Taller 6 Estadistica

Taller 6 Estadistica 1) Cuantos productos distintos se pueden formar con los digitos 2, 3, 5 y 7?. Si se usan: a) 2 factores El primer factor factor del producto tiene 4 opciones diferentes 𝑛1 = 4 El segundo factor del producto tiene tambien 4 opciones diferentes 𝑛2 = 4 Entonces el total de combinatorias posibles es 𝑛1 ∙ 𝑛2 = 4 ∙ 4 = 16 Conclusion: Se pueden formar 16 productos distintos con 2 factores b) 3 factores El primer factor factor del producto tiene 4 opciones diferentes 𝑛1 = 4 El segundo factor del producto tiene tambien 4 opciones diferentes 𝑛2 = 4 El tercer factor del producto tiene tambien 4 opciones diferentes 𝑛3 = 4 Entonces el total de combinatorias posibles es 𝑛1 ∙ 𝑛2 ∙ 𝑛3 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64 Conclusion: Se pueden formar 64 productos distintos con 3 factores 2) De cuantas maneras diferentes pueden colocarse 15 libros uno seguido del otro, en un estante?. Para calcular la cantidad de maneras diferentes de colocar 𝑛 = 15 libros sin repetir se efectua el siguiente calculo 𝑛! = 15! = 1.3 ∙ 1012 Conclusion: Existen 1.3 ∙ 1012 maneras diferentes de colocar 15 libros uno seguido del otro en un estante 3) Un ministerio consta de 25 consejeros y 10 secretarios. Cuantos comites se pueden formar con 5 consejeros y 3 secretarios?. Del grupo de 𝑛 = 25 consejeros se designa un comite de 𝑘 = 5 personas. No interesa el orden en que se escojan las 5 personas, por lo tanto es una combinacion. Su calculo se expresa de la siguiente manera 𝑛! 𝐶𝑘𝑛 = 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! 25! 25! 21 ∙ 22 ∙ 23 ∙ 24 ∙ 25 𝐶525 = = = = 53130 5! (25 − 5)! 5! ∙ 20! 120 Del grupo de 𝑛 = 10 secretarios se designa un comite de 𝑘 = 3 personas. No interesa el orden en que se escojan las 3 personas, por lo tanto 10! 10! 8 ∙ 9 ∙ 10 = = = 120 3! (10 − 3)! 3! ∙ 7! 6 Conclusion: Se pueden formar 53130 ∙ 120 = 6375600 comites con 5 consejeros y 3 secretarios 4) Un profesor y 20 estudiantes se sientan alrededor de una mesa redonda. El puesto del profesor es fijo. De cuantas maneras se pueden distribuir los estudiantes?. 𝐶310 =

Para calcular la cantidad de formas en las que se pueden sentar 𝑛 = 20 estudiantes sin repetir en forma circular , se efectua el siguiente calculo 𝑃𝑛 = (𝑛 − 1)! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (𝑛 − 1) 𝑃20 = (20 − 1)! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ (19) = 1.2 ∙ 1017 Conclusion: El professor tiene 21 opciones para sentarse pero una vez que el se sienta los estudiantes tienen 𝑃20 = 1.2 ∙ 1017 diferentes formas de sentarse, para un total de 2.52 ∙ 1017 5) En cuantas formas diferentes pueden producir 6 lanzamientos al aire de una moneda, 2 caras y 4 sellos?. Cuando se lanza al aire una moneda una vez, hay dos posibles resultados; una cara o un sello. Si se lanza la moneda mas de una vez, los resultados aparecen en combinaciones de caras y sellos: por ejemplo, si se lanza la moneda dos veces resultaran 2 caras o 2 sellos o 1 cara y 1 sello o 1 sello y 1 cara. Es decir, estamos buscando las combinaciones posibles : 𝑛! 𝐶𝑘𝑛 = 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! Para calcular cuantos 𝑛 = 6 lanzamientos producen solamente 𝑘 = 2 caras (equivale a solo 4 sellos) 6! 6! 5∙6 𝐶26 = = = = 30 2! (6 − 2)! 2! ∙ 4! 2 Conclusion: Hay 30 formas diferentes para producir 2 caras y 4 sellos en 6 lanzamientos 6) Una prueba de opcion multiple consta de 15 preguntas y cada una tienen 3 alternativas. En cuantas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?. Cada pregunta agrega 3 formas diferentes de responder la prueba. Por tanto aplicando el teorema de multiplicacion 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 315 = 14348907 formas de resolver la prueba 7) De cuantas maneras pueden distribuirse 10 personas en 10 asientos dispuestos en filas, si 4 de ellas deben estar siempre juntos?. Dado que 4 personas deben estar siempre juntos. Por tanto, este grupo se puede considerar como 1 sola persona, Podemos tomar el numero total de personas como 7. Estas personas se pueden sentar en 7! Formas diferentes Hemos agrupado 4 personas, las cuales se pueden organizar en 4! Formas diferentes Por lo tanto el numero total de manera = 7! ∙ 4! = 120960 8) Se fabrico una pulsera con forma de argolla, sin comienzo ni fin. Calcula de cuantas maneras se podrian haber ordenado los 7 colgantes que la ordenan. Definamos el teorema: El numero de permutaciones de 𝑛 diferentes cosas, cuando el

sentido horario y contrahorario (por ejemplo, cuando observaciones pueden ser hechas por ambos lados, es 1 = (𝑛 − 1) 2 (7−1)! 6! 6∙5∙4∙3∙2∙1 Numero de maneras posibles 2 = 2 = = 360 2 Conclusion: 7 colgantes se pueden organizar en una pulsera sin comienzo ni fin de 360 formas diferentes 9) De cuantas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios disponibles?. Del total de 𝑛 = 10 personas se escogen grupos de 𝑘 = 4 𝑛! 𝑉𝑘𝑛 = 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 𝑘 (𝑛 − 𝑘)! 10! 10! 𝑉410 = = = 7 ∙ 8 ∙ 9 = 504 𝑐𝑜𝑛 10 ≥ 4 (10 − 4)! 6! Conclusion: 10 personas se pueden sentar en 4 asientos de 504 maneras posibles 10) Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares. De cuantas maneras puede hacerse?. Primero, organice las 4 mujeres en las posiciones pares, ellas se pueden ordenar 4! formas posibles Organice los 5 hombres en las 5 posiciones restantes, ellos se pueden ordenar 5! formas posibles. En total se pueden sentar de 5! ∙ 4! = 2880 formas posibles 11) Cuatro libros diferentes de matematicas, 6 de fisica y 2 de quimica han de ser colocados en una estanteria. Cuantas ubicaciones distintas admiten si: a) los libros de cada materia han de estar juntos Hay 3 grupos los cuales se pueden organizar en 3! Formas diferentes Los libros de matematicas se pueden organizar en 4! Formas diferentes Los libros de fisica se pueden organizar en 6! Formas diferentes Los libros de quimica se pueden organizar en 2! formas diferentes Conclusion: El numero total de ubicaciones distintas es 3! ∙ 4! ∙ 6! ∙ 2! = 207360 b) solo los de matematicas han de estar juntos?. Tenemos un total de 10 libros Dado que los 4 libros de matematicas deben permanecer juntos juntemos estos 4 libros y consideremoslos como un solo libro Por lo tanto podemos considerar que el numero de libros es 7. Estos 7 libros pueden organizarse en 7! formas posibles Los 4 libros de matematicas se pueden organizar en 4! Formas posibles Por lo tanto el total de libros se pueden organizar en 7! ∙ 4! = 120960 formas posibles 12) Con 7 consonantes y 5 vocales, cuantas palabras se pueden formar que tengan 4

consonantes distintas y 3 vocales distintas?. Se admiten palabras sin significado. Numero de maneras de seleccionar 4 consonantes de las 7 = 𝐶47 7! 7! 5∙6∙7 𝐶47 = = = = 35 4! (7 − 4)! 4! ∙ 3! 3∙2 Numero de maneras de seleccionar 3 consonantes de las 5 = 𝐶35 5! 5! 4∙5 𝐶35 = = = = 10 3! (5 − 3)! 3! ∙ 2! 2 Numero de maneras de seleccionar 4 consonantes de 7 y 3 vocales de 5 = 𝐶47 ∙ 𝐶35 = 35 ∙ 10 = 350 Esto quiere decir que tenemos 350 grupos y cada grupo contiene en total 7 letras (4 consonantes y 3 vocales) Numero de palabras que se pueden formar con 7 letras = 7! = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 5040 Conclusion: Aplicando el principio de multiplicacion, el numero de palabras que se pueden forma res 350 ∙ 5040 = 1764000

𝑃𝑛(𝑝,𝑞,𝑟) = (

𝑛! ) 𝑝, 𝑞, 𝑟

𝑛! 𝑛! )= 𝑝, 𝑞, 𝑟 𝑝! ∙ 𝑞! ∙ 𝑟! 𝑛! 𝑉𝑘𝑛 = 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≥ 𝑘 (𝑛 − 𝑘)! 𝑛 𝑘 ̅̅̅̅ 𝑉 𝑘 =𝑛

𝑃𝑛(𝑝,𝑞,𝑟) = (

𝐶𝑘𝑛+𝑘−1 =

(𝑛 + 𝑘 − 1)! 𝑘! (𝑛 − 1)!

Recordemos el teorema: El numero de combinaciones de 𝑛 diferentes cosas tomando 𝑟 a la vez cuando 𝑠 cosas particulares deben incluirse siempre en cada seleccion es igual a (𝑛−𝑠) 𝐶(𝑟−𝑠) Para este caso 𝑛 = 𝑟 = 10 𝑦 𝑠 = 4 (𝑛−𝑠) Entonces el numero de formas es = 𝐶(𝑟−𝑠) = 𝐶66