Taller 3 Precalculo I 2011

Universidad Nacional de Colombia -Sede BogotáDepartamento de Matemáticas Primer semestre de 2011 - Matemáticas Básicas PRECÁLCULO(Facultades de Ciencias, Ciencias Económicas, Ingeniería, Agronomía y Zootecnia) Coordinadora: Margarita Ospina

Taller 3 El tema del taller corresponde a las siguientes secciones del texto guía y un buen complemento a éste son los ejercicios de dichas secciones. Secciones: 1.5 Ecuaciones 1.6 Modelado mediante ecuaciones 1.7 Desigualdades I. ECUACIONES LINEALES O REDUCIBLES A LINEALES Resolver la ecuación y comprobar la solución: 1) 7+2(x+1) = 6x 3 5 2 2) (3x 1) (5x 3)2 = 3 3) x2x1 2 = x+1 p 4) 6 2x + 5 = 0

(4x

2)2

II. ECUACIONES CUADRÁTICAS O REDUCIBLES A CUADRÁTICAS Resolver la ecuación por factorización o usando la fórmula y comprobar las soluciones: p 1) w2 2 2w = 2 2) 3(x + 1)2 = (x + 4)2 12 3) x4 17x2 + 16 = 0 x 1 4) x+3 + xx+12 = 1 III. APLICACIONES Plantear y resolver los siguientes problemas: A. Ecuaciones lineales:

1

1) Un alambre de 21m se divide en dos partes, de tal modo que la longitud de una de ellas es las tres cuartas partes de la longitud de la otra. Hallar la longitud de cada parte. 2) Encontrar tres números pares consecutivos cuya suma sea igual a 36: 3) El ingreso mensual total de una guardería obtenido del cuidado de x niños está dado por: I = 450x, y sus costos mensuales totales estan dados por: C = 380x + 3500. ¿Cuántos niños se necesitan para llegar al equilibrio, es decir, para que los ingresos sean iguales a los costos ? 4) ¿Cuántos litros de agua se deben agregar a 6 litros de una solución de sal al 8 % y agua para producir otra solución al 5 % de sal? 5) Juan y Pedro trabajando juntos pueden levantar un muro en 8 horas. Si Juan trabaja solo tarda 12 horas. ¿Cuánto tiempo taradará Pedro solo en levantarlo? B. Ecuaciones Cuadráticas: 1) Encontrar dos números cuya suma sea 32 y producto 255: 2) El largo de un rectangulo es 5 metros mayor que su ancho y el área es 150 m2 , ¿Cuáles son las dimensiones del rectangulo? 3) Un cateto de un triángulo rectángulo es 17 cm mayor que el otro, y la hipotenusa mide 25 cm. Calcular las longitudes de los dos catetos. 4) Un fabricante de hornos microondas sabe que la ganancia G (en dólares) generada por la producción de x hornos por semana está dada por la fórmula 1 x(300 x) siempre y cuando 0 x 200: ¿Cuántos hornos debe G = 10 fabricar en una semana para generar una ganancia de 1250 dólares? 5) La altura h alcanzada por un objeto que se lanza hacia arriba con una velocidad inicial v0 después de t segundos del lanzamiento viene dada por la fórmula h = 16t2 + v0 t donde h viene dada en pies. Si se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad inicial de 40 pies=s; determine cuándo alcanza la pelota una altura de 24 pies y cuándo llega al suelo. IV. DESIGUALDADES Encontrar el conjunto solución de la inecuación y expresarlo usando intervalos. 1) 4x < 2x + 1 3x + 2 3) x2 8x + 8 > 4 4x x2 x 6 5) 0 x 1

3 > x1 1 2) x+2 4) x3 > x (x 3)(1 2x) 6) x+1

2

0

7) j2x + 1j 1 9) j1 3xj > 2 3 11) 4 j2x 5j 2 7 10) jx2 xj > 0 3 12) 7 2x + 1 14) 1 < j7x 16) jjxj

20j

1j

3 10

4j Indicación: en este ejercicio re‡exione antes

V. APLICACIONES 1) La temperatura normal del cuerpo humano es de 98;6 F: Si una temperatura x que di…ere de la normal por lo menos 1;5 F es considerada no sana, escriba la condición para una temperatura no sana x como una desigualdad que involucre valor absoluto y luego resuelva la desigualdad para dar numéricamente los valores de una temperatura no sana. 2) El voltaje normal en el país es de 115 voltios. Sin embargo no es raro que el voltaje real di…era del normal en 5 voltios cuando más. Exprese esta situación como una desigualdad y encuentre todos los posibles valores del voltaje real. 3) El costo de un automóvil nuevo varía entre los distribuidores de acuerdo a la comisión cobrada que oscila entre el 12 % y el 18 %. Si el precio de fábrica de un automovil es de 24 millones ¿en qué rango se encuentra el valor del automovil en los distribuidores? 4) Una botánica dispone para experimentación de una parcela rectangular de 20 por 50 metros. Ella desea aumentar el área añadiendo una misma cantidad de metros al ancho y al largo de modo que le resulte un terreno cuya área este entre 1800 y 2275 m2 . ¿Cuánto debe agregar a cada lado? VI. MISCELÁNEA A. Determinar si las proposiciones son verdaderas o falsas y JUSTIFICAR 1) x = 2 es una solución de la ecuación x(6 + x) 2(x + 1) 5x = 4. 2) Las ecuaciones 12 x2 + 3 = x 9 y x2 + 6 = 2x 18 son equivalentes. 3) Si x = 1 es una raíz de la ecuación x2 + kx 2 = 0, entonces la otra raíz es x = 2. 3

4) x = 3 es la solución de la ecuación x 9 3 = 5) x2 > x para todo x 2 R: 6) Si x < y y z 2 R entonces xz < yz:

3x : x 3

B. Completar: 1) La ecuación kx2 + 8x + 4 = 0 tiene dos raices iguales si k = ________ 2) Una ecuación cuadrática que tiene a 56 y 23 como raices es: __________________ 3) Si jx 2j < 4 entonces la expresión jx + 3j + j2x 13j sin usar valor absoluto es:______________ 4) Si x < 0, entonces j xj = C. Preguntas de selección múltiple Marcar la respuesta correcta: 3 (x 1)2

1) El conjunto solución de la inecuación: a) R

b) x > 1

c) R

f1g

0 es: d) x

1

2) La relación entre las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit está dada por C = 95 (F 32); si 20 C 30 entonces F varía en el intervalo: c) [ 12; 2] d) [4; 22] a) [68; 86] b) [ 980 ; 910 ] 3)El conjunto solución de la inecuación: 1 jxj a) [1; 4] b) [ 4; 1] c) [ 4; 1] [ [1; 4]

4 es: d) [ 4; 4]

= 1 es: 4) El conjunto de números reales tales que: j2xj 2x a) [0; 1) b) R c) ; d) (0; 1) 5) La solución de la ecuación: j4x + 5j = 10 es: a) [ 415 ; 1) b) f 415 ; 54 g c) [ 415 ; 45 ] d) ( 1; 54 ] 1 1 > es: x+1 2 x [ (2; 1) d) 1;

6) El conjunto solución de la desigualdad a)

1; 12

b)

1 ;1 2

c)

1; 12

x2 2x 7 7) El conjunto solución de la desigualdad 2x p1 p p p a) 2 2; 2 2 b) 1; 2 2 [ 12 ; 2 2 4

1 es:

1 2

[ (2; 1)

c)

p p 2 2; 12 [ 2 2; 1

p 2 2; 12 [

d)

p

1 ;2 2

2

8) El conjunto solución de la desigualdad 0 < (x2 2x 2) 1 es: p p p p a) b) 1 3; 1 + 3 c) 1; 1 3 [ 1 + 3; 3 p p d) 1 3; 1 + 3

5