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TALLER Nº 4 PROBABILIDADES Y ESTADISTICA (Ingeniería)

1) Se lanza una serie serie de cohetes cohetes hasta hasta que se obtiene obtiene el primer primer lanzamient lanzamiento o exitoso. exitoso. Si esto no se logra, el experimento continúa, caso contrario se detiene. Suponga que hay una  probabilidad de 0,8 de obtener un lanzamiento exitoso y que los ensayos sucesivos son independientes. a. eterm etermina inarr la probabil probabilida idad d de detene detenerr el experimen experimento to cuando cuando el número número de lanzamiento sea múltiplo de !.  b. Si el "e#e de pruebas decide detener el experimento al obtener ! lanza lanzami mient entos os exit exitos osos os.. $alc $alcul ulee la proba probabi bili lida dad d de que que se dete deteng ngaa el experimento al e#ectuar a lo menos cinco lanzamientos. c. %n comp compra rado dorr de cohe cohete tes, s, recib recibee un lote lote de &0 unid unidad ades es y este este deci decide de aceptar si al tomar una muestra de & cohetes y los lanza, a lo menos ' resultan exitosos. ($ul es la probabilidad de que el comprador rechace el lote* ') +n una #brica #brica se examina examinan n cada hora las piezas piezas producid producidas as por una mquina mquina una a una una hasta obtener una de#ectuosa. Si esto no se logra la mquina mquina continúa su produccin. $aso contrario se detiene el proceso para examinar la causa del de#ecto. Supongamos que la mquina produce 1.&- de piezas de#ectuosas a. ($ul ($ul es la probabil probabilida idad d de que se interr interrump umpaa el proceso proceso al examinar examinar la &/  pieza*  b. ($ul es la probabilidad de que se interrumpa el proceso al examinar ms de ! piezas* c. Si se exigier exigieran an ! piezas de#ect de#ectuos uosas as para detene detenerr la producci produccin. n. ($ul ser ser la probabilidad de detener el proceso al examinar  piezas* !) Se observa observa una #uente #uente radiact radiactiva iva durante durante & interv intervalo aloss de  segundo segundoss de duraci duracin n cada uno y se cuenta el número de partculas emitidas durante cada perodo. Suponiendo que el número de partculas, digamos 2, durante cada perodo observado tiene tiene una distri distribuci bucin n de 3oisso 3oisson n con parme parmetro tro de intens intensida idad d ',0 4es decir, decir, las  partculas son emitidas a razn de 0,! partculas por segundo) a. ($ul es la probabilid probabilidad ad de que sean emiti emitidas das ! o ms part partculas* culas*  b. ($ul es la probabilidad de que al menos en dos de los & intervalos de tiempo, sean emitidas ! o ms partculas* 5) +n una #brica #brica se va a evaluar evaluar la e#ectivi e#ectividad dad de un programa programa de seguridad seguridad que que requiere requiere que algunos traba"ado traba"adores res seleccionado seleccionadoss al azar usen zapato de seguridad. urante urante el  perodo de prueba se encuentra que el '- de los traba"adores us zapatos de seguridad y su#ri lesiones en los pies. 6ambi7n encontr que el 5- no us zapatos de seguridad ni tuvo lesiones en los pies adems de aquellos que usaron zapatos de seguridad el &tuvo lesiones en los pies. a. Si se escoge escogen n & traba" traba"ado adores res al azar azar ($ul es la probab probabili ilidad dad de que todos todos hayan usado zapatos de seguridad*  b. Si se elige una muestra de 500 traba"adores ($ul es la probabilidad de que a lo menos ! hayan usado zapatos de seguridad y su#rido lesiones en los pies* c. e aquello aquelloss que tuvieron tuvieron lesion lesiones es se escogen escogen 10 al azar (qu7 probab probabili ilidad dad hay de que al menos ' hayan usado zapatos de seguridad* &) +l número número de partcul partculas as emitidas emitidas por un trozo trozo de materi material al tiene una distribu distribuci cin n de 3oisson con intensidad '. %n investigador expuesto a dicha radiacin 4sin saberlo) su#re trastornos visuales cuando radiacin recibida supera la intensidad de emisin . a. ($ul es es la probabil probabilidad idad de que que un investig investigador ador no su#ra su#ra trasto trastornos rnos visuale visualess cuando est expuesto a la radiacin en el perodo antes se9alado*  b. Suponga que 10 investigadores disponen cada uno de trozo del mismo material para estudiar sus cualidades ($ul es la probabilidad de que por lo menos ' de ellos su#ran trastornos visuales*

) %na muestra de 0 ampolletas se agrupan según potencia 2 y vida útil :, obteni7ndose los siguientes resultados

   )    Y    (    l    i    t     Ú   a    d    i    V

25

Potencia (X) 40 60

75

150-250

3

7

1

4

15

250-350

5

9

2

1

17

350-450

8

2

6

3

19

450-550 Total

5 21

1 19

1 10

2 10

9 60

Total

 Se sabe que el #abricante garantiza a sus clientes una duracin mnima de !&0 horas por  ampolleta. a. Si se eligen al azar & ampolletas ($ul es la probabilidad de que por lo menos ' cumplan con la garanta*  b. Si se eligen al azar & ampolletas de 0 ;ats ($ul es la probabilidad de que por  lo menos ' cumplan con la garanta* 1] . 10) %na industria produce neumticos cuya vida útil @ 4en Ailmetros) se relaciona con la temperatura 6 del medio en el cual sern utilizados, según la siguiente ecuacin  ' ⋅ 10  K  = . Si la temperatura 6 sigue un modelo normal de media '/ y varianza T  − 1 . 0.'&] . Y 

=

−

1

1&) Sea 2 v.a.c. con #uncin de densidad normal de media 100 y varianza =. Sea  si  x > 10.!  !0 ,  Y  =  g 4 X ) = '& ,  si ='.& < x < 10.!  1& ,  si  x < ='.&. 

a. +ncontrar A tal que  p[ x > K ] = 0.==.  b. etermine la #uncin de cuanta de la nueva variable : . c. $alcule la esperanza y la varianza de : . 1) Das longitudes de las barras de acero producidas por una #brica es una variable aleatoria continua 2 con #uncin de densidad normal con una media  µ  = !1.  pies y una varianza σ  ' = 0.'0'& pies ' . a. $alcular  p[ !1. <  x < !'.& ? !'.0 < x < !'.] .  b. $alcular el mximo valor del '&- in#erior de las longitudes. c. etermine el intervalo que contiene el =&- central de la distribucin de 2. d. Si se mantiene la varianza ($ul debe ser la media de 2 para que las barras cortas constituyan el 0.1- * Suponga que las barras son consideradas cortas si su longitud es menor a !0 pies.

e. Suponga que las barras son clasi#icadas como  6ipo >  longitud mayor a !1.& pies, 6ipo H  longitud menor a !0.' pies. Si queremos que las barras del tipo > sean el &- y la del tipo H sean el '($ules deben ser los valores de  µ   y σ   en la mquina *

1 k ].

d. Si el precio de venta del cable depende de su dimetro. +spec#icamente, si 1 !

<

X  <

' !

 el cable se vende a 8 dlares el metro de otro modo, se vende a &

dlares el metro.

e. Si el costo es de ' dlares por metro, determine la utilidad neta esperada por  metro. '0) Sea 2 variable aleatoria continua y 2 de#inida por ax,  si 0 ≤  X  ≤ 1.   a,  si 1 <  X  ≤ '.    f   X  4 x ) =  − ax + !a,  si ' <  X  ≤ !.  0, c.o.c. 

a.  b. c. d. e.

etermine el valor de a  para que 2 sea #uncin de densidad. etermine la #uncin de distribucin acumulada de 2. $alcule la probabilidad de que 2 sea mayor que 1.&. etermine  E [ X  ] . Si se hacen ! observaciones independientes de 2, determine la probabilidad de que a lo ms una sea mayor que 1.&. #. Se hacen observaciones de 2 hasta que 5 son mayores que 1.&. etermine la  probabilidad de tener que realizar a lo menos  observaciones. I

I

CJDC+K