Taller 3 Juzgamiento_hipotesis

EJERCICIO SOBRE JUZGAMIENTO DE HIPÓTESIS

EJERCICIO 1. (Página227, Bioestadística de Daniel)

Los siguientes datos son las presiones sistólicas sanguíneas (en mmHg) de 12 pacientes sometidos a terapia con medicamentos contra la hipertensión: 183, 152, 178, 157, 194, 163, 144, 114, 178, 152, 118, 158

a  ¿Es posible concluir con base en estos datos que la media de la población a es mayor

que 165?. Si por investigaciones anteriores realizadas realizadas sobre el medicamento suministrado suministrado la varianza de la presión sanguínea tiene un valor de  2  603. Usa Usar un val valor or de de 



0.05.

b  ¿Es posible concluir con base en estos datos que la media de la población a es menor

que 165?. Usar un valor de 



0.10.

c  ¿Es posible concluir con base en estos datos que la media de la población a es

diferente de 165?. Usar un valor valor de   0.01. Construir el intervalo de confianza del 99% para , el nivel medio real de presión sanguínea en pacientes tratados con medicamentos contra hipertesión.

SOLUCIÓN Para a  1. Datos Datos:

Variable, X   Presión sanguínea sistólica (en mmHg) Tipo de variable: Cuantitativa Continua Tamaño de muestra, n  12  X   Presión sanguínea sistólica promedio. X   157.5833 157. 5833 S 2 Varia arianz nzaa muest uestrral de la var variabl iablee pres resión ión sang sangu uínea ínea sis sistóli tólicca. S 2



595.3561

Cálculo Cálculo de las estadístic estadísticaa en R: Primero Primero crear el vector de datos con los valores valores de las presiones sanguíneas, luego hallamos la media y la varianza muestrales:

1

2. Supuestos:

La variable X  debe seguir una distribución aproximadamente normal. Varianza de la población conocida, en éste caso  2  603.

3. Hipótesis:

Se plantea el sistema teniendo en cuenta la pregunta de la investigación, como se pregunta si es probable que la media de la población sea mayor que 165, esto debe verse reflejado en la hipótesis alternativa, H a . El parámetro que se esta juzgando es , luego el sistema esta dado por:



 H 0 :

≤

165



165

vs  H a





4. Estadística de Prueba:

Cómo sabemos que la variable tiene distribución normal, la varianza se conoce y el parámetro a juzgar es  se utiliza la estadística:  EP



 X  −  0 

n 5. Distribución de la Estadística de Prueba:

Considerando los supuestos la estadística de prueba sigue una distribución normal estándar.

6. Regla de Decisión. Formulación del Test:

Teniendo en cuenta





0.05 y la distibución normal estándar de la estadística de

2

prueba, y que la hipóstesis alternativa es unilateral con cola a derecha (porque se dice que los valores de  son mayores que 165) se debe ubicar todo el  en la parte superior de la distribución, entonces 1 −   0.95 y hay que hallar el percentil de la normal estándar que deja detrás de éste el 95% de los datos, es decir, P Z  ≤ Z 1−   P Z  ≤ Z 0.95   0.95, valor que corresponde a Z 0.95  1. 644854. En R se utiliza la instrucción:  qnorm(0.95).

Formulación desl Test: Se rechaza H 0 si el valor de la estadística de prueba es mayor que el percentil  Z 1− , es decir, se rechaza H 0 si EP  1. 644854. Recordar que alfa se conoce como región de rechazo.

7. Cálculo de la Estadística de Prueba:

 EP



 X  −  0 

n



157.5833 − 165 595.3561 12



−1. 052958

en. R:

8. Decisión Estadística:

Como E . P  −1. 046263 y éste valor NO es mayor que 1.644854, todo lo contrario −1. 046263  1. 644854, la estadística de prueba cae en la Región de No Rechazo, luego no hay evidencia estadística para rechazar H 0 . 3

9. Conclusión:

Con una confianza del 95% se concluye que la presión sanguínea sistólica media PUEDE SER menor o igual a 165.

NOTA: Se acostrumbra a comparar el valor  con la probabilidad asociada a la estadística de prueba, a ésta probabilidad se le conoce como p − valor . Y el criterio es "SE RECHAZA  H 0 SI EL p − valor ES MENOR QUE ".

De esta forma el p − valor   P EP  −1.046263  se plantea la EP mayor que el valor particular que tomó la estadística, y se considera mayor porque esa es la dirección que tiene la hipóstesis alternativa ( H a    165). Retomando se tiene,  p − valor   P EP 



−1. 046263 

1 − P EP ≤ −1.046263  1 − 0. 1477199



0. 8522801

en R:

Como se observa p − valor   0. 8522801 y comparado con   0.05, p − valor   0.05 luego no hay evidencia estadística para rechazar H 0 , se llega a la misma conclusión que la formulada en el Test.

Para b  ¿Es posible concluir con base en estos datos que la media de la población a es menor que 165?. Usar un valor de   0.10. 1. Datos: Igual que en el numeral a 

4

2. Supuestos:

La variable X  debe seguir una distribución aproximadamente normal. Varianza de la población desconocida. Tamaño de muestra, n  12, pequeña.

3. Hipótesis:

Se plantea el sistema teniendo en cuenta la pregunta de la investigación, como se pregunta si es probable que la media de la población sea menor que 165, esto debe verse reflejado en la hipótesis alternativa, H a . El parámetro que se esta juzgando es , luego el sistema esta dado por:



 H 0 :

≥

165



165

vs  H a





4. Estadística de Prueba:

Cómo sabemos que la variable tiene distribución normal, la varianza se desconoce, el parámetro a juzgar es  y el tamaño de muestra es pequeña, se utiliza la estadística:  EP



 X  −  0 s n

5. Distribución de la Estadística de Prueba:

Considerando los supuestos la estadística de prueba sigue una distribución t con n − 1 grados de libertad.

6. Regla de Decisión. Formulación del Test:

Teniendo en cuenta   0.10 y la distibución t de la estadística de prueba, y que la hipóstesis alternativa es unilateral con cola a izquierda (porque se dice que los valores de  son menores que 165) se debe ubicar todo el  en la parte inferior de la distribución, entonces se trabaja con   0.10 y hay que hallar el percentil de la t n−1 que deja detrás de éste el 10% de los datos, es decir, PT  ≤ t ,n−1   PT  ≤ t 0.10,11   0.10, valor que corresponde a t 0.10,11  −1. 363430. En R se utiliza la instrucción:  qt(0.10,11).

5

Formulación desl Test: Se rechaza H 0 si el valor de la estadística de prueba es menor que el percentil t ,n−1 , es decir, se rechaza H 0 si EP  −1.363430.

7. Cálculo de la Estadística de Prueba:

 EP



 X  −  0 s n



157.5833 − 165 595.3561 12



−1. 052958

en. R:

8. Decisión Estadística:

Como E . P  −1. 052958 y éste valor NO es menor que −1. 363430, todo lo contrario −1. 052958  −1. 363430, la estadística de prueba cae en la Región de No Rechazo, luego no hay evidencia estadística para rechazar H 0 .

9. Conclusión:

Con una confianza del 90% se concluye que la presión sanguínea sistólica media PUEDE SER mayor o igual a 165.

NOTA: Para el cálculo del p − valor 

6

De esta forma el p − valor   P EP  −1. 052958  se plantea la EP menor que el valor particular que tomó la estadística, y se considera menor porque esa es la dirección que tiene la hipóstesis alternativa ( H a    165). Retomando se tiene,  p − valor   P EP 



−1.052958 

0. 1574704

en R:

Como se observa p − valor   0. 1574704 y comparado con   0.10, p − valor   0.10 luego no hay evidencia estadística para rechazar H 0 , se llega a la misma conclusión que la formulada en el Test.

Para c  ¿Es posible concluir con base en estos datos que la media de la población a es diferente de 165?. Usar un valor de   0.01. Construir el intervalo de confianza del 99% para , el nivel medio rel de presión sanguínea en pacientes tratados con medicamentos contra hipertesión. 1. Datos: Igual que los numerales a  y b 

2. Supuestos:

La variable X  debe seguir una distribución aproximadamente normal. Varianza de la población desconocida. Tamaño de muestra, n  12, pequeña.

3. Hipótesis:

Se plantea el sistema teniendo en cuenta la pregunta de la investigación, como se pregunta si es probable que la media de la población sea diferente de 165, esto debe verse reflejado en la hipótesis alternativa, H a . El parámetro que se esta juzgando es , luego el sistema esta dado por:

7



 H 0 :



165

≠

165

vs  H a





4. Estadística de Prueba:

Cómo sabemos que la variable tiene distribución normal, la varianza se desconoce y el parámetro a juzgar es  se utiliza la estadística:  EP



 X  −  0 s n

5. Distribución de la Estadística de Prueba:

Considerando los supuestos la estadística de prueba sigue una distribución t con n − 1 graedos de libertad.

6. Regla de Decisión. Formulación del Test:

Teniendo en cuenta   0.01 y la distibución t de la estadística de prueba, y que la hipóstesis alternativa es bilateral (porque se dice que los valores de  son diferentes de 165) se deben ubicar  y 1 −  en la gráfica de la distribución, entonces se trabaja con 2





0.01,



2



0.005 y 1 −

2



2



0.995. Hay que hallar los percentiles de distribución t,

tales que uno de ellos deja detrás de éste el 0.5% de los datos, es decir, P T  ≤ t    P T  ≤ t 0.005 ,11  0.005, valor que corresponde a ,n−1 2 t 0.005,11  −3. 105807. El otro percentil es el que deja detrás de éste el 99.5% de los datos,

es decir, P T  ≤ t 1−  ,n−1



P T  ≤ t 0.995 ,11



0.995,

valor que corresponde a

2

t 0.995,11



3. 105807. En R se utiliza la instrucción:  qt(0.005,11) y qt(0.995,11).

8

Formulación desl Test: Se rechaza H 0 si el valor de la estadística de prueba es menor que el percentil o si la estadísitica de prueba es mayor que t 1−  ,n−1 , es decir, se rechaza H 0 si t   ,n−1 2

 EP

2



−3. 105807

o si EP

3. 105807.



7. Cálculo de la Estadística de Prueba:

 EP

 X  −  0





n



157.5833 − 165 595.3561 12



−1. 052958

en. R:

8. Decisión Estadística:

Como E . P ‐3.105807  H 0 .





y éste valor cae en la región de NO rechazo , porque 3.105807. Luego no hay evidencia estadística para rechazar

−1. 052958

−1.052958



9. Conclusión:

Con una confianza del 99% se concluye que la presión sanguínea sistólica media PUEDE SER igual 165.

NOTA: Cálculo del p − valor .

La probabilidad de obtener un valor tan extremo como 1. 052958 en cualquier dirección, cuando la hipótesis nula es verdadera es 0. 3149408, éste valor se obtiene de calcular las probabilidades:

P EP



−1.052958 



0. 1574704 y P EP

9



1. 052958 



0. 1574704 de donde

 p − valor   P EP  



−1. 052958 



P EP



1. 052958 

0.1574704  0.1574704 0.3149408

en R:

Como se observa p − valor   0. 3149408 y comparado con   0.01, p − valor   0.01 luego no hay evidencia estadística para rechazar H 0 , se llega a la misma conclusión que la formulada en el Test.

c. 1  Construir el intervalo de confianza del 99% para , el nivel medio real de presión

sanguínea en pacientes tratados con medicamentos contra hipertesión.

Considerando los supuestos: La variable X  debe seguir una distribución aproximadamente normal. Varianza de la población desconocida. Tamaño de muestra, n  12, pequeña.

El intervalo de confianza del 99% para , el nivel medio real de presión sanguínea en pacientes tratados con medicamentos contra hipertesión, está dado por  x

Como ya se tiene,



−

t   1− 2

,n−1



s ,x n



0.005, donde P T  ≤ t   2 que corresponde a t 0.005,11  −3.105807

y 1−



2



2



0.995, donde

P T  ≤ t   1− 2

,n−1

10



t   1− 2

,n−1

,n−1





s n



0.005, valor

0.995,

valor que

P T  ≤ t 0.005 ,11

P T  ≤ t 0.995 ,11



corresponde a t 0.995,11  3. 105807. El valor de la desviación estándar es S   24. 39992, reemplazando en la fórmula del intervalo obtenemos:  x

−

t   1− 2

,n−1



s ,x n



t   1− 2

,n−1



s n

157.5833 − 3.105807 24.39992 ,157.5833  3.105807 24.39992 12 12

135.7071,179.4595

Se estima con una confianza del 99% que la presión sanguínea sistólica media está entre 135.71 y 179.46.

Relación entre los intervalos de confianza y el juzgamiento de hipótesis:

Como en la hipótesis nula el valor del parámetro supuesto es 165 y éste valor está incluido en el intervalo del 99%, se dice que no hay evidencia estadística para rechazar H o , en general cuando se juzga una hipótesis nula (donde la alternativa es bilateral) por medio de un intervalo de confianza bilateral se rechaza H o con un nivel  de significación si el parámetro supuesto no está contenido dentro del intervalo de confianza del 1 −  100%. Si el parámetro supuesto está dentro del intervalo, NO ES POSIBLE rechazar H 0 con el nivel  de significación.

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