. c. Si se propone que los filtros parciamente obstruidos se han limpiados inmediatamente ¿cómo afectaría los costos calculados en el numeral b? ¿Aceptaría la propuesta?. Modificado del libro Investigación de operaciones de Manuel Izar 15. Un Banco famoso en la india tiene un plan de cuentas de sus créditos. Cada mes clasifican las cuentas en cuatro categorías: saldadas, con saldo insoluto, saldo vencido y como cuenta perdida. De los registros del banco se ha determinado que el 50% de las cuentas con saldo insoluto permanecen en la misma categoría, 10% se convierte en saldo vencido y el restante en cuentas saldadas. También se ha determinado que el 40% de las cuentas vencidas se convierten en saldos insolutos, 30% se pagan, 20% permanecen vencidas y 10% se cancelan como cuentas perdidas. Para este caso. a. Escriba la matriz de transición para este problema. b. Si en la actualidad existen 100.000 de las cuentas por cobrar en la categoría de saldadas, $50.000 en la categoría de saldo insoluto. $20.000 en las categorías de saldados vencidos y $5000 en la categoría de cuentas perdidas ¿qué cantidad habrá en cada categoría al mes siguiente? c. ¿Cuál es la probabilidad de absorción de que si un cliente tiene saldo insoluto termine como cuenta saldada? d. ¿Cuál es la probabilidad de absorción de que si una cuenta se encuentra vencida, se cancele por cuenta perdida?.

16. La presa Las Golondrinas capta agua en la temporada de lluvias, parte de la cual se asigna a los propietarios del lugar para fines agrícolas según la siguiente tabla.

Nivel de agua en la presa

Abasto para agricultura

Vacía 1/5 2/5 3/5 4/5 Llena

0 0 1/5 2/5 2/5 3/5

Del servicio meteorológico se han obtenido datos de precipitaciones pluviales de años anteriores, que convertidos a fracciones de la capacidad de la presa han sido los siguientes. Precipitación Pluvial 0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5

Probabilidad 0.1 0.25 0.3 0.2 0.1 0.05

Determinar: a. Matriz de probabilidades de transición b. Si la presa se halla a 2/5 de su capacidad ¿cuál será la situación para los dos periodos siguientes?. c. ¿Cuál será la situación a largo plazo? d. Partiendo de cada estado distinto. ¿Cuáles serán los tiempos que transcurrirán para llegar a tener la presa vacía? e. ¿Cuáles serán los tiempos para quedar con la presa llena? Tomado del libro Métodos cuantitativos para la administración de Roscoe y Davis. 17. El Señor Antonio Zúñiga está planteándose la posibilidad de vender su huerta de naranjas, la cual consta de 10 hectáreas. Se considera por experiencias de años pasados que la cosecha puede ser excelente, buena, regular o mala, como la cantidad de frutos tiende a ser alternante, es decir, luego de un año bueno sigue por lo general uno malo y viceversa. Cuando se ha tenido un año excelente la probabilidad es de tan solo 0.1, el 20% de las veces logra una cosecha buena, el restante se reparte equitativamente entre mala y regular. Si la cosecha es buena, entonces la probabilidad que se repita este comportamiento es de 0.23, 17% que sea excelente, 32% de que sea regular y el resto que sea mala. Si la cosecha ha sido regular entonces la probabilidad es la misma para cada opción, si la producción ha sido mala, para el año siguiente las posibilidades son de 33% que sea excelente, 38% que sea buena y 29% de que sea regular. El costo anual promedio por hectárea se estima en 6000$ y los ingresos por cada opción de producción son: Orden de Producción Excelente Buena Regular

Ingresos $ anuales/hectárea 15.000 10.000 6.000

Mala

3.000

a. Establezca la matriz de probabilidades de transición b. Si el último año fue regular ¿cuánta será la ganancia probable para el año siguiente? c. ¿Cuál será la situación para un futuro lejano? d. ¿Cuántos periodos tendrán que transcurrir para pasar de una cosecha determinada hasta una excelente? Modificado del libro Métodos cuantitativos para la administración de Roscoe y Davis. 18. Por experiencias de años anteriores se ha determinado que la carrera de un cantante de reggaetón se clasifica en 4 etapas las cuales pueden cambiar de transición cada 2 años. La primera etapa es el conocimiento del artista en donde la probabilidad que se mantenga en ese mismo estado es 0.7 y de que avance a la etapa de fama es 0.3,. Si el cantante presenta fama la probabilidad que decaiga su fama es 0.4 y que pierda su fama es de 0.1, de mantener en el mismo estado es 0.5. Solo el 20% de los reggaetonero recobran su fama, el 80% restante pierden su fama y desisten de seguir. En la etapa de crecimiento y en la que se decae la fama se ha estimado una ganancia de 2000 USD cada 2 años, en la etapa de Fama 10.000 USD, cuando no desiste no obtiene ganancias. Para esta industria les intresa saber. a. Si actualmente hay 20 cantantes en etapa de crecimiento, 5 en fama, 6 en fama decaída. ¿cuántos dejaran de ser cantantes en dos años? b. ¿Cuál es el tiempo estimado de carrera de un cantante de reggaetón? c. ¿Cuál es la probabilidad que un cantante recién surgido pierda su fama y desista de seguir?. d. Realice una matriz en la que se establezca los tiempos de transición y regreso para cada estado. 19. Para las siguientes matrices de transición (de un paso) determine: a. b. c. d.

Estados recurrentes, transitorios y absorbentes Clases Periodo ¿Es ergódica?

Tomado del libro introducción a la investigación de operaciones Novena edición de Frederick Hiller y Gerald Liberman.

20. Determine si es verdadera o falsas las siguientes proposiciones y sustente su respuesta. 1) En un proceso de Markov, la probabilidad de encontrarse en cualquier estado depende de los últimos dos estados. 2) Los procesos de Markov pueden definirse como modelos descriptivos, estocásticos y dinámicos. 3) Una cadena de Markov es un proceso de Markov que tiene probabilidades de transición que cambian de un ensayo a otro. 4) Es una matriz de transición, las probabilidades de cada columna deben sumar uno. 5) En una cadena de Markov, se alcanza la condición de estado estable cuando la probabilidad de encontrarse en un estado determinado en la misma de un ensayo a otro. 6) Las probabilidades de estado estable dependen del estado inicial. 7) En una cadena de Markov con estados absorbentes, las probabilidades de estado estacionario para los estados no absorbentes siempre son cero 8) Las anotaciones de la matriz fundamental dan el número promedio de periodos que el sistema se encontrará en cada estado absorbente. 9) El primero tiempo de transición para cada estado es el tiempo que transcurre hasta que se ingrese inicialmente a este estado. 10) Para una matriz de transición no periódica, no existen los primeros tiempos de transición. Modificado del libro Investigación de operaciones de Manuel Izar